Zadanie 41.2. (0-2)
Oblicz współrzędne punktu 𝑷, w którym okrąg 𝓞 jest styczny do prostej 𝒌.
Wymagania ogólne
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
1.
Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
3.
Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących,
w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu.
𝑆
𝑟
𝑘
𝑃
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
95
Wymagania szczegółowe
(uwzględniające różne metody rozwiązania)
IV. Układy równań. Zdający:
kwadratowe.
IX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający:
w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich jak na przykład
przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy,
równoległość lub prostopadłość do innej prostej, styczność do okręgu);
Zasady oceniania
(dla rozwiązania sposobem 1.)
2 pkt - zapisanie układu złożonego z poprawnych równań prostych 𝑘 i 𝑘⊥ oraz prawidłowe
rozwiązanie tego układu i zapisanie wyniku: 𝑥=
17
5 , 𝑦= -
21
5 .
1 pkt - poprawna metoda wyznaczenia równania prostej prostopadłej do 𝑘 i przechodzącej
przez punkt 𝑆 oraz zapisanie równania prostej 𝑘⊥: 𝑦= -
1
2 𝑥-
5
2
LUB
z poprawną wartością współczynnika kierunkowego tej prostej i błędną wartością
wyrazu wolnego, oraz zapisanie układu złożonego z równań prostych 𝑘 i 𝑘⊥.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zasady oceniania
(dla rozwiązania sposobem 2.)
2 pkt - zapisanie układu złożonego z równania prostej 𝑘 i równania okręgu 𝒪 oraz rozwiązanie
tego układu równań i zapisanie wyniku: 𝑥=
17
5 , 𝑦= -
21
5 .
1 pkt - zapisanie układu równań, w którym jedno jest równaniem prostej 𝑘, a drugie jest
równaniem okręgu (𝑥-3)2 + (𝑦+ 4)2 =
1
5.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
(rozwiązanie układu równań złożonego z równań prostych 𝑘 i 𝑘⊥)
jest punktem przecięcia się prostej 𝑘 z prostą 𝑘⊥ prostopadłą do niej i przechodzącą przez
środek tego okręgu. Należy rozwiązać układ równań złożony z równań obu tych prostych.
96
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023
Rysunek poglądowy.
𝑘: 𝑦= 2𝑥-11
Prosta 𝑘⊥ ma równanie:
𝑘⊥: 𝑦= -1
2 𝑥+ 𝑏
Punkt 𝑆= (3, -4) należy do prostej 𝑘⊥ , zatem: -4 = -1
2 ⋅3 + 𝑏 stąd 𝑏= -5
2 , więc
prosta 𝑘⊥ ma równanie:
𝑘⊥: 𝑦= -1
2 𝑥-5
2
{
𝑦= 2𝑥-11
𝑦= -1
2𝑥-5
2
-1
2 𝑥-5
2 = 2𝑥-11 stąd -5
2 𝑥= -17
2 więc 𝑥= 17
5
𝑦= 2𝑥-11 = 2 ⋅17
5 -11 = -21
5
{
𝑥= 17
5
𝑦= -21
5
zatem 𝑃= ( 17
5 , -21
5 )
Sposób 2.
(rozwiązanie układu równań złożonego z równania prostej 𝑘 i równania okręgu 𝒪)
Uwaga!
Sposób 1. rozwiązania zadania 41.2. jest niezależny od rozwiązania zadania 41.1. Natomiast
sposób 2. pokazuje takie rozwiązanie zadania 41.2., w którym zdający może wykorzystać
rozwiązanie zadania 41.1.
𝑆
𝑘
𝑃
𝑘⊥
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
97
Współrzędne punktu styczności prostej 𝑘 i okręgu 𝒪 są rozwiązaniami układu równań,
w którym jedno jest równaniem okręgu 𝒪, a drugie jest równaniem prostej 𝑘. Zapiszemy
i rozwiążemy ten układ równań. Wykorzystamy wyznaczone w zadaniu 41.1. równanie okręgu
{(𝑥-3)2 + (𝑦+ 4)2 = 1
5
𝑦= 2𝑥-11
(𝑥-3)2 + (2𝑥-11 + 4)2 = 1
5 zatem (𝑥-3)2 + (2𝑥-7)2 = 1
5
𝑥2 -6𝑥+ 9 + 4𝑥2 -28𝑥+ 49 -1
5 = 0
5𝑥2 -34𝑥+ 289
5
= 0
𝑥= 34
10 = 17
5
𝑦= 2𝑥-11 = 2 ⋅17
5 -11 = -21
5
{
𝑥= 17
5
𝑦= -21
5
więc 𝑃= ( 17
5 , -21
5 )
98
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023
Prosta k: y=2x-11. Prosta k⊥ prostopadła do k i przechodząca przez S=(3,-4) ma współczynnik kierunkowy -1/2:
y = -1/2 x + b, podstawiając S: -4 = -1/2·3+b, b=-5/2, więc k⊥: y=-1/2 x - 5/2.
Rozwiązujemy układ:
2x-11 = -1/2 x - 5/2
5/2 x = 17/2
x = 17/5
y = 2·17/5-11 = -21/5.
Odpowiedź: P = (17/5, -21/5).
"}]}