{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/43.2","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"43.2","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 43.2. (0-4)\nW prostopadłościanie 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 dane są:\ntg 𝛽= 9\n7 |𝐵𝐺| = 2 ⋅√130 |𝐵𝐻| = 2 ⋅√194\ngdzie odcinek 𝐵𝐻 jest przekątną prostopadłościanu, odcinek 𝐵𝐺 jest przekątną ściany bocznej\n𝐵𝐶𝐺𝐹, 𝛽 jest miarą kąta ∡𝐺𝐵𝐶. Sytuację ilustruje rysunek poniżej.\nOblicz pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu 𝑨𝑩𝑪𝑫𝑬𝑭𝑮𝑯.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n𝐺\n𝐻\n𝛽\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n101\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n3.\nTworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu.\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4.\nStosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nWymagania szczegółowe\nX. Stereometria. Zdający:\n3) rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami […];\n6) oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów […] również z wykorzystaniem\ntrygonometrii i poznanych twierdzeń.\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia pola powierzchni całkowitej graniastosłupa oraz podanie\nprawidłowego wyniku: 𝑃𝑐= 1528.\n3 pkt - poprawne obliczenie długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu: |𝐵𝐶| = 14,\n|𝐶𝐺| = 18, |𝐺𝐻| = 16\nLUB\n- poprawna metoda obliczenia długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu, błąd\nrachunkowy w obliczeniach i poprawne zapisanie wzoru na pole powierzchni całkowitej\nprostopadłościanu.\n2 pkt - obliczenie długości dwóch krawędzi: |𝐵𝐶| = 14, |𝐶𝐺| = 18 oraz zapisanie równania\nwynikającego z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐵𝐺𝐻: |𝐵𝐺|2 + |𝐺𝐻|2 = |𝐻𝐵|2\nLUB\n- obliczenie długości krawędzi: |𝐺𝐻| = 16 oraz zapisanie równania wynikającego\nz twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐵𝐶𝐺:\n|𝐵𝐶|2 + |𝐶𝐺|2 = |𝐵𝐺|2 i zapisanie związku\n|𝐶𝐺|\n|𝐵𝐶| =\n9\n7.\n1 pkt - zapisanie równania wynikającego z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐵𝐶𝐺:\n|𝐵𝐶|2 + |𝐶𝐺|2 = |𝐵𝐺|2 oraz zapisanie związku\n|𝐶𝐺|\n|𝐵𝐶| =\n9\n7\nLUB\n- zauważenie, że trójkąt 𝐵𝐺𝐻 jest prostokątny, i zapisanie równania wynikającego\nz twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐵𝐺𝐻: |𝐵𝐺|2 + |𝐺𝐻|2 = |𝐻𝐵|2\nLUB\n- zapisanie równania 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 = 𝑑2 (lub z innymi oznaczeniami), gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑\nsą oznaczeniami odpowiednich odcinków w prostopadłościanie (zobacz przykładowe\nrozwiązanie).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\n102\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nWprowadzimy oznaczenia dla odcinków (jak na rysunku obok) -\ndługości krawędzi prostopadłościanu oznaczymy przez 𝑎, 𝑏, 𝑐, a\nprzekątną prostopadłościanu i przekątną ściany 𝐵𝐶𝐺𝐹 oznaczymy\nprzez 𝑑 oraz 𝑒. Warunki zadania zapiszemy jako:\ntg 𝛽= 9\n7 𝑒= 2 ⋅√130 𝑑= 2 ⋅√194\n1. Wyznaczymy zależność między 𝑏 a 𝑐 w trójkącie 𝐵𝐶𝐺:\ntg 𝛽= 𝑐\n𝑏= 9\n7 stąd 𝑐= 9\n7 𝑏\n2. Zastosujemy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego\n𝐵𝐶𝐺, w celu obliczenia 𝑏 i 𝑐:\n𝑏2 + 𝑐2 = 𝑒2\nWykorzystamy związek z pkt. 1:\n𝑏2 + (9\n7𝑏)\n2\n= (2 ⋅√130)\n2\n130\n49 𝑏2 = 520\n𝑏2 = 196\nzatem\n𝑏= 14 oraz 𝑐=\n9\n7 ⋅14 = 18\n3. Zauważmy, że trójkąt 𝐵𝐺𝐻 jest prostokątny (kąt prosty jest przy wierzchołku 𝐺).\nZastosujemy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego 𝐵𝐺𝐻, w celu obliczenia 𝑎.\n𝑒2 + 𝑎2 = 𝑑2\n(2 ⋅√130)\n2 + 𝑎2 = (2 ⋅√194)\n2\n𝑎2 = 256\n𝑎= 16\n4. Obliczymy pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu:\n𝑃𝑐= 2𝑎𝑏+ 2𝑏𝑐+ 2𝑎𝑐\n𝑃𝑐= 2 ⋅16 ⋅14 + 2 ⋅14 ⋅18 + 2 ⋅16 ⋅18\n𝑃𝑐= 1528\n𝐶\n𝐸\n𝐺\n𝐻\n𝐹\n𝐷\n𝛽\n𝐴\n𝐵\n𝑎\n𝑏\n𝑐\n𝑑\n𝑒\n𝑎\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n103","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Oznaczmy krawędzie prostopadłościanu: |BC|=b, |CG|=c, |AB|=a; przekątna ściany BCGF: e=|BG|=2√130; przekątna bryły: d=|BH|=2√194; β=∡GBC.\n\n1. W trójkącie prostokątnym BCG: tgβ=c/b=9/7, więc c=(9/7)b.\n2. Z tw. Pitagorasa: b²+c²=e²: b²+(9/7 b)²=(2√130)²=520\nb²(1+81/49)=520, b²·(130/49)=520, b²=196, b=14, c=(9/7)·14=18.\n3. Trójkąt BGH jest prostokątny (kąt prosty przy G): e²+a²=d²\n520+a²=(2√194)²=776\na²=256, a=16.\n4. Pole powierzchni całkowitej: Pc=2ab+2bc+2ac=2·16·14+2·14·18+2·16·18=448+504+576=1528.\n\nOdpowiedź: Pc = 1528.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-43.2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":100,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 43.2. (0-4)
W prostopadłościanie 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 dane są:
tg 𝛽= 9
7 |𝐵𝐺| = 2 ⋅√130 |𝐵𝐻| = 2 ⋅√194
gdzie odcinek 𝐵𝐻 jest przekątną prostopadłościanu, odcinek 𝐵𝐺 jest przekątną ściany bocznej
𝐵𝐶𝐺𝐹, 𝛽 jest miarą kąta ∡𝐺𝐵𝐶. Sytuację ilustruje rysunek poniżej.
Oblicz pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu 𝑨𝑩𝑪𝑫𝑬𝑭𝑮𝑯.
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝐸
𝐹
𝐺
𝐻
𝛽
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
101
Wymagania ogólne
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
3.
Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących,
w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu.
IV. Rozumowanie i argumentacja.
4.
Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach
nietypowych.
Wymagania szczegółowe
X. Stereometria. Zdający:

\n
  1. rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami […];
  2. oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów […] również z wykorzystaniem
\n

trygonometrii i poznanych twierdzeń.
Zasady oceniania
4 pkt - poprawna metoda obliczenia pola powierzchni całkowitej graniastosłupa oraz podanie
prawidłowego wyniku: 𝑃𝑐= 1528.
3 pkt - poprawne obliczenie długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu: |𝐵𝐶| = 14,
|𝐶𝐺| = 18, |𝐺𝐻| = 16
LUB

\n\n

rachunkowy w obliczeniach i poprawne zapisanie wzoru na pole powierzchni całkowitej
prostopadłościanu.
2 pkt - obliczenie długości dwóch krawędzi: |𝐵𝐶| = 14, |𝐶𝐺| = 18 oraz zapisanie równania
wynikającego z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐵𝐺𝐻: |𝐵𝐺|2 + |𝐺𝐻|2 = |𝐻𝐵|2
LUB

\n\n

z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐵𝐶𝐺:
|𝐵𝐶|2 + |𝐶𝐺|2 = |𝐵𝐺|2 i zapisanie związku
|𝐶𝐺|
|𝐵𝐶| =
9
7.
1 pkt - zapisanie równania wynikającego z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐵𝐶𝐺:
|𝐵𝐶|2 + |𝐶𝐺|2 = |𝐵𝐺|2 oraz zapisanie związku
|𝐶𝐺|
|𝐵𝐶| =
9
7
LUB

\n\n

z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐵𝐺𝐻: |𝐵𝐺|2 + |𝐺𝐻|2 = |𝐻𝐵|2
LUB

\n\n

są oznaczeniami odpowiednich odcinków w prostopadłościanie (zobacz przykładowe
rozwiązanie).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
102
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023
Przykładowe pełne rozwiązanie
Wprowadzimy oznaczenia dla odcinków (jak na rysunku obok) -
długości krawędzi prostopadłościanu oznaczymy przez 𝑎, 𝑏, 𝑐, a
przekątną prostopadłościanu i przekątną ściany 𝐵𝐶𝐺𝐹 oznaczymy
przez 𝑑 oraz 𝑒. Warunki zadania zapiszemy jako:
tg 𝛽= 9
7 𝑒= 2 ⋅√130 𝑑= 2 ⋅√194

\n
  1. Wyznaczymy zależność między 𝑏 a 𝑐 w trójkącie 𝐵𝐶𝐺:
\n

tg 𝛽= 𝑐
𝑏= 9
7 stąd 𝑐= 9
7 𝑏

\n
  1. Zastosujemy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego
\n

𝐵𝐶𝐺, w celu obliczenia 𝑏 i 𝑐:
𝑏2 + 𝑐2 = 𝑒2
Wykorzystamy związek z pkt. 1:
𝑏2 + (9
7𝑏)
2
= (2 ⋅√130)
2
130
49 𝑏2 = 520
𝑏2 = 196
zatem
𝑏= 14 oraz 𝑐=
9
7 ⋅14 = 18

\n
  1. Zauważmy, że trójkąt 𝐵𝐺𝐻 jest prostokątny (kąt prosty jest przy wierzchołku 𝐺).
\n

Zastosujemy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego 𝐵𝐺𝐻, w celu obliczenia 𝑎.
𝑒2 + 𝑎2 = 𝑑2
(2 ⋅√130)
2 + 𝑎2 = (2 ⋅√194)
2
𝑎2 = 256
𝑎= 16

\n
  1. Obliczymy pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu:
\n

𝑃𝑐= 2𝑎𝑏+ 2𝑏𝑐+ 2𝑎𝑐
𝑃𝑐= 2 ⋅16 ⋅14 + 2 ⋅14 ⋅18 + 2 ⋅16 ⋅18
𝑃𝑐= 1528
𝐶
𝐸
𝐺
𝐻
𝐹
𝐷
𝛽
𝐴
𝐵
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
𝑒
𝑎
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
103

","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

Oznaczmy krawędzie prostopadłościanu: |BC|=b, |CG|=c, |AB|=a; przekątna ściany BCGF: e=|BG|=2√130; przekątna bryły: d=|BH|=2√194; β=∡GBC.

\n
  1. W trójkącie prostokątnym BCG: tgβ=c/b=9/7, więc c=(9/7)b.
  2. Z tw. Pitagorasa: b²+c²=e²: b²+(9/7 b)²=(2√130)²=520
\n

b²(1+81/49)=520, b²·(130/49)=520, b²=196, b=14, c=(9/7)·14=18.

\n
  1. Trójkąt BGH jest prostokątny (kąt prosty przy G): e²+a²=d²
\n

520+a²=(2√194)²=776
a²=256, a=16.

\n
  1. Pole powierzchni całkowitej: Pc=2ab+2bc+2ac=2·16·14+2·14·18+2·16·18=448+504+576=1528.
\n

Odpowiedź: Pc = 1528.

"}]}