{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/46","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"46","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 46. (0-2)\nPojedynczy znak w piśmie Braille’a dla niewidomych jest kombinacją od 1 do 6 wypukłych\npunktów, które mogą zajmować miejsca ułożone w dwóch kolumnach po trzy miejsca w każdej\nkolumnie. Poniżej podano przykład napisu w piśmie Braille’a. Czarne kropki w znaku\noznaczają wypukłości, a białe kropki oznaczają brak wypukłości. Pojedynczy znak w piśmie\nBraille’a musi zawierać co najmniej jeden punkt wypukły.\nOblicz, ile różnych pojedynczych znaków można zapisać w piśmie Braille’a.\nWymagania ogólne\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1.\nInterpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno\nmatematycznym, jak i popularnonaukowym […].\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n2.\nDobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów\npraktycznych i teoretycznych.\nWymagania szczegółowe\nXI. Kombinatoryka. Zdający:\n1) zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych;\n2) zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) […].\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie prawidłowej metody do obliczenia wszystkich znaków, uwzględnienie\nwarunku zadania i podanie wyniku: 63.\n1 pkt - zapisanie wzoru na liczbę wszystkich możliwych znaków bez uwzględnienia warunku\nzadania (tzn. łącznie ze znakiem bez punktu wypukłego): 2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 ⋅2\nLUB\nm\na\nt\nu\nr\ny\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n109\n- zastosowanie metody dodawania polegającej na bezpośrednim zliczeniu i dodaniu\nliczby znaków: z jednym punktem wypukłym, z dwoma punktami wypukłymi, z trzema\npunktami wypukłymi, z czterema punktami wypukłymi, z pięcioma punktami wypukłymi\ni z sześcioma punktami wypukłymi oraz prawidłowe zliczenie znaków w co najmniej\ntrzech spośród sześciu wymienionych grup.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1. (zastosowanie zasady mnożenia)\nZastosujemy regułę mnożenia. Zauważmy, że utworzenie znaku polega na podjęciu kolejno 6\ndecyzji o tym, jaki ma być rodzaj punktu - elementu znaku. Punkt może być wypukły albo\nmoże nie być wypukły. Zatem mamy dwie możliwości wyboru rodzaju punktu:\nalbo\nZgodnie\nz\nregułą\nmnożenia,\nw\ntakich\nprzypadkach\nliczbę\nmożliwości\nwyboru\nskładnika/elementu obiektu mnożymy przez siebie tyle razy, z ilu elementów składa się obiekt:\n2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 = 64\nWszystkich możliwości (łącznie z utworzeniem konfiguracji 6 braków wypukłości) jest 64.\nPonieważ znak Braille’a musi zawierać co najmniej jeden punkt wypukły, to wszystkich znaków\njest:\n64 -1 = 63\nSposób 2. (bezpośrednie zliczenie liczby znaków z zastosowaniem zasady dodawania)\nBędziemy kolejno zliczać „na piechotę” znaki: z jednym punktem\nwypukłym, z dwoma punktami wypukłymi, z trzema punktami wypukłymi,\nz czterema punktami wypukłymi, z pięcioma punktami wypukłymi\ni z sześcioma punktami wypukłymi. Zbiory znaków z daną liczbą punktów\nwypukłych oznaczymy odpowiednio jako: 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, 𝐴4, 𝐴5, 𝐴6.\nAby zliczanie przeprowadzić metodycznie, ułatwimy sobie zadanie\nnumerując punkty w polu znaku, jak na rysunku obok.\n2 możliwości:\nalbo\n2 możliwości:\nalbo\n2 możliwości:\nalbo\n2 możliwości:\nalbo\n2 możliwości:\nalbo\n2 możliwości:\nalbo\n1\n4\n2\n5\n3\n6\n110\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\nW takiej konwencji, przykładowo:\n- znak\noznaczymy jedną cyfrą: (2);\n- znak\noznaczymy trójką cyfr: (1,3,4) - przy czym kolejność zapisu tych cyfr nie ma\nznaczenia.\n𝐴1 = {(1), (2), (3), (4), (5), (6)}\n|𝐴1| = 6\n𝐴2 =\n{\n(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),\n(2,3), (2,4), (2,5), (2,6),\n(3,4), (3,5), (3,6)\n(4,5), (4,6)\n(5,6) }\n|𝐴2| = 15\n𝐴3 =\n{\n(1,2,3), (1,2,4), (1,2,5), (1,2,6),\n(1,3,4), (1,3,5), (1,3,6),\n(1,4,5), (1,4,6), (1,5,6),\n(2,3,4), (2,3,5), (2,3,6)\n(2,4,5), (2,4,6), (2,5,6)\n(3,4,5), (3,4,6), (3,5,6)\n(4,5,6) }\n|𝐴3| = 20\nZauważmy, że każdemu znakowi z dwoma punktami wypukłymi możemy przyporządkować\nznak z czterema punktami wypukłymi, zamieniając punkty wypukłe na niewypukłe i odwrotnie:\nNp. znakowi\nprzyporządkujemy znak\nZatem znaków z czterema punktami wypukłymi jest tyle samo, co znaków z dwoma punktami\nwypukłymi. Podobnie argumentujemy, że znaków z pięcioma punktami wypukłymi jest tyle\nsamo co znaków z jednym punktem wypukłym:\n|𝐴4| = |𝐴2| = 15 |𝐴5| = |𝐴1| = 6\n𝐴6 = {(1,2,3,4,5,6)}\n|𝐴6| = 1\nWszystkich znaków w piśmie Braille’a jest:\n|𝐴1| + |𝐴2| + |𝐴3| + |𝐴4| + |𝐴5| + |𝐴6| = 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 63\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n111","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Znak Braille'a to 6 miejsc, każde wypukłe lub nie: 2^6=64 możliwości (łącznie z pustym).\nPonieważ znak musi mieć co najmniej 1 punkt wypukły, odejmujemy przypadek pusty:\n64-1=63.\n\nOdpowiedź: 63 różne znaki.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-46.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":108,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 46. (0-2)
Pojedynczy znak w piśmie Braille’a dla niewidomych jest kombinacją od 1 do 6 wypukłych
punktów, które mogą zajmować miejsca ułożone w dwóch kolumnach po trzy miejsca w każdej
kolumnie. Poniżej podano przykład napisu w piśmie Braille’a. Czarne kropki w znaku
oznaczają wypukłości, a białe kropki oznaczają brak wypukłości. Pojedynczy znak w piśmie
Braille’a musi zawierać co najmniej jeden punkt wypukły.
Oblicz, ile różnych pojedynczych znaków można zapisać w piśmie Braille’a.
Wymagania ogólne
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.
1.
Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno
matematycznym, jak i popularnonaukowym […].
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
2.
Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów
praktycznych i teoretycznych.
Wymagania szczegółowe
XI. Kombinatoryka. Zdający:

\n
  1. zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych;
  2. zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) […].
\n

Zasady oceniania
2 pkt - zastosowanie prawidłowej metody do obliczenia wszystkich znaków, uwzględnienie
warunku zadania i podanie wyniku: 63.
1 pkt - zapisanie wzoru na liczbę wszystkich możliwych znaków bez uwzględnienia warunku
zadania (tzn. łącznie ze znakiem bez punktu wypukłego): 2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 ⋅2
LUB
m
a
t
u
r
y
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
109

\n\n

liczby znaków: z jednym punktem wypukłym, z dwoma punktami wypukłymi, z trzema
punktami wypukłymi, z czterema punktami wypukłymi, z pięcioma punktami wypukłymi
i z sześcioma punktami wypukłymi oraz prawidłowe zliczenie znaków w co najmniej
trzech spośród sześciu wymienionych grup.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1. (zastosowanie zasady mnożenia)
Zastosujemy regułę mnożenia. Zauważmy, że utworzenie znaku polega na podjęciu kolejno 6
decyzji o tym, jaki ma być rodzaj punktu - elementu znaku. Punkt może być wypukły albo
może nie być wypukły. Zatem mamy dwie możliwości wyboru rodzaju punktu:
albo
Zgodnie
z
regułą
mnożenia,
w
takich
przypadkach
liczbę
możliwości
wyboru
składnika/elementu obiektu mnożymy przez siebie tyle razy, z ilu elementów składa się obiekt:
2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 = 64
Wszystkich możliwości (łącznie z utworzeniem konfiguracji 6 braków wypukłości) jest 64.
Ponieważ znak Braille’a musi zawierać co najmniej jeden punkt wypukły, to wszystkich znaków
jest:
64 -1 = 63
Sposób 2. (bezpośrednie zliczenie liczby znaków z zastosowaniem zasady dodawania)
Będziemy kolejno zliczać „na piechotę” znaki: z jednym punktem
wypukłym, z dwoma punktami wypukłymi, z trzema punktami wypukłymi,
z czterema punktami wypukłymi, z pięcioma punktami wypukłymi
i z sześcioma punktami wypukłymi. Zbiory znaków z daną liczbą punktów
wypukłych oznaczymy odpowiednio jako: 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, 𝐴4, 𝐴5, 𝐴6.
Aby zliczanie przeprowadzić metodycznie, ułatwimy sobie zadanie
numerując punkty w polu znaku, jak na rysunku obok.
2 możliwości:
albo
2 możliwości:
albo
2 możliwości:
albo
2 możliwości:
albo
2 możliwości:
albo
2 możliwości:
albo
1
4
2
5
3
6
110
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023
W takiej konwencji, przykładowo:

\n\n

oznaczymy jedną cyfrą: (2);

\n\n

oznaczymy trójką cyfr: (1,3,4) - przy czym kolejność zapisu tych cyfr nie ma
znaczenia.
𝐴1 = {(1), (2), (3), (4), (5), (6)}
|𝐴1| = 6
𝐴2 =
{
(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),
(2,3), (2,4), (2,5), (2,6),
(3,4), (3,5), (3,6)
(4,5), (4,6)
(5,6) }
|𝐴2| = 15
𝐴3 =
{
(1,2,3), (1,2,4), (1,2,5), (1,2,6),
(1,3,4), (1,3,5), (1,3,6),
(1,4,5), (1,4,6), (1,5,6),
(2,3,4), (2,3,5), (2,3,6)
(2,4,5), (2,4,6), (2,5,6)
(3,4,5), (3,4,6), (3,5,6)
(4,5,6) }
|𝐴3| = 20
Zauważmy, że każdemu znakowi z dwoma punktami wypukłymi możemy przyporządkować
znak z czterema punktami wypukłymi, zamieniając punkty wypukłe na niewypukłe i odwrotnie:
Np. znakowi
przyporządkujemy znak
Zatem znaków z czterema punktami wypukłymi jest tyle samo, co znaków z dwoma punktami
wypukłymi. Podobnie argumentujemy, że znaków z pięcioma punktami wypukłymi jest tyle
samo co znaków z jednym punktem wypukłym:
|𝐴4| = |𝐴2| = 15 |𝐴5| = |𝐴1| = 6
𝐴6 = {(1,2,3,4,5,6)}
|𝐴6| = 1
Wszystkich znaków w piśmie Braille’a jest:
|𝐴1| + |𝐴2| + |𝐴3| + |𝐴4| + |𝐴5| + |𝐴6| = 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 63
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
111

","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

Znak Braille'a to 6 miejsc, każde wypukłe lub nie: 2^6=64 możliwości (łącznie z pustym).
Ponieważ znak musi mieć co najmniej 1 punkt wypukły, odejmujemy przypadek pusty:
64-1=63.

\n

Odpowiedź: 63 różne znaki.

"}]}