{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/45.2","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"45.2","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 45.2. (0-3)\nOblicz miarę kąta ∡𝑩𝑺𝑨 wycinka koła, z którego powstała powierzchnia boczna stożka\nopisanego we wstępie do zadania. Miarę kąta ∡𝑩𝑺𝑨 podaj w zaokrągleniu do jednego\nstopnia.\nWymagania ogólne\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1.\nInterpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno\nmatematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów,\ntabel.\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n2.\nDobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów\npraktycznych i teoretycznych.\n106\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\nWymagania szczegółowe\nVIII. Planimetria. Zdający:\n6) stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu.\nX. Stereometria. Zdający:\n6) oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka\ni kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia miary kąta ∡𝐵𝑆𝐴 (lub wyprowadzenie równania na miarę\nkąta: |∡𝐵𝑆𝐴| =\n𝑟\n√𝐻2+𝑟2 ⋅360°) oraz podanie prawidłowego wyniku ∡𝐵𝑆𝐴≈134°.\n2 pkt - poprawne wyprowadzenie i zapisanie związku 𝛼=\n𝑟\n𝑙⋅360° oraz zapisanie równania\nwynikającego z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐴𝑂𝑆: 𝑙2 = 𝑟2 + 𝐻2\n1 pkt - zapisanie równania\n𝛼\n360° ⋅2𝜋𝑙= 2𝜋𝑟\nLUB\n- zapisanie równania\n𝛼\n360° ⋅𝜋𝑙2 = 𝜋𝑟𝑙\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nWprowadzimy oznaczenia:\n𝑠𝐴𝐵 - długość łuku 𝐴𝐵 wycinka koła 𝐴𝐵𝑆.\n𝑃𝐴𝐵𝑆 - pole wycinka koła 𝐴𝐵𝑆.\n𝑟=\n𝑑\n2 - promień okręgu w podstawie stożka.\n𝛼= |∡𝐵𝑆𝐴| - miara kąta ∡𝐵𝑆𝐴 wycinka koła.\n𝛽 - połowa miary kąta rozwarcia stożka.\nSposób 1.\nWyprowadzimy wzór końcowy na symbolach danych (pominiemy obliczenia pośrednie).\n1. Zauważmy, że z łuku 𝐴𝐵 wycinka koła powstał okrąg w podstawie stożkowej czapeczki.\nZatem długość łuku 𝐴𝐵 jest równa długości (obwodowi) okręgu w podstawie stożka.\nZastosujemy wzór na długość łuku 𝐴𝐵 oraz wzór na obwód okręgu:\n𝐴\n𝑆\n𝑙\n𝐵\n𝛼\n𝑠𝐴𝐵\n𝑆\n𝑙\n𝐻\n𝐴= 𝐵\n𝛽\n𝑟\n𝑂\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n107\n𝑠𝐴𝐵= Obwpodstawy\n𝛼\n360° ⋅2𝜋𝑙= 2𝜋𝑟\n𝛼= 𝑟\n𝑙⋅360°\nUwaga\nZauważmy, że otrzymany wzór zadaje nadzwyczaj prostą relację między kątem wycinka koła\ni kątem rozwarcia stożka:\n𝛼= sin 𝛽⋅360°\n2. Wyrazimy 𝑙 poprzez 𝐻 i 𝑑 na podstawie twierdzenia Pitagorasa:\n𝑙2 = 𝐻2 + 𝑟2 zatem 𝑙2 = 𝐻2 + (𝑑\n2)\n2\n𝑙= √𝐻2 + (𝑑\n2)\n2\n3. Zapiszemy wzór na miarę kąta 𝛼 i ją obliczymy:\n𝛼=\n𝑑\n2\n√𝐻2 + (𝑑\n2)\n2 ⋅360°\n𝛼=\n10\n√252 + 102 ⋅360°\n𝛼≈134°\nSposób 2.\nWyprowadzimy wzór końcowy na symbolach danych (pominiemy obliczenia pośrednie).\n1. Zauważmy, że pole 𝐴𝐵𝑆 wycinka koła jest równe polu powierzchni bocznej stożka (polu\npowierzchni czapeczki). Zastosujemy wzór na pole 𝐴𝐵𝑆 wycinka koła oraz wzór na pole\npowierzchni bocznej stożka:\n𝑃𝐴𝐵𝑆= 𝑃𝑏\n𝛼\n360° ⋅𝜋𝑙2 = 𝜋𝑟𝑙\n𝛼= 𝑟\n𝑙⋅360°\nKrok 2. i 3. Jak w sposobie 1.\n108\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\nKOMBINATORYKA, RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA","answer":null,"answer_text":null,"solution":"r=d/2=10 cm, H=25 cm. Tworząca: l=√(H²+r²)=√(625+100)=√725.\nDługość łuku AB wycinka koła = obwód podstawy stożka:\nα/360°·2πl = 2πr, stąd α = (r/l)·360°.\nα = (10/√725)·360° ≈ 133,6° ≈ 134°.\n\nOdpowiedź: |∡BSA| ≈ 134°.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-45.2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":105,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"<p>Zadanie 45.2. (0-3)<br>Oblicz miarę kąta ∡𝑩𝑺𝑨 wycinka koła, z którego powstała powierzchnia boczna stożka<br>opisanego we wstępie do zadania. Miarę kąta ∡𝑩𝑺𝑨 podaj w zaokrągleniu do jednego<br>stopnia.<br>Wymagania ogólne<br>II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.<br>1.<br>Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno<br>matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów,<br>tabel.<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.<br>2.<br>Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów<br>praktycznych i teoretycznych.<br>106<br>Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023<br>Wymagania szczegółowe<br>VIII. Planimetria. Zdający:</p>\n<ol><li>stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu.</li></ol>\n<p>X. Stereometria. Zdający:</p>\n<ol><li>oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka</li></ol>\n<p>i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń.<br>Zasady oceniania<br>3 pkt - poprawna metoda obliczenia miary kąta ∡𝐵𝑆𝐴 (lub wyprowadzenie równania na miarę<br>kąta: |∡𝐵𝑆𝐴| =<br>𝑟<br>√𝐻2+𝑟2 ⋅360°) oraz podanie prawidłowego wyniku ∡𝐵𝑆𝐴≈134°.<br>2 pkt - poprawne wyprowadzenie i zapisanie związku 𝛼=<br>𝑟<br>𝑙⋅360° oraz zapisanie równania<br>wynikającego z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐴𝑂𝑆: 𝑙2 = 𝑟2 + 𝐻2<br>1 pkt - zapisanie równania<br>𝛼<br>360° ⋅2𝜋𝑙= 2𝜋𝑟<br>LUB</p>\n<ul><li>zapisanie równania</li></ul>\n<p>𝛼<br>360° ⋅𝜋𝑙2 = 𝜋𝑟𝑙<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Wprowadzimy oznaczenia:<br>𝑠𝐴𝐵 - długość łuku 𝐴𝐵 wycinka koła 𝐴𝐵𝑆.<br>𝑃𝐴𝐵𝑆 - pole wycinka koła 𝐴𝐵𝑆.<br>𝑟=<br>𝑑<br>2 - promień okręgu w podstawie stożka.<br>𝛼= |∡𝐵𝑆𝐴| - miara kąta ∡𝐵𝑆𝐴 wycinka koła.<br>𝛽 - połowa miary kąta rozwarcia stożka.<br>Sposób 1.<br>Wyprowadzimy wzór końcowy na symbolach danych (pominiemy obliczenia pośrednie).</p>\n<ol><li>Zauważmy, że z łuku 𝐴𝐵 wycinka koła powstał okrąg w podstawie stożkowej czapeczki.</li></ol>\n<p>Zatem długość łuku 𝐴𝐵 jest równa długości (obwodowi) okręgu w podstawie stożka.<br>Zastosujemy wzór na długość łuku 𝐴𝐵 oraz wzór na obwód okręgu:<br>𝐴<br>𝑆<br>𝑙<br>𝐵<br>𝛼<br>𝑠𝐴𝐵<br>𝑆<br>𝑙<br>𝐻<br>𝐴= 𝐵<br>𝛽<br>𝑟<br>𝑂<br>Przykładowe zadania z rozwiązaniami<br>107<br>𝑠𝐴𝐵= Obwpodstawy<br>𝛼<br>360° ⋅2𝜋𝑙= 2𝜋𝑟<br>𝛼= 𝑟<br>𝑙⋅360°<br>Uwaga<br>Zauważmy, że otrzymany wzór zadaje nadzwyczaj prostą relację między kątem wycinka koła<br>i kątem rozwarcia stożka:<br>𝛼= sin 𝛽⋅360°</p>\n<ol><li>Wyrazimy 𝑙 poprzez 𝐻 i 𝑑 na podstawie twierdzenia Pitagorasa:</li></ol>\n<p>𝑙2 = 𝐻2 + 𝑟2 zatem 𝑙2 = 𝐻2 + (𝑑<br>2)<br>2<br>𝑙= √𝐻2 + (𝑑<br>2)<br>2</p>\n<ol><li>Zapiszemy wzór na miarę kąta 𝛼 i ją obliczymy:</li></ol>\n<p>𝛼=<br>𝑑<br>2<br>√𝐻2 + (𝑑<br>2)<br>2 ⋅360°<br>𝛼=<br>10<br>√252 + 102 ⋅360°<br>𝛼≈134°<br>Sposób 2.<br>Wyprowadzimy wzór końcowy na symbolach danych (pominiemy obliczenia pośrednie).</p>\n<ol><li>Zauważmy, że pole 𝐴𝐵𝑆 wycinka koła jest równe polu powierzchni bocznej stożka (polu</li></ol>\n<p>powierzchni czapeczki). Zastosujemy wzór na pole 𝐴𝐵𝑆 wycinka koła oraz wzór na pole<br>powierzchni bocznej stożka:<br>𝑃𝐴𝐵𝑆= 𝑃𝑏<br>𝛼<br>360° ⋅𝜋𝑙2 = 𝜋𝑟𝑙<br>𝛼= 𝑟<br>𝑙⋅360°<br>Krok 2. i 3. Jak w sposobie 1.<br>108<br>Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023<br>KOMBINATORYKA, RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA</p>","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"<p>r=d/2=10 cm, H=25 cm. Tworząca: l=√(H²+r²)=√(625+100)=√725.<br>Długość łuku AB wycinka koła = obwód podstawy stożka:<br>α/360°·2πl = 2πr, stąd α = (r/l)·360°.<br>α = (10/√725)·360° ≈ 133,6° ≈ 134°.</p>\n<p>Odpowiedź: |∡BSA| ≈ 134°.</p>"}]}