{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/41.1","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"41.1","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 41.1. (0-2)\nWyznacz i zapisz równanie okręgu 𝓞.\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\n3.\nTworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu.\nWymagania szczegółowe\nIX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający:\n4) posługuje się równaniem okręgu (𝑥-𝑎)2 + (𝑦-𝑏)2 = 𝑟2;\n5) oblicza odległość punktu od prostej.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda wyznaczenia równania okręgu oraz prawidłowe zapisanie równania\nokręgu: (𝑥-3)2 + (𝑦+ 4)2 =\n1\n5.\n1 pkt - poprawna metoda obliczenia promienia okręgu oraz zapisanie wyniku: 𝑟= √5\n5 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\n94\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nRysunek poglądowy.\n1. Zauważmy, że odległość punktu 𝑆 od prostej 𝑘 jest równa promieniowi okręgu 𝒪.\nZastosujemy wzór na odległość punktu od prostej i obliczymy promień okręgu:\n𝑟= 𝑑(𝑆, 𝑘) = |2 ⋅3 -1 ⋅(-4) -11|\n√22 + (-1)2\n= 1\n√5\n= √5\n5\n2. Zapiszemy równanie okręgu:\n(𝑥-3)2 + (𝑦+ 4)2 = ( 1\n√5\n)\n2\n(𝑥-3)2 + (𝑦+ 4)2 = 1\n5","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Promień okręgu O jest równy odległości środka S=(3,-4) od prostej k: 2x-y-11=0.\nr = d(S,k) = |2·3-1·(-4)-11|/√(2²+(-1)²) = |6+4-11|/√5 = 1/√5 = √5/5.\n\nRównanie okręgu: (x-3)²+(y+4)² = (√5/5)² = 1/5.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-41.1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":93,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 41.1. (0-2)
Wyznacz i zapisz równanie okręgu 𝓞.
Wymagania ogólne
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
1.
Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
3.
Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących,
w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu.
Wymagania szczegółowe
IX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający:

\n
  1. posługuje się równaniem okręgu (𝑥-𝑎)2 + (𝑦-𝑏)2 = 𝑟2;
  2. oblicza odległość punktu od prostej.
\n

Zasady oceniania
2 pkt - poprawna metoda wyznaczenia równania okręgu oraz prawidłowe zapisanie równania
okręgu: (𝑥-3)2 + (𝑦+ 4)2 =
1
5.
1 pkt - poprawna metoda obliczenia promienia okręgu oraz zapisanie wyniku: 𝑟= √5
5 .
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
94
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023
Przykładowe pełne rozwiązanie
Rysunek poglądowy.

\n
  1. Zauważmy, że odległość punktu 𝑆 od prostej 𝑘 jest równa promieniowi okręgu 𝒪.
\n

Zastosujemy wzór na odległość punktu od prostej i obliczymy promień okręgu:
𝑟= 𝑑(𝑆, 𝑘) = |2 ⋅3 -1 ⋅(-4) -11|
√22 + (-1)2
= 1
√5
= √5
5

\n
  1. Zapiszemy równanie okręgu:
\n

(𝑥-3)2 + (𝑦+ 4)2 = ( 1
√5
)
2
(𝑥-3)2 + (𝑦+ 4)2 = 1
5

","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

Promień okręgu O jest równy odległości środka S=(3,-4) od prostej k: 2x-y-11=0.
r = d(S,k) = |2·3-1·(-4)-11|/√(2²+(-1)²) = |6+4-11|/√5 = 1/√5 = √5/5.

\n

Równanie okręgu: (x-3)²+(y+4)² = (√5/5)² = 1/5.

"}]}