{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/49","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"49","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 49. (0-3)\nPaweł i Grzegorz postanowili zagrać w grę losową. Ich wspólny\nkolega będzie kolejno rzucał sześcienną symetryczną kostką do gry,\nktórej ścianki są oznaczone od 1 do 6. Gdy na kostce wypadnie liczba\noczek mniejsza od 4, to Grzegorz daje Pawłowi 10 żetonów, a gdy\nna kostce wypadnie liczba oczek równa 6, to Paweł daje Grzegorzowi\n𝑥 żetonów. W pozostałych przypadkach żaden z graczy nie zyskuje\nani nie traci żetonów. Paweł i Grzegorz sprawiedliwie ustalili liczbę 𝑥\nżetonów tak, aby wartość oczekiwana zysku z gry Pawła była równa\nwartości oczekiwanej zysku z gry Grzegorza.\nOblicz ustaloną przez Pawła i Grzegorza liczbę 𝒙 żetonów.\nWymagania ogólne\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno\nmatematycznym, jak i popularnonaukowym […].\n2. Używanie\njęzyka\nmatematycznego\ndo\n[…]\nopisu\nprowadzonych\nrozumowań\ni uzasadniania wniosków, a także do przedstawiania danych.\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n2.\nDobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów\npraktycznych i teoretycznych.\nWymagania szczegółowe\nXII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. Zdający:\n1) oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym;\n5) oblicza wartość oczekiwaną, np. przy ustalaniu wysokości wygranej w prostych grach\nlosowych i loteriach.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia liczby 𝑥 żetonów oraz zapisanie wyniku: 𝑥= 30 żetonów.\n2 pkt - poprawne zapisanie wyrażenia na wartość oczekiwaną zysku Pawła oraz na wartość\noczekiwaną zysku Grzegorza:\n𝔼𝑍𝑃= +10 ⋅\n1\n2 -𝑥⋅\n1\n6 + 0 ⋅\n2\n6, 𝔼𝑍𝐺= -10 ⋅\n1\n2 + 𝑥⋅\n1\n6 + 0 ⋅\n2\n6\nLUB\n- poprawne zapisanie wyrażenia na wartość oczekiwaną zysku Pawła i stwierdzenie lub\nzapisanie, że jest ona równa zero, np.: 10 ⋅\n1\n2 -𝑥⋅\n1\n6 + 0 ⋅\n2\n6 = 0\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n119\n1 pkt - określenie i zapisanie prawdopodobieństw, z jakimi Paweł (lub Grzegorz) traci (lub\nzyskuje) liczbę 10 żetonów i liczbę 𝑥 żetonów (samo zapisanie prawdopodobieństw\nzdarzeń, bez powiązania zdarzeń z odpowiednim zyskiem lub stratą i bez dalszych\nobliczeń, nie spełnia tego kryterium).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nUwaga! Zgodnie z konwencją, do obliczeń przyjmuje się, że strata to zysk ujemny.\nSposób 1.\nWyprowadzimy wyrażenie ze zmienną 𝑥 na wartość oczekiwaną zysku z gry Pawła oraz na\nwartość oczekiwaną zysku z gry Grzegorza. Zaczniemy od Pawła.\n1. Określimy zdarzenia wraz z ich prawdopodobieństwami, dla których następuje wymiana\nżetonów w grze:\nΩ - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych - wyników rzutu kostką do gry.\nΩ = {1,2,3,4,5,6} zatem |Ω| = 6\n𝐴 - zdarzenie polegające na tym, że wypadła liczba oczek mniejsza od 4.\n𝐴= {1,2,3} zatem |𝐴| = 3\nczyli\n𝑃(𝐴) = 3\n6 = 1\n2\n𝐵 - zdarzenie polegające na tym, że wypadła liczba oczek równa 6.\n𝐵= {6} zatem |𝐵| = 1\nczyli\n𝑃(𝐵) = 1\n6\n𝐶 - zdarzenie polegające na tym, że wypadła liczba oczek równa 4 lub 5.\n𝐶= {4,5} zatem |𝐶| = 2\nczyli\n𝑃(𝐶) = 2\n6\n2. Zyski Pawła przy zajściu zdarzeń 𝐴, 𝐵, 𝐶 są następujące (zyski Pawła oznaczymy 𝑍𝑃):\n𝑍𝑃(𝐴) = +10 żetonów\n𝑍𝑃(𝐵) = -𝑥 żetonów\n𝑍𝑃(𝐶) = 0 żetonów\nPrawdopodobieństwa osiągnięcia tych zysków są takie, jak prawdopodobieństwa zdarzeń,\nprzy których te zyski zachodzą:\n120\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\n𝑃(𝑍𝑃(𝐴)) = 𝑃(𝐴) = 1\n2\n𝑃(𝑍𝑃(𝐵)) = 𝑃(𝐵) = 1\n6\n𝑃(𝑍𝑃(𝐶)) = 𝑃(𝐶) = 2\n6\n3. Obliczymy wartość oczekiwaną zysku z gry Pawła. Skorzystamy ze wzoru na wartość\noczekiwaną:\n𝔼𝑍𝑃= 𝑍𝑃(𝐴) ⋅𝑃(𝑍𝑃(𝐴)) + 𝑍𝑃(𝐵) ⋅𝑃(𝑍𝑃(𝐵)) + 𝑍𝑃(𝐶) ⋅𝑃(𝑍𝑃(𝐶))\n𝔼𝑍𝑃= +10 ⋅1\n2 -𝑥⋅1\n6 + 0 ⋅2\n6 = 5 -𝑥\n6\n4. Analogicznie zapiszemy wyrażenie na wartość oczekiwaną zysku z gry Grzegorza. Zyski\nGrzegorza przy zajściu zdarzeń 𝐴, 𝐵, 𝐶 są następujące (zyski Grzegorza oznaczymy 𝑍𝐺):\n𝑍𝐺(𝐴) = -10 żetonów\n𝑍𝐺(𝐵) = +𝑥 żetonów\n𝑍𝐺(𝐶) = 0 żetonów\nZatem wartość oczekiwana zysku z gry Grzegorza dana jest wzorem:\n𝔼𝑍𝐺= -10 ⋅1\n2 + 𝑥⋅1\n6 + 0 ⋅2\n6 = -5 + 𝑥\n6\n5. Zgodnie z warunkiem zadania, wartości oczekiwane zysku z gry Pawła i Grzegorza są sobie\nrówne, zatem:\n𝔼𝑍𝑃= 𝔼𝑍𝐺\n5 -𝑥\n6 = -5 + 𝑥\n6 więc 10 -2𝑥\n6 = 0\n𝑥= 30 żetonów\nSposób 2.\nWyprowadzimy wyrażenie ze zmienną 𝑥 na wartość oczekiwaną zysku Pawła.\nKroki 1.-3. są takie same jak w rozwiązaniu sposobem 1.\n4. Zauważmy, że ta gra ma następującą szczególną własność: zysk jednego gracza jest stratą\ndla drugiego gracza. To oznacza, że wartości oczekiwane zysków Pawła i Grzegorza\nmuszą być liczbami przeciwnymi, a z warunków zadania wynika - że muszą być liczbami\nrównymi sobie. To oznacza, że wartości oczekiwane zysków z gry każdego z graczy są\nrówne 0:\n𝔼𝑍𝑃= 0\n5 -𝑥\n6 = 0\n𝑥= 30 żetonów\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n121\nUwaga\nFakt, że wartości oczekiwane zysków obu graczy są równe, nie oznacza, że żaden z nich nie\nosiągnie realnie w rezultacie gry większego zysku. Gra jest losowa, więc może zaistnieć\nsytuacja, że podczas całej gry będą wypadały kolejno same szóstki i Grzegorz będzie zyskiwał\nzawsze po 30 żetonów. Równość wartości oczekiwanych oznacza - w rozumieniu potocznym\n- że żaden z graczy nie ma „statystycznej przewagi” w osiągnięciu większego zysku.\n122\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Ω={1,2,3,4,5,6}. A - wypadła liczba <4: P(A)=3/6=1/2 (Paweł zyskuje 10).\nB - wypadła 6: P(B)=1/6 (Paweł traci x).\nC - wypadła 4 lub 5: P(C)=2/6 (bez zmian).\nWartość oczekiwana zysku Pawła: E(Zp)=10·1/2 - x·1/6 + 0·2/6 = 5 - x/6.\nWartość oczekiwana zysku Grzegorza: E(Zg)=-10·1/2 + x·1/6 + 0 = -5 + x/6.\nWarunek: E(Zp)=E(Zg): 5-x/6 = -5+x/6, 10 = 2x/6, x=30.\n\nOdpowiedź: x = 30 żetonów.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-49.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":118,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 49. (0-3)
Paweł i Grzegorz postanowili zagrać w grę losową. Ich wspólny
kolega będzie kolejno rzucał sześcienną symetryczną kostką do gry,
której ścianki są oznaczone od 1 do 6. Gdy na kostce wypadnie liczba
oczek mniejsza od 4, to Grzegorz daje Pawłowi 10 żetonów, a gdy
na kostce wypadnie liczba oczek równa 6, to Paweł daje Grzegorzowi
𝑥 żetonów. W pozostałych przypadkach żaden z graczy nie zyskuje
ani nie traci żetonów. Paweł i Grzegorz sprawiedliwie ustalili liczbę 𝑥
żetonów tak, aby wartość oczekiwana zysku z gry Pawła była równa
wartości oczekiwanej zysku z gry Grzegorza.
Oblicz ustaloną przez Pawła i Grzegorza liczbę 𝒙 żetonów.
Wymagania ogólne
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.

\n
  1. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno
\n

matematycznym, jak i popularnonaukowym […].

\n
  1. Używanie
\n

języka
matematycznego
do
[…]
opisu
prowadzonych
rozumowań
i uzasadniania wniosków, a także do przedstawiania danych.
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
2.
Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów
praktycznych i teoretycznych.
Wymagania szczegółowe
XII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. Zdający:

\n
  1. oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym;
  2. oblicza wartość oczekiwaną, np. przy ustalaniu wysokości wygranej w prostych grach
\n

losowych i loteriach.
Zasady oceniania
3 pkt - poprawna metoda obliczenia liczby 𝑥 żetonów oraz zapisanie wyniku: 𝑥= 30 żetonów.
2 pkt - poprawne zapisanie wyrażenia na wartość oczekiwaną zysku Pawła oraz na wartość
oczekiwaną zysku Grzegorza:
𝔼𝑍𝑃= +10 ⋅
1
2 -𝑥⋅
1
6 + 0 ⋅
2
6, 𝔼𝑍𝐺= -10 ⋅
1
2 + 𝑥⋅
1
6 + 0 ⋅
2
6
LUB

\n\n

zapisanie, że jest ona równa zero, np.: 10 ⋅
1
2 -𝑥⋅
1
6 + 0 ⋅
2
6 = 0
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
119
1 pkt - określenie i zapisanie prawdopodobieństw, z jakimi Paweł (lub Grzegorz) traci (lub
zyskuje) liczbę 10 żetonów i liczbę 𝑥 żetonów (samo zapisanie prawdopodobieństw
zdarzeń, bez powiązania zdarzeń z odpowiednim zyskiem lub stratą i bez dalszych
obliczeń, nie spełnia tego kryterium).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Uwaga! Zgodnie z konwencją, do obliczeń przyjmuje się, że strata to zysk ujemny.
Sposób 1.
Wyprowadzimy wyrażenie ze zmienną 𝑥 na wartość oczekiwaną zysku z gry Pawła oraz na
wartość oczekiwaną zysku z gry Grzegorza. Zaczniemy od Pawła.

\n
  1. Określimy zdarzenia wraz z ich prawdopodobieństwami, dla których następuje wymiana
\n

żetonów w grze:
Ω - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych - wyników rzutu kostką do gry.
Ω = {1,2,3,4,5,6} zatem |Ω| = 6
𝐴 - zdarzenie polegające na tym, że wypadła liczba oczek mniejsza od 4.
𝐴= {1,2,3} zatem |𝐴| = 3
czyli
𝑃(𝐴) = 3
6 = 1
2
𝐵 - zdarzenie polegające na tym, że wypadła liczba oczek równa 6.
𝐵= {6} zatem |𝐵| = 1
czyli
𝑃(𝐵) = 1
6
𝐶 - zdarzenie polegające na tym, że wypadła liczba oczek równa 4 lub 5.
𝐶= {4,5} zatem |𝐶| = 2
czyli
𝑃(𝐶) = 2
6

\n
  1. Zyski Pawła przy zajściu zdarzeń 𝐴, 𝐵, 𝐶 są następujące (zyski Pawła oznaczymy 𝑍𝑃):
\n

𝑍𝑃(𝐴) = +10 żetonów
𝑍𝑃(𝐵) = -𝑥 żetonów
𝑍𝑃(𝐶) = 0 żetonów
Prawdopodobieństwa osiągnięcia tych zysków są takie, jak prawdopodobieństwa zdarzeń,
przy których te zyski zachodzą:
120
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023
𝑃(𝑍𝑃(𝐴)) = 𝑃(𝐴) = 1
2
𝑃(𝑍𝑃(𝐵)) = 𝑃(𝐵) = 1
6
𝑃(𝑍𝑃(𝐶)) = 𝑃(𝐶) = 2
6

\n
  1. Obliczymy wartość oczekiwaną zysku z gry Pawła. Skorzystamy ze wzoru na wartość
\n

oczekiwaną:
𝔼𝑍𝑃= 𝑍𝑃(𝐴) ⋅𝑃(𝑍𝑃(𝐴)) + 𝑍𝑃(𝐵) ⋅𝑃(𝑍𝑃(𝐵)) + 𝑍𝑃(𝐶) ⋅𝑃(𝑍𝑃(𝐶))
𝔼𝑍𝑃= +10 ⋅1
2 -𝑥⋅1
6 + 0 ⋅2
6 = 5 -𝑥
6

\n
  1. Analogicznie zapiszemy wyrażenie na wartość oczekiwaną zysku z gry Grzegorza. Zyski
\n

Grzegorza przy zajściu zdarzeń 𝐴, 𝐵, 𝐶 są następujące (zyski Grzegorza oznaczymy 𝑍𝐺):
𝑍𝐺(𝐴) = -10 żetonów
𝑍𝐺(𝐵) = +𝑥 żetonów
𝑍𝐺(𝐶) = 0 żetonów
Zatem wartość oczekiwana zysku z gry Grzegorza dana jest wzorem:
𝔼𝑍𝐺= -10 ⋅1
2 + 𝑥⋅1
6 + 0 ⋅2
6 = -5 + 𝑥
6

\n
  1. Zgodnie z warunkiem zadania, wartości oczekiwane zysku z gry Pawła i Grzegorza są sobie
\n

równe, zatem:
𝔼𝑍𝑃= 𝔼𝑍𝐺
5 -𝑥
6 = -5 + 𝑥
6 więc 10 -2𝑥
6 = 0
𝑥= 30 żetonów
Sposób 2.
Wyprowadzimy wyrażenie ze zmienną 𝑥 na wartość oczekiwaną zysku Pawła.
Kroki 1.-3. są takie same jak w rozwiązaniu sposobem 1.

\n
  1. Zauważmy, że ta gra ma następującą szczególną własność: zysk jednego gracza jest stratą
\n

dla drugiego gracza. To oznacza, że wartości oczekiwane zysków Pawła i Grzegorza
muszą być liczbami przeciwnymi, a z warunków zadania wynika - że muszą być liczbami
równymi sobie. To oznacza, że wartości oczekiwane zysków z gry każdego z graczy są
równe 0:
𝔼𝑍𝑃= 0
5 -𝑥
6 = 0
𝑥= 30 żetonów
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
121
Uwaga
Fakt, że wartości oczekiwane zysków obu graczy są równe, nie oznacza, że żaden z nich nie
osiągnie realnie w rezultacie gry większego zysku. Gra jest losowa, więc może zaistnieć
sytuacja, że podczas całej gry będą wypadały kolejno same szóstki i Grzegorz będzie zyskiwał
zawsze po 30 żetonów. Równość wartości oczekiwanych oznacza - w rozumieniu potocznym

\n\n

122
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023

","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

Ω={1,2,3,4,5,6}. A - wypadła liczba <4: P(A)=3/6=1/2 (Paweł zyskuje 10).
B - wypadła 6: P(B)=1/6 (Paweł traci x).
C - wypadła 4 lub 5: P(C)=2/6 (bez zmian).
Wartość oczekiwana zysku Pawła: E(Zp)=10·1/2 - x·1/6 + 0·2/6 = 5 - x/6.
Wartość oczekiwana zysku Grzegorza: E(Zg)=-10·1/2 + x·1/6 + 0 = -5 + x/6.
Warunek: E(Zp)=E(Zg): 5-x/6 = -5+x/6, 10 = 2x/6, x=30.

\n

Odpowiedź: x = 30 żetonów.

"}]}