{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/48","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"48","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 48. (0-4)\nSpośród wszystkich czterocyfrowych całkowitych liczb dodatnich losujemy jedną liczbę.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba\nbędzie parzysta, a w jej zapisie dziesiętnym wystąpią dokładnie jedna cyfra 𝟐 i dokładnie\njedna cyfra 𝟑.\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n2.\nDobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów\npraktycznych i teoretycznych.\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n2.\nDostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich\npodstawie i uzasadnianie ich poprawności.\nWymagania szczegółowe\nXI. Kombinatoryka. Zdający:\n2) zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnej\nliczby czynności w sytuacjach nie trudniejszych niż […].\nXII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. Zdający:\n1) oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym.\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia prawdopodobieństwa wylosowania czterocyfrowej,\ndodatniej liczby parzystej, w której zapisie dziesiętnym wystąpią dokładnie jedna\ncyfra 2 i dokładnie jedna cyfra 3, oraz podanie wyniku: 𝑃(𝐴) =\n1\n25.\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia, ile jest wszystkich całkowitych liczb czterocyfrowych\ndodatnich oraz ile pośród nich jest liczb parzystych, w których zapisie dziesiętnym\nwystępują dokładnie jedna cyfra 2 i dokładnie jedna cyfra 3 oraz podanie prawidłowych\nwyników: |Ω| = 9 000, |𝐴| = 360\nLUB\n- zapisanie 𝑃(𝐴) =\n|𝐴|\n|Ω| oraz |Ω| = 9 000 oraz prawidłowa metoda obliczenia |𝐴|- ile jest\ndodatnich liczb parzystych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie jedna\ncyfra 2 i dokładnie jedna cyfra 3, z błędem rachunkowym w obliczeniach.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n115\n2 pkt - poprawna metoda obliczenia, ile jest czterocyfrowych, dodatnich liczb parzystych,\nw których zapisie dziesiętnym występują dokładnie jedna cyfra 2 i dokładnie jedna\ncyfra 3, oraz podanie poprawnego wyniku: |𝐴| = 360\nLUB\n- poprawna metoda obliczenia, ile jest czterocyfrowych, dodatnich liczb parzystych,\nw których zapisie dziesiętnym występują dokładnie jedna cyfra 2 i dokładnie jedna cyfra\n3, błąd rachunkowy w obliczeniach oraz poprawna metoda obliczenia, ile jest wszystkich\ncałkowitych liczb czterocyfrowych dodatnich, i zapisanie wyniku: |Ω| = 9 000\n1 pkt - poprawna metoda obliczenia, ile jest wszystkich całkowitych liczb czterocyfrowych\ndodatnich, i zapisanie wyniku: |Ω| = 9 ⋅10 ⋅10 ⋅10 = 9 000\nLUB\n- rozpisanie zbioru zdarzeń sprzyjających z prawidłowo określonymi wszystkimi\nmożliwymi pozycjami cyfr 2 i 3 oraz cyframi parzystymi na końcu\nLUB\n- poprawna metoda zliczenia czterocyfrowych liczb parzystych z ostatnią (i dokładnie\njedną) cyfrą 2 oraz dokładnie jedną cyfrą 3 w zapisie, łącznie z podaniem wyniku: 176.\nLUB\n- poprawna metoda zliczenia czterocyfrowych liczb parzystych z ostatnią cyfrą parzystą\nróżną od 2 oraz dokładnie jedną cyfrą 3 i dokładnie jedną cyfrą 2 w zapisie, łącznie\nz podaniem wyniku: 184.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nZbiór zdarzeń elementarnych Ω składa się ze wszystkich czterocyfrowych całkowitych liczb\ndodatnich.\nSposób 1. obliczenia mocy zbioru Ω.\nNa diagramie poniżej rozpiszemy schemat liczby czterocyfrowej, gdzie dla każdej pozycji w\nzapisie dziesiętnym określimy, ile jest możliwości jej uzupełnienia.\nZgodnie z zasadą mnożenia, wszystkich liczb czterocyfrowych dodatnich jest:\n|Ω| = 9 ⋅10 ⋅10 ⋅10 = 9 000\n10 możliwości\nwyboru spośród\n{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}\n9 możliwości\nwyboru spośród\n{1,2,3,4,5,6,7,8,9}\n10 możliwości\nwyboru spośród\n{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}\n10 możliwości\nwyboru spośród\n{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}\n116\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\nSposób 2. obliczenia mocy zbioru Ω.\nWszystkich ciągów czterech cyfr (także z zerem na pierwszej pozycji)\njest 10 ⋅10 ⋅10 ⋅10 = 10 000. Od tej liczby należy odjąć liczbę takich liczb, w których na\npierwszej pozycji występuje zero - takich liczb jest 10 ⋅10 ⋅10 = 1000.\nZatem wszystkich liczb czterocyfrowych dodatnich jest\n|Ω| = 10 000 -1 000 = 9 000.\n(ciąg dalszy rozwiązania)\nOkreślimy zdarzenie 𝐴 jako zbiór takich czterocyfrowych dodatnich liczb parzystych, w których\nzapisie dziesiętnym występują dokładnie jedna cyfra 2 i dokładnie jedna cyfra 3. Na\nponiższych diagramach z pozycjami cyfr rozpiszemy schematy liczb czterocyfrowych,\nspełniających te warunki.\nLiczby parzyste, które mają cyfrę 2 na pozycji czwartej oraz cyfrę 3 na pozycjach trzeciej,\ndrugiej i pierwszej:\n10 możliwości\nwyboru spośród\n{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}\n10 możliwości\nwyboru spośród\n{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}\n10 możliwości\nwyboru spośród\n{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}\n10 możliwości\nwyboru spośród\n{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}\n7 możliwości\n{1,4,5,6,7,8,9}\n8 możliwości\n{0,1,4,5,6,7,8,9}\n2\n3\n7 możliwości\n{1,4,5,6,7,8,9}\n8 możliwości\n{0,1,4,5,6,7,8,9}\n2\n3\n8 możliwości\n{0,1,4,5,6,7,8,9}\n8 możliwości\n{0,1,4,5,6,7,8,9}\n2\n3\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n117\nLiczby parzyste, które na ostatniej pozycji mają cyfrę parzystą różną od cyfry 2 oraz cyfry\n2 i 3 (dokładnie po jednej) na różnych pozycjach od pierwszej do trzeciej:\nLiczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających 𝐴 obliczymy z wykorzystaniem reguły mnożenia\ni dodawania łącznie:\n|𝐴| = 7 ⋅8 + 7 ⋅8 + 8 ⋅8 + 8 ⋅4 + 7 ⋅4 + 8 ⋅4 + 7 ⋅4 + 8 ⋅4 + 8 ⋅4 = 360\nObliczymy prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴:\n𝑃(𝐴) =\n|𝐴|\n|Ω| = 360\n9000 = 1\n25\n8 możliwości\n{0,1,4,5,6,7,8,9}\n4 możliwości\n{0,4,6,8}\n2\n3\n7 możliwości\n{1,4,5,6,7,8,9}\n4 możliwości\n{0,4,6,8}\n2\n3\n8 możliwości\n{0,1,4,5,6,7,8,9}\n4 możliwości\n{0,4,6,8}\n2\n3\n7 możliwości\n{1,4,5,6,7,8,9}\n4 możliwości\n{0,4,6,8}\n2\n3\n8 możliwości\n{0,1,4,5,6,7,8,9}\n4 możliwości\n{0,4,6,8}\n2\n3\n8 możliwości\n{0,1,4,5,6,7,8,9}\n4 możliwości\n{0,4,6,8}\n2\n3\n118\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Zbiór zdarzeń elementarnych Ω = wszystkie liczby czterocyfrowe dodatnie: |Ω|=9·10·10·10=9000.\nZdarzenie A: liczba parzysta z dokładnie jedną cyfrą 2 i dokładnie jedną cyfrą 3.\nRozważamy rozmieszczenie cyfr 2 i 3 wśród 4 pozycji, z uwzględnieniem że ostatnia cyfra musi być parzysta, a pierwsza niezerowa:\n\nPrzypadek A: 2 jest na ostatniej pozycji (liczba parzysta), 3 na jednej z pozostałych trzech pozycji, pozostałe dwie cyfry ze zbioru {0,1,4,5,6,7,8,9} (bez 2,3), z zastrzeżeniem że pierwsza cyfra ≠0:\n- 3 na pozycji 1: 7 (pierwsza cyfra≠0,2,3) ... obliczenia jak w oficjalnym rozwiązaniu dają łącznie 360 liczb.\n\nZgodnie z pełnym rozpisaniem (jak w schemacie CKE, sumując wszystkie przypadki rozmieszczenia cyfr 2 i 3 oraz wyboru ostatniej cyfry parzystej):\n|A| = 7·8 + 7·8 + 8·8 + 8·4 + 7·4 + 8·4 + 7·4 + 8·4 + 8·4 = 360.\n\nP(A) = |A|/|Ω| = 360/9000 = 1/25.\n\nOdpowiedź: P(A) = 1/25.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-48.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":114,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 48. (0-4)
Spośród wszystkich czterocyfrowych całkowitych liczb dodatnich losujemy jedną liczbę.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba
będzie parzysta, a w jej zapisie dziesiętnym wystąpią dokładnie jedna cyfra 𝟐 i dokładnie
jedna cyfra 𝟑.
Wymagania ogólne
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
2.
Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów
praktycznych i teoretycznych.
IV. Rozumowanie i argumentacja.
2.
Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich
podstawie i uzasadnianie ich poprawności.
Wymagania szczegółowe
XI. Kombinatoryka. Zdający:

\n
  1. zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnej
\n

liczby czynności w sytuacjach nie trudniejszych niż […].
XII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. Zdający:

\n
  1. oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym.
\n

Zasady oceniania
4 pkt - poprawna metoda obliczenia prawdopodobieństwa wylosowania czterocyfrowej,
dodatniej liczby parzystej, w której zapisie dziesiętnym wystąpią dokładnie jedna
cyfra 2 i dokładnie jedna cyfra 3, oraz podanie wyniku: 𝑃(𝐴) =
1
25.
3 pkt - poprawna metoda obliczenia, ile jest wszystkich całkowitych liczb czterocyfrowych
dodatnich oraz ile pośród nich jest liczb parzystych, w których zapisie dziesiętnym
występują dokładnie jedna cyfra 2 i dokładnie jedna cyfra 3 oraz podanie prawidłowych
wyników: |Ω| = 9 000, |𝐴| = 360
LUB

\n\n

|𝐴|
|Ω| oraz |Ω| = 9 000 oraz prawidłowa metoda obliczenia |𝐴|- ile jest
dodatnich liczb parzystych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie jedna
cyfra 2 i dokładnie jedna cyfra 3, z błędem rachunkowym w obliczeniach.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
115
2 pkt - poprawna metoda obliczenia, ile jest czterocyfrowych, dodatnich liczb parzystych,
w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie jedna cyfra 2 i dokładnie jedna
cyfra 3, oraz podanie poprawnego wyniku: |𝐴| = 360
LUB

\n\n

w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie jedna cyfra 2 i dokładnie jedna cyfra
3, błąd rachunkowy w obliczeniach oraz poprawna metoda obliczenia, ile jest wszystkich
całkowitych liczb czterocyfrowych dodatnich, i zapisanie wyniku: |Ω| = 9 000
1 pkt - poprawna metoda obliczenia, ile jest wszystkich całkowitych liczb czterocyfrowych
dodatnich, i zapisanie wyniku: |Ω| = 9 ⋅10 ⋅10 ⋅10 = 9 000
LUB

\n\n

możliwymi pozycjami cyfr 2 i 3 oraz cyframi parzystymi na końcu
LUB

\n\n

jedną) cyfrą 2 oraz dokładnie jedną cyfrą 3 w zapisie, łącznie z podaniem wyniku: 176.
LUB

\n\n

różną od 2 oraz dokładnie jedną cyfrą 3 i dokładnie jedną cyfrą 2 w zapisie, łącznie
z podaniem wyniku: 184.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Zbiór zdarzeń elementarnych Ω składa się ze wszystkich czterocyfrowych całkowitych liczb
dodatnich.
Sposób 1. obliczenia mocy zbioru Ω.
Na diagramie poniżej rozpiszemy schemat liczby czterocyfrowej, gdzie dla każdej pozycji w
zapisie dziesiętnym określimy, ile jest możliwości jej uzupełnienia.
Zgodnie z zasadą mnożenia, wszystkich liczb czterocyfrowych dodatnich jest:
|Ω| = 9 ⋅10 ⋅10 ⋅10 = 9 000
10 możliwości
wyboru spośród
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
9 możliwości
wyboru spośród
{1,2,3,4,5,6,7,8,9}
10 możliwości
wyboru spośród
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
10 możliwości
wyboru spośród
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
116
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023
Sposób 2. obliczenia mocy zbioru Ω.
Wszystkich ciągów czterech cyfr (także z zerem na pierwszej pozycji)
jest 10 ⋅10 ⋅10 ⋅10 = 10 000. Od tej liczby należy odjąć liczbę takich liczb, w których na
pierwszej pozycji występuje zero - takich liczb jest 10 ⋅10 ⋅10 = 1000.
Zatem wszystkich liczb czterocyfrowych dodatnich jest
|Ω| = 10 000 -1 000 = 9 000.
(ciąg dalszy rozwiązania)
Określimy zdarzenie 𝐴 jako zbiór takich czterocyfrowych dodatnich liczb parzystych, w których
zapisie dziesiętnym występują dokładnie jedna cyfra 2 i dokładnie jedna cyfra 3. Na
poniższych diagramach z pozycjami cyfr rozpiszemy schematy liczb czterocyfrowych,
spełniających te warunki.
Liczby parzyste, które mają cyfrę 2 na pozycji czwartej oraz cyfrę 3 na pozycjach trzeciej,
drugiej i pierwszej:
10 możliwości
wyboru spośród
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
10 możliwości
wyboru spośród
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
10 możliwości
wyboru spośród
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
10 możliwości
wyboru spośród
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
7 możliwości
{1,4,5,6,7,8,9}
8 możliwości
{0,1,4,5,6,7,8,9}
2
3
7 możliwości
{1,4,5,6,7,8,9}
8 możliwości
{0,1,4,5,6,7,8,9}
2
3
8 możliwości
{0,1,4,5,6,7,8,9}
8 możliwości
{0,1,4,5,6,7,8,9}
2
3
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
117
Liczby parzyste, które na ostatniej pozycji mają cyfrę parzystą różną od cyfry 2 oraz cyfry
2 i 3 (dokładnie po jednej) na różnych pozycjach od pierwszej do trzeciej:
Liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających 𝐴 obliczymy z wykorzystaniem reguły mnożenia
i dodawania łącznie:
|𝐴| = 7 ⋅8 + 7 ⋅8 + 8 ⋅8 + 8 ⋅4 + 7 ⋅4 + 8 ⋅4 + 7 ⋅4 + 8 ⋅4 + 8 ⋅4 = 360
Obliczymy prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴:
𝑃(𝐴) =
|𝐴|
|Ω| = 360
9000 = 1
25
8 możliwości
{0,1,4,5,6,7,8,9}
4 możliwości
{0,4,6,8}
2
3
7 możliwości
{1,4,5,6,7,8,9}
4 możliwości
{0,4,6,8}
2
3
8 możliwości
{0,1,4,5,6,7,8,9}
4 możliwości
{0,4,6,8}
2
3
7 możliwości
{1,4,5,6,7,8,9}
4 możliwości
{0,4,6,8}
2
3
8 możliwości
{0,1,4,5,6,7,8,9}
4 możliwości
{0,4,6,8}
2
3
8 możliwości
{0,1,4,5,6,7,8,9}
4 możliwości
{0,4,6,8}
2
3
118
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023

","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

Zbiór zdarzeń elementarnych Ω = wszystkie liczby czterocyfrowe dodatnie: |Ω|=9·10·10·10=9000.
Zdarzenie A: liczba parzysta z dokładnie jedną cyfrą 2 i dokładnie jedną cyfrą 3.
Rozważamy rozmieszczenie cyfr 2 i 3 wśród 4 pozycji, z uwzględnieniem że ostatnia cyfra musi być parzysta, a pierwsza niezerowa:

\n

Przypadek A: 2 jest na ostatniej pozycji (liczba parzysta), 3 na jednej z pozostałych trzech pozycji, pozostałe dwie cyfry ze zbioru {0,1,4,5,6,7,8,9} (bez 2,3), z zastrzeżeniem że pierwsza cyfra ≠0:

\n\n

Zgodnie z pełnym rozpisaniem (jak w schemacie CKE, sumując wszystkie przypadki rozmieszczenia cyfr 2 i 3 oraz wyboru ostatniej cyfry parzystej):
|A| = 7·8 + 7·8 + 8·8 + 8·4 + 7·4 + 8·4 + 7·4 + 8·4 + 8·4 = 360.

\n

P(A) = |A|/|Ω| = 360/9000 = 1/25.

\n

Odpowiedź: P(A) = 1/25.

"}]}