{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/4","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"4","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 4. (0-2)\nDane są dwie liczby 𝑥 i 𝑦, takie, że iloraz 𝑥\n𝑦 jest równy 1 + √5\n2\nOblicz wartość wyrażenia\n𝒙+𝒚\n𝒙. Wynik podaj bez niewymierności w mianowniku.\nWymaganie ogólne\nI.\nSprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora,\nstosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych\noraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nWymagania szczegółowe\nII. Wyrażenia algebraiczne. Zdający:\n1) stosuje wzory skróconego mnożenia na: (𝑎+ 𝑏)2, (𝑎-𝑏)2, 𝑎2 -𝑏2, (𝑎+ 𝑏)3,\n(𝑎-𝑏)3, 𝑎3 -𝑏3, 𝑎𝑛-𝑏𝑛;\n8) dodaje i odejmuje wyrażenia wymierne, w przypadkach nie trudniejszych niż:\n1\n𝑥+1 -\n1\n𝑥, […].\nZasady oceniania\n2 pkt - przekształcenie wyrażenia\n𝑥+𝑦\n𝑥 do postaci\n1+√5\n2 .\n1 pkt - przekształcenie wyrażenia\n𝑥+𝑦\n𝑥 do postaci 1 +\n2\n1+√5 lub\n3+√5\n1+√5.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\n16\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\n𝑥+ 𝑦\n𝑥\n= 1 + 𝑦\n𝑥= 1 +\n2\n1 + √5\n= 1 + √5 + 2\n1 + √5\n= 3 + √5\n1 + √5\n(3 + √5)(1 -√5)\n(1 + √5)(1 -√5) =\n= 3 -3√5 + √5 -5\n1 -5\n= -2 -2√5\n-4\n= 1 + √5\n2\nSposób 2.\n𝑥+ 𝑦\n𝑥\n= 1 + 𝑦\n𝑥= 1 +\n2\n1 + √5\n= 1 +\n2\n(1 + √5)\n⋅(1 -√5)\n(1 -√5)\n= 1 + (2 -2√5)\n-4\n= 1 + √5 -1\n2\n= 2 + √5 -1\n2\n= 1 + √5\n2\nSposób 3.\n𝑥+ 𝑦\n𝑥\n𝑥+ 𝑦\n𝑦\n𝑥\n𝑦\n𝑥\n𝑦+ 1\n𝑥\n𝑦\n(1 + √5\n2\n+ 2\n2)\n1 + √5\n2\n(3 + √5\n2\n)\n1 + √5\n2\n= 3 + √5\n1 + √5\n= (3 + √5)\n(1 + √5)\n⋅(1 -√5)\n(1 -√5)\n= -2 -2√5\n-4\n= 1 + √5\n2\nSposób 4.\nZ równości\n𝑥\n𝑦=\n1+√5\n2 wyznaczamy 𝑥:\n𝑥= (1 + √5\n2\n)𝑦\nWyznaczony 𝑥 podstawimy do wyrażenia\n𝑥+𝑦\n𝑥:\n𝑥+ 𝑦\n𝑥\n(1 + √5\n2\n) ⋅𝑦+ 𝑦\n(1 + √5\n2\n) ⋅𝑦\n𝑦⋅(1 + √5\n2\n+ 1)\n𝑦∙(1 + √5\n2\n)\n1 + √5\n2\n+ 2\n2\n1 + √5\n2\n3 + √5\n2\n1 + √5\n2\n= 3 + √5\n1 + √5\n= 3 + √5\n1 + √5\n= (3 + √5)\n(1 + √5)\n⋅(1 -√5)\n(1 -√5) = -2 -2√5\n-4\n= 1 + √5\n2\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n17","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Sposób:\nx/y = (1+√5)/2, więc y/x = 2/(1+√5).\n(x+y)/x = 1 + y/x = 1 + 2/(1+√5) = 1 + (2(1-√5))/((1+√5)(1-√5)) = 1 + (2-2√5)/(-4) = 1 + (√5-1)/2 = (2+√5-1)/2 = (1+√5)/2.\n\nOdpowiedź: (x+y)/x = (1+√5)/2.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":15,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 4. (0-2)
Dane są dwie liczby 𝑥 i 𝑦, takie, że iloraz 𝑥
𝑦 jest równy 1 + √5
2
Oblicz wartość wyrażenia
𝒙+𝒚
𝒙. Wynik podaj bez niewymierności w mianowniku.
Wymaganie ogólne
I.
Sprawność rachunkowa.
Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora,
stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych
oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach
rzeczywistych i teoretycznych.
Wymagania szczegółowe
II. Wyrażenia algebraiczne. Zdający:

\n
  1. stosuje wzory skróconego mnożenia na: (𝑎+ 𝑏)2, (𝑎-𝑏)2, 𝑎2 -𝑏2, (𝑎+ 𝑏)3,
\n

(𝑎-𝑏)3, 𝑎3 -𝑏3, 𝑎𝑛-𝑏𝑛;

\n
  1. dodaje i odejmuje wyrażenia wymierne, w przypadkach nie trudniejszych niż:
\n

1
𝑥+1 -
1
𝑥, […].
Zasady oceniania
2 pkt - przekształcenie wyrażenia
𝑥+𝑦
𝑥 do postaci
1+√5
2 .
1 pkt - przekształcenie wyrażenia
𝑥+𝑦
𝑥 do postaci 1 +
2
1+√5 lub
3+√5
1+√5.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
16
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
𝑥+ 𝑦
𝑥
= 1 + 𝑦
𝑥= 1 +
2
1 + √5
= 1 + √5 + 2
1 + √5
= 3 + √5
1 + √5
(3 + √5)(1 -√5)
(1 + √5)(1 -√5) =
= 3 -3√5 + √5 -5
1 -5
= -2 -2√5
-4
= 1 + √5
2
Sposób 2.
𝑥+ 𝑦
𝑥
= 1 + 𝑦
𝑥= 1 +
2
1 + √5
= 1 +
2
(1 + √5)
⋅(1 -√5)
(1 -√5)
= 1 + (2 -2√5)
-4
= 1 + √5 -1
2
= 2 + √5 -1
2
= 1 + √5
2
Sposób 3.
𝑥+ 𝑦
𝑥
𝑥+ 𝑦
𝑦
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦+ 1
𝑥
𝑦
(1 + √5
2

\n\n

2)
1 + √5
2
(3 + √5
2
)
1 + √5
2
= 3 + √5
1 + √5
= (3 + √5)
(1 + √5)
⋅(1 -√5)
(1 -√5)
= -2 -2√5
-4
= 1 + √5
2
Sposób 4.
Z równości
𝑥
𝑦=
1+√5
2 wyznaczamy 𝑥:
𝑥= (1 + √5
2
)𝑦
Wyznaczony 𝑥 podstawimy do wyrażenia
𝑥+𝑦
𝑥:
𝑥+ 𝑦
𝑥
(1 + √5
2
) ⋅𝑦+ 𝑦
(1 + √5
2
) ⋅𝑦
𝑦⋅(1 + √5
2

\n\n

𝑦∙(1 + √5
2
)
1 + √5
2

\n\n

2
1 + √5
2
3 + √5
2
1 + √5
2
= 3 + √5
1 + √5
= 3 + √5
1 + √5
= (3 + √5)
(1 + √5)
⋅(1 -√5)
(1 -√5) = -2 -2√5
-4
= 1 + √5
2
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
17

","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

Sposób:
x/y = (1+√5)/2, więc y/x = 2/(1+√5).
(x+y)/x = 1 + y/x = 1 + 2/(1+√5) = 1 + (2(1-√5))/((1+√5)(1-√5)) = 1 + (2-2√5)/(-4) = 1 + (√5-1)/2 = (2+√5-1)/2 = (1+√5)/2.

\n

Odpowiedź: (x+y)/x = (1+√5)/2.

"}]}