Zadanie 50.4. (0-2)
Oblicz średnią miesięcznego wynagrodzenia netto wszystkich pracowników firmy 𝓕.
Wynik podaj bez zaokrąglania.
Wymagania ogólne
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.
1.
Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno
matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów,
tabel.
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
1.
Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Wymaganie szczegółowe
XII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. Zdający:
Zasady oceniania
2 pkt - poprawna metoda obliczenia średniej miesięcznych zarobków oraz podanie
prawidłowego wyniku:
1 pkt - poprawna metoda obliczenia średniej miesięcznych zarobków: obliczenie sumy
iloczynów wartości zarobków i liczby osób osiągających te zarobki oraz podzielenie tej
sumy przez liczbę wszystkich pracowników.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Na podstawie danych z wykresu obliczymy średnią miesięcznych zarobków pracowników firmy
ℱ:
𝑥=
(1 ⋅1,5 + 1 ⋅2 + 4 ⋅2,5 + 7 ⋅3 + 10 ⋅3,5 + 14 ⋅4 + 13 ⋅4,5 + 9 ⋅5 + 6 ⋅5,5) tys. zł
(1 + 1 + 4 + 7 + 10 + 14 + 13 + 9 + 6 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 + 2)
(3 ⋅6 + 2 ⋅6,5 + 1 ⋅7 + 1 ⋅7,5 + 1 ⋅8,5 + 2 ⋅10) tys. zł
(1 + 1 + 4 + 7 + 10 + 14 + 13 + 9 + 6 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 + 2) = 336 tys. zł
75
𝑥= 4,48 tys. zł
126
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023
Informacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących
127
3.
Informacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla
absolwentów niesłyszących
Informacje o egzaminie maturalnym z matematyki przedstawione w rozdziale 1. Opis
egzaminu maturalnego z matematyki dotyczą również egzaminu dla absolwentów
niesłyszących. Ponadto zdający niesłyszący przystępują do egzaminu maturalnego
w warunkach i formie dostosowanych do potrzeb wynikających z ich niepełnosprawności.
Dostosowanie warunków przeprowadzenia egzaminu maturalnego dla absolwentów
niesłyszących obejmuje m.in. czas trwania egzaminu. Dostosowanie formy egzaminu
maturalnego z matematyki dla absolwentów niesłyszących polega na przygotowaniu
odpowiednich arkuszy, w których uwzględnia się zmianę sposobu formułowania treści
niektórych zadań i poleceń. Zmiany te dotyczą zamiany pojedynczych słów, zwrotów lub
całych zdań - jeśli mogłyby one być niezrozumiałe lub błędnie zrozumiane przez osoby
niesłyszące. Zadania mogą być dodatkowo uzupełnione szkicem, tabelą lub inną formą
graficzną ilustrującą ich treść. Jednak takie zmiany nie mogą wpływać na merytoryczną treść
zadania oraz nie mogą dotyczyć terminów typowych dla danej dziedziny wiedzy.
Szczegółowe informacje z tym związane określone są w Komunikacie dyrektora Centralnej
Komisji Egzaminacyjnej w sprawie szczegółowych sposobów dostosowania warunków i form
przeprowadzania egzaminu maturalnego w danym roku szkolnym.
W dalszej części tego rozdziału zostały przedstawione przykładowe zadania z matematyki na
poziomie podstawowym, które ilustrują sposób dostosowania niektórych zadań wybranych
z rozdziału 2. Przykładowe zadania z rozwiązaniami. Zachowano tę samą numerację zadań.
128
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023
Zadanie 1. (0-1)
Dokończ zdanie. Zaznacz prawidłową odpowiedź.
Wartość wyrażenia 2021: (1 -
1
1
2021 jest równa
A. 0
B. 1
C. 2021
D. 2023
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
D
Zadanie 3. (0-1)
Klient banku wpłacił na długoterminową lokatę pewną kwotę. Oprocentowanie na tej lokacie
wynosi 3% w skali roku (po uwzględnieniu podatków). Po każdym roku oszczędzania są
doliczane odsetki od aktualnej kwoty znajdującej się na lokacie - zgodnie z procentem
składanym.
Dokończ zdanie. Zaznacz prawidłową odpowiedź.
Po 10 latach oczekiwania (bez wypłacania pieniędzy z tej lokaty) klient będzie miał na lokacie
kwotę większą od kwoty wpłaconej na początku o (w zaokrągleniu do 1%)
A. 30%
B. 34%
C. 36%
D. 43%
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
B
Informacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących
129
Zadanie 19.
Dana jest funkcja 𝑦= 𝑓(𝑥). Wykres tej funkcji
przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych
(𝑥, 𝑦) na rysunku obok.
Ta funkcja jest określona dla każdej liczby rzeczywistej
𝑥∈[-5, 8].
Zadanie 19.1. (0-1)
Zapisz w miejscu wykropkowanym poniżej zbiór
wszystkich argumentów, dla których prawdziwa jest
nierówność:
𝒇(𝒙) > 𝟐
Zasady oceniania
1 pkt - rozwiązanie poprawne.
0 pkt - rozwiązanie niepoprawne lub niepełne albo brak rozwiązania.
Pełne rozwiązanie
[-5, -1) ∪(7,8]
Zadanie 19.2. (0-1)
Zapisz w miejscu wykropkowanym maksymalny przedział lub maksymalne przedziały,
w których funkcja 𝒇 jest malejąca.
Zasady oceniania
1 pkt - rozwiązanie poprawne.
0 pkt - rozwiązanie niepoprawne lub niepełne albo brak rozwiązania.
Pełne rozwiązanie
[-3, 3]
Zadanie 19.3. (0-1)
Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach.
Największa wartość funkcji 𝑓 jest równa liczbie , a najmniejsza wartość funkcji 𝑓 jest
równa liczbie
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
𝑦
𝑥
𝑓
8
6
4
2
130
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023
Zasady oceniania
1 pkt - rozwiązanie poprawne.
0 pkt - rozwiązanie niepoprawne lub niepełne albo brak rozwiązania.
Pełne rozwiązania
Sposób 1. zapisu rozwiązania
Największa wartość funkcji 𝑓 jest równa liczbie , a najmniejsza wartość funkcji 𝑓 jest
równa liczbie
Sposób 2. zapisu rozwiązania
Największa wartość funkcji 𝑓 jest równa liczbie , a najmniejsza wartość funkcji 𝑓 jest
równa liczbie
Zadanie 22.
Z fizyki wiemy, że torem rzutu - przy pominięciu oporów powietrza - jest fragment paraboli.
Koszykarz rzucił piłkę do kosza z odległości 𝑥𝑘= 7,01 m (to odległość od środka piłki do
środka obręczy kosza w linii poziomej). Tor ruchu opiszemy w układzie współrzędnych.
W chwili początkowej środek piłki był w punkcie 𝑥0 = 0, 𝑦0 = 2,50 m. Środek piłki podczas
rzutu poruszał się po paraboli danej równaniem:
𝑦= -0,174𝑥2 + 1,3𝑥+ 2,5
Rzut był celny, a środek piłki przeszedł dokładnie przez środek obręczy kosza.
Na rysunku poniżej przedstawiono tę sytuację oraz tor ruchu piłki w układzie współrzędnych.
7,01
𝑦, m
2,5
𝑥, m
(0,0)
6
-6
𝑦= 6
𝑦= -6
Informacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących
131
Zadanie 22.1. (0-1)
Dokończ zdanie. Zaznacz prawidłową odpowiedź.
Obręcz kosza jest na wysokości (podanej w zaokrągleniu z dokładnością do 0,01 m)
A. 3,04 m
B. 3,06 m
C. 3,8 m
D. 4,93 m
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
B
Zadanie 22.2. (0-2)
Oblicz wysokość maksymalną, na jakiej będzie środek piłki podczas opisanego rzutu.
Zapisz wynik w zaokrągleniu do drugiego miejsca po przecinku.
Zasady oceniania
2 pkt - poprawna metoda rozwiązania oraz zapisanie wyniku 4,93 m.
1 pkt - zastosowanie wzoru na wierzchołek paraboli oraz prawidłowe podstawienie wszystkich
danych liczbowych do tego wzoru
LUB
jako współrzędnej wierzchołka paraboli lub wysokości maksymalnej rzutu.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
132
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
Wysokość maksymalna, na jakiej będzie środek piłki, jest równa współrzędnej 𝑦 wierzchołka
paraboli. Skorzystamy z gotowego wzoru na wierzchołek paraboli (zobacz w Wybranych
wzorach matematycznych):
ℎ𝑚𝑎𝑥= 𝑦𝑤= -𝑏2 -4𝑎𝑐
4𝑎
= -1,32 + 4 ⋅0,174 ⋅2,5
4 ⋅(-0,174)
= 4,928 … ≈4,93 m
Sposób 2.
Wysokość maksymalna, na jaką wzniesie się środek piłki, jest równa współrzędnej 𝑦
wierzchołka paraboli. Wartość tę możemy wyznaczyć przekształcając wzór funkcji
kwadratowej 𝑦= -0,174𝑥2 + 1,3𝑥+ 2,5 do postaci kanonicznej:
𝑦= -0,174(𝑥-𝑝)2 + 𝑞
gdzie:
ℎ𝑚𝑎𝑥= 𝑦𝑤= 𝑞
𝑦= -0,174𝑥2 + 1,3𝑥+ 2,5 = -0,174 (𝑥2 + 1,3
0,174 𝑥) + 2,5 =
= -0,174 ⋅[(𝑥+
1,3
2 ⋅0,174)
2
-(
1,3
2 ⋅0,174)
2
] + 2,5 =
= -0,174 ⋅(𝑥+
1,3
2 ⋅0,174)
2
1,3
2 ⋅0,174)
2
Zatem:
ℎ𝑚𝑎𝑥= 𝑦𝑤= 𝑞= 0,174 ⋅(
1,3
2 ⋅0,174)
2
Zadanie 22.3. (0-3)
W opisanym rzucie piłka przeleciała przez obręcz kosza i upadła na podłogę. Przyjmij, że
obręcz kosza nie miała siatki, a na drodze rzutu nie było żadnej przeszkody. Promień piłki
wynosi 0,12 m.
Oblicz współrzędną 𝒙 punktu środka piłki w momencie, w którym piłka dotknęła podłogi.
Zapisz wynik w zaokrągleniu do drugiego miejsca po przecinku.
Informacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących
133
Zasady oceniania
3 pkt - poprawna metoda wyznaczenia współrzędnej 𝑥 oraz zapisanie wyniku 8,99 m.
2 pkt - poprawne rozwiązanie równania 0,174𝑥2 -1,3𝑥-2,38 = 0.
1 pkt - zapisanie równania 0,12 = -0,174𝑥2 + 1,3𝑥+ 2,5 lub dwóch równań:
𝑦= -0,174𝑥2 + 1,3𝑥+ 2,5 i 𝑦= 0,12.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Zauważmy, że w momencie gdy piłka upadła i dotknęła podłogi, to punkt środka piłki należy
do paraboli oraz jest na wysokości 0,12 m ponad podłogą. Zatem współrzędne środka piłki
(𝑥, 𝑦) spełniają równanie paraboli, a współrzędna 𝑦= 0,12 m. Zapiszemy układ równań
i rozwiążemy go:
{𝑦= -0,174𝑥2 + 1,3𝑥+ 2,5
𝑦= 0,12
0,12 = -0,174𝑥2 + 1,3𝑥+ 2,5
0,174𝑥2 -1,3𝑥-2,38 = 0
Rozwiązaniami powyższego równania kwadratowego są liczby:
𝑥1 = 1,3 -√3,34648
0,348
𝑥1 = 1,3 + √3,34648
0,348
𝑥1 ≈-1,52 𝑥2 ≈8,99
Współrzędna 𝑥 punktu środka piłki w momencie, w którym piłka dotknęła parkietu, jest równa
w przybliżeniu 8,99 m.
134
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023
Zadanie 28. (0-4)
Powierzchnia magazynowa będzie na dwóch takich samych prostokątnych działkach. Działki
te będą miały jeden wspólny bok. Całość będzie ogrodzona płotem. Dodatkowo działki
rozdzieli wspólny płot. W ogrodzeniu będą dwie bramy wjazdowe, każda o szerokości 10 m
(zobacz rysunek poniżej). Łączna długość płotu ogradzającego oraz rozdzielającego dwie
działki to 580 metrów. Szerokości dwóch bram wjazdowych nie wlicza się w długość płotu.
Oblicz wymiary 𝒙 i 𝒚 każdej z dwóch prostokątnych działek, tak aby całkowite pole
powierzchni magazynowej było największe.
Zasady oceniania
4 pkt - poprawna metoda obliczenia obu wymiarów działki oraz podanie prawidłowych
wyników: 𝑥= 100 m oraz 𝑦= 75 m.
3 pkt - poprawne zapisanie wzoru na pole działki w zależności od jednej zmiennej oraz
prawidłowe obliczenie współrzędnej 𝑥 wierzchołka paraboli: 𝑥= 100 m.
2 pkt - poprawne zapisanie wzoru na pole całkowite powierzchni magazynowej w zależności
od jednej zmiennej:
𝑃(𝑥) = 2𝑥(150 -
3
4 𝑥) dla 𝑥∈(0,
560
3 ).
1 pkt - zapisanie wzoru na pole całkowite powierzchni magazynowej: 𝑃= 𝑥⋅2𝑦
LUB
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
𝑥
𝑦
𝑦
10 m
10 m
Informacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących
135
Przykładowe pełne rozwiązanie
Przyjmiemy oznaczenia jak na rysunku w zadaniu. Całkowitą długość płotu - po uwzględnieniu
warunków zadania - można zapisać równaniem:
3𝑥+ 4𝑦-2 ⋅10 = 580
Powyższe równanie określa związek między wymiarami 𝑥 i 𝑦. Wymiar 𝑦 jednej działki musi
być większy od 10 m, ze względu na ustaloną szerokość bramy wjazdowej. W związku z tym,
w modelu matematycznym uwzględniającym warunki zadania, wymiary 𝑥 i 𝑦 spełniają:
𝑥> 0 i 𝑦> 10
Pole 𝑃 całkowitej powierzchni magazynowej jest równe polu prostokąta o bokach długości 𝑥
oraz 2𝑦. Zatem:
𝑃= 𝑥⋅2𝑦
Pole powierzchni magazynowej wyrazimy jako funkcję jednej zmiennej 𝑥. W tym celu najpierw
wyznaczymy 𝑦:
3𝑥+ 4𝑦-2 ⋅10 = 580
4𝑦= 600 -3𝑥
𝑦= 150 -3
4 𝑥
Następnie podstawimy wyznaczone 𝑦 do wzoru na pole 𝑃= 𝑥⋅2𝑦:
𝑃(𝑥) = 2𝑥(150 -3
4 𝑥)
Wyznaczymy dziedzinę funkcji 𝑃. Wykorzystamy związek między wymiarami 𝑥 i 𝑦 oraz
wykorzystamy warunki, jakie te wymiary spełniają:
𝑦= 150 -3
4 𝑥 oraz 𝑦> 10 oraz 𝑥> 0
Zatem:
150 -3
4 𝑥> 10 oraz 𝑥> 0
𝑥< 560
3 oraz 𝑥> 0
Zmienna 𝑥 może przyjmować wartości:
𝑥∈(0, 560
3 )
Wykresem funkcji 𝑃 jest fragment paraboli 𝒫 skierowanej ramionami do dołu. Funkcja 𝑃
przyjmuje wartość największą dla argumentu, który jest pierwszą współrzędną wierzchołka
paraboli 𝒫. Współrzędną 𝑥 wierzchołka paraboli 𝒫 obliczymy z miejsc zerowych funkcji
kwadratowej, która jest równaniem tej paraboli. Rozwiążemy zatem równanie:
136
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023
2𝑥(150 -3
4 𝑥) = 0
Z powyższego równania wynika, że:
2𝑥= 0 lub 150 -3
4 𝑥= 0
𝑥1 = 0 lub 𝑥2 = 200
Funkcja 𝑃 przyjmuje wartość największą dla argumentu, który jest pierwszą współrzędną
wierzchołka paraboli 𝒫, czyli dla:
𝑥= 𝑥1 + 𝑥2
2
= 100 m
Obliczymy drugi wymiar działki, dla którego pole powierzchni magazynowej jest największe:
𝑦= 150 m -3
4 ⋅100 m = 75 m
Całkowite pole powierzchni magazynowej jest największe dla działki o wymiarach:
𝑥= 100 m oraz 𝑦= 75 m.
Zadanie 30. (0-2)
W trójkącie 𝐴𝐵𝐶 dane są długości dwóch boków |𝐴𝐵| = 12, |𝐵𝐶| = 8 oraz miara kąta
|∡𝐴𝐵𝐶| = 60°. Zobacz rysunek poniżej.
Oblicz długość środkowej tego trójkąta, poprowadzonej z wierzchołka 𝑨.
𝐴
𝐵
𝐶
60°
𝐷
Informacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących
137
Wymaganie ogólne
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
1.
Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Wymagania szczegółowe
VII. Trygonometria. Zdający:
trójkąty).
Zasady oceniania
dla rozwiązania sposobem 1.
2 pkt - zapisanie poprawnego równania wynikającego z twierdzenia cosinusów dla trójkąta
𝐴𝐵𝐷 oraz prawidłowe obliczenie długości środkowej: |𝐴𝐷| = 4√7.
1 pkt - zapisanie równania wynikającego z twierdzenia cosinusów dla trójkąta 𝐴𝐵𝐷:
|𝐴𝐷|2 = |𝐴𝐵|2 + |𝐵𝐷|2 -2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐷| ⋅cos |∡𝐴𝐵𝐶|
LUB
|𝐴𝐷|2 = 122 + 42 -2 ⋅12 ⋅4 ⋅cos 60°
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zasady oceniania
dla rozwiązania sposobem 2.
2 pkt - prawidłowe zastosowanie twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐴𝐺𝐷 oraz prawidłowe
obliczenie długości środkowej |𝐴𝐷| = 4√7.
1 pkt - wyodrębnienie trójkąta prostokątnego 𝐴𝐺𝐷 oraz trójkąta 𝐺𝐵𝐷 o kątach: 30°, 60°, 90°,
łącznie z poprawnym określeniem długości jego boków: |𝐺𝐵| = 2, |𝐷𝐺| = 2√3.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1. (zastosowanie twierdzenia cosinusów)
Ponieważ 𝐴𝐷 jest środkową, to |𝐵𝐷| = 4.
Do obliczenia długości środkowej |𝐴𝐷| zastosujemy
twierdzenie cosinusów dla trójkąta 𝐴𝐵𝐷:
|𝐴𝐷|2 = |𝐴𝐵|2 + |𝐵𝐷|2 -2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐷| ⋅cos |∡𝐴𝐵𝐶|
|𝐴𝐷|2 = 122 + 42 -2 ⋅12 ⋅4 ⋅1
2 = 112
|𝐴𝐷| = √112 = 4√7
𝐴
𝐵
𝐶
60°
𝐷
138
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023
Sposób 2. (zastosowanie twierdzenia Pitagorasa i własności trójkąta o kątach 30°, 60°, 90°)
Uzupełnimy rysunek pomocniczy (zobacz obok).
W celu obliczenia długości środkowej 𝐴𝐷 zastosujemy
twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego 𝐴𝐺𝐷.
Ponieważ 𝐴𝐷 jest środkową, to |𝐵𝐷| = 4. Rozważmy dalej
trójkąt 𝐺𝐵𝐷. Trójkąt 𝐺𝐵𝐷 ma kąty o miarach: 30°, 60°,
90°, skąd wynika, że przyprostokątne tego trójkąta mają
długości:
|𝐺𝐵| = 2 |𝐷𝐺| = 2√3
zatem długość przyprostokątnej 𝐴𝐺 trójkąta 𝐴𝐺𝐷 jest równa:
|𝐴𝐺| = 12 -2 = 10
Obliczymy długość środkowej 𝐴𝐷 z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐴𝐺𝐷:
|𝐴𝐷|2 = |𝐴𝐺|2 + |𝐺𝐷|2
|𝐴𝐷|2 = 102 + (2√3)2 = 112
|𝐴𝐷| = √112 = 4√7
𝐶
𝐷
𝐴
60°
𝐵
𝐺
4
2
2ξ3
10
Informacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących
139
Zadanie 45.
Hania zrobiła czapeczkę na bal urodzinowy młodszego brata. Czapeczka
ma kształt powierzchni bocznej stożka o średnicy podstawy 𝑑= 20 cm,
wysokości 𝐻= 25 cm i tworzącej 𝑙.
Żeby wykonać czapeczkę, Hania najpierw narysowała na papierze figurę
płaską 𝐴𝐵𝑆 o kształcie wycinka koła o promieniu 𝑙 i środku 𝑆 (zobacz
rysunek 1.). Następnie wycięła tę figurę z papieru, wygięła ją i połączyła
odcinek 𝑆𝐵 z odcinkiem 𝑆𝐴 (zobacz rysunek 2.). W ten sposób otrzymała
kształt stożka.
Zadanie 45.1. (0-1)
Dokończ zdanie. Zaznacz prawidłową odpowiedź.
Kąt rozwarcia stożka, którego powierzchnią boczną jest czapeczka (rysunek 2.), ma miarę
(w zaokrągleniu do 1°)
A. 44°
B. 136°
C. 22°
D. 68°
Wskazówka: skorzystaj z tablic wartości funkcji trygonometrycznych.
𝐴
𝐵
𝑆
𝑙
Rysunek 1.
Rysunek 2.
𝑆
𝑙
𝐻
𝐴= 𝐵
𝑑
𝑂
140
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
A
Zadanie 45.2. (0-3)
Oblicz miarę kąta ∡𝑩𝑺𝑨 wycinka koła (rysunek 1.), z którego powstała czapeczka. Kąt
∡𝑩𝑺𝑨 podaj w zaokrągleniu do jednego stopnia.
Zasady oceniania
3 pkt - poprawna metoda obliczenia miary kąta ∡𝐵𝑆𝐴 (lub wyprowadzenie równania na miarę
kąta: |∡𝐵𝑆𝐴| =
𝑟
√𝐻2+𝑟2 ⋅360°) oraz podanie prawidłowego wyniku ∡𝐵𝑆𝐴≈134°.
2 pkt - poprawne wyprowadzenie i zapisanie związku 𝛼=
𝑟
𝑙⋅360° oraz zapisanie równania
wynikającego z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐴𝑂𝑆: 𝑙2 = 𝑟2 + 𝐻2
1 pkt - zapisanie równania
𝛼
360° ⋅2𝜋𝑙= 2𝜋𝑟
LUB
𝛼
360° ⋅𝜋𝑙2 = 𝜋𝑟𝑙
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Wprowadzimy oznaczenia:
𝑠𝐴𝐵 - długość łuku 𝐴𝐵 wycinka koła 𝐴𝐵𝑆.
𝑃𝐴𝐵𝑆 - pole wycinka koła 𝐴𝐵𝑆.
𝑟=
𝑑
2 - promień okręgu w podstawie stożka.
𝛼= |∡𝐵𝑆𝐴| - miara kąta ∡𝐵𝑆𝐴 wycinka koła.
𝛽 - połowa miary kąta rozwarcia stożka.
𝐴
𝑆
𝑙
𝐵
𝛼
𝑠𝐴𝐵
𝑆
𝑙
𝐻
𝐴= 𝐵
𝛽
𝑟
𝑂
Informacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących
141
Sposób 1.
Wyprowadzimy wzór końcowy na symbolach danych (pominiemy obliczenia pośrednie).
Zatem długość łuku 𝐴𝐵 jest równa długości (obwodowi) okręgu w podstawie stożka.
Zastosujemy wzór na długość łuku 𝐴𝐵 oraz wzór na obwód okręgu:
𝑠𝐴𝐵= Obwpodstawy
𝛼
360° ⋅2𝜋𝑙= 2𝜋𝑟
𝛼= 𝑟
𝑙⋅360°
Uwaga
Zauważmy, że otrzymany wzór zadaje nadzwyczaj prostą relację między kątem wycinka koła
i kątem rozwarcia stożka: 𝛼= sin 𝛽⋅360°
𝑙2 = 𝐻2 + 𝑟2 zatem 𝑙2 = 𝐻2 + (𝑑
2)
2
𝑙= √𝐻2 + (𝑑
2)
2
𝛼=
𝑑
2
√𝐻2 + (𝑑
2)
2 ⋅360°
𝛼=
10
√252 + 102 ⋅360°
𝛼≈134°
Sposób 2.
Wyprowadzimy wzór końcowy na symbolach danych (pominiemy obliczenia pośrednie).
powierzchni czapeczki). Zastosujemy wzór na pole 𝐴𝐵𝑆 wycinka koła oraz wzór na pole
powierzchni bocznej stożka:
𝑃𝐴𝐵𝑆= 𝑃𝑏
𝛼
360° ⋅𝜋𝑙2 = 𝜋𝑟𝑙
𝛼= 𝑟
𝑙⋅360°
Krok 2. i 3. Jak w sposobie 1.
142
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023
Zadanie 46. (0-2)
Pojedynczy znak (np. litera, przecinek, wykrzyknik, itp.) w piśmie Braille’a dla niewidomych
jest kombinacją od 1 do 6 wypukłych punktów. Punkty te mogą zajmować miejsca ułożone
w dwóch kolumnach po trzy miejsca w każdej kolumnie. Poniżej podano przykład napisu
w piśmie Braille’a. Czarne kropki w znaku oznaczają wypukłości, a białe kropki oznaczają brak
wypukłości. Pojedynczy znak w piśmie Braille’a musi zawierać co najmniej jeden punkt
wypukły.
Oblicz, ile różnych pojedynczych znaków można zapisać w piśmie Braille’a.
Zasady oceniania
2 pkt - zastosowanie prawidłowej metody do obliczenia wszystkich znaków, uwzględnienie
warunku zadania i podanie wyniku: 63.
1 pkt - zapisanie wzoru na liczbę wszystkich możliwych znaków bez uwzględnienia warunku
zadania (tzn. łącznie ze znakiem bez punktu wypukłego): 2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 ⋅2
LUB
liczby znaków: z jednym punktem wypukłym, z dwoma punktami wypukłymi, z trzema
punktami wypukłymi, z czterema punktami wypukłymi, z pięcioma punktami wypukłymi
i z sześcioma punktami wypukłymi oraz prawidłowe zliczenie znaków w co najmniej
trzech spośród sześciu wymienionych grup.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1. (zastosowanie zasady mnożenia)
m
a
t
u
r
y
Informacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących
143
Zastosujemy regułę mnożenia. Zauważmy, że utworzenie znaku to podjęcie kolejno 6 decyzji
o tym, jaki ma być rodzaj punktu - elementu znaku. Punkt może być wypukły albo może nie
być wypukły. Zatem mamy dwie możliwości wyboru rodzaju punktu:
albo
Zgodnie
z
regułą
mnożenia,
w
takich
przypadkach
liczbę
możliwości
wyboru
składnika/elementu obiektu mnożymy przez siebie tyle razy, z ilu elementów składa się obiekt:
2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 = 64
Wszystkich możliwości jest 64. Ponieważ znak Braille’a musi zawierać co najmniej jeden punkt
wypukły, to odrzucamy znak bez wypukłości (sześć białych kropek na schemacie powyżej).
Wszystkich znaków jest zatem:
64 -1 = 63
Sposób 2. (bezpośrednie zliczenie liczby znaków z zastosowaniem zasady dodawania)
Będziemy kolejno zliczać „na piechotę” znaki: z jednym punktem wypukłym,
z dwoma punktami wypukłymi, z trzema punktami wypukłymi, z czterema
punktami wypukłymi, z pięcioma punktami wypukłymi i z sześcioma
punktami wypukłymi. Zbiory znaków z daną liczbą punktów wypukłych
oznaczymy odpowiednio jako: 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, 𝐴4, 𝐴5, 𝐴6.
Aby zliczanie przeprowadzić metodycznie, ułatwimy sobie zadanie
numerując punkty w polu znaku, jak na rysunku obok.
W takiej konwencji, przykładowo:
oznaczymy jedną cyfrą: (2);
\noznaczymy trójką cyfr: (1,3,4) - przy czym kolejność zapisu tych cyfr nie ma
znaczenia.
2 możliwości:
albo
2 możliwości:
albo
2 możliwości:
albo
2 możliwości:
albo
2 możliwości:
albo
2 możliwości:
albo
1
4
2
5
3
6
144
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023
𝐴1 = {(1), (2), (3), (4), (5), (6)}
|𝐴1| = 6
𝐴2 =
{
(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),
(2,3), (2,4), (2,5), (2,6),
(3,4), (3,5), (3,6)
(4,5), (4,6)
(5,6) }
|𝐴2| = 15
𝐴3 =
{
(1,2,3), (1,2,4), (1,2,5), (1,2,6),
(1,3,4), (1,3,5), (1,3,6),
(1,4,5), (1,4,6), (1,5,6),
(2,3,4), (2,3,5), (2,3,6)
(2,4,5), (2,4,6), (2,5,6)
(3,4,5), (3,4,6), (3,5,6)
(4,5,6) }
|𝐴3| = 20
Zauważmy, że każdemu znakowi z dwoma punktami wypukłymi możemy przyporządkować
znak z czterema punktami wypukłymi, zamieniając punkty wypukłe na niewypukłe i odwrotnie:
Np. znakowi
przyporządkujemy znak
Zatem znaków z czterema punktami wypukłymi jest tyle samo, co znaków z dwoma punktami
wypukłymi. Podobnie argumentujemy, że znaków z pięcioma punktami wypukłymi jest tyle
samo co znaków z jednym punktem wypukłym:
|𝐴4| = |𝐴2| = 15 |𝐴5| = |𝐴1| = 6
𝐴6 = {(1,2,3,4,5,6)}
|𝐴6| = 1
Wszystkich znaków w piśmie Braille’a jest:
|𝐴1| + |𝐴2| + |𝐴3| + |𝐴4| + |𝐴5| + |𝐴6| = 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 63
Informacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących
145
Zadanie 49. (0-3)
Paweł i Grzegorz postanowili zagrać w grę losową. Ich kolega będzie
kolejno rzucał sześcienną symetryczną kostką do gry. Ścianki tej
kostki są oznaczone oczkami od 1 do 6. Gdy na kostce wypadnie 1,
2 lub 3 oczka, to Grzegorz daje Pawłowi 10 żetonów, a gdy na kostce
wypadnie 6 oczek, to Paweł daje Grzegorzowi liczbę 𝑥 żetonów.
W pozostałych przypadkach ani Paweł ani Grzegorz nie dostają
żetonów. Paweł i Grzegorz sprawiedliwie ustalili liczbę 𝑥 żetonów tak,
aby wartość oczekiwana zysku z gry Pawła była równa wartości
oczekiwanej zysku z gry Grzegorza.
Oblicz ustaloną przez Pawła i Grzegorza liczbę 𝒙 żetonów.
Zasady oceniania
3 pkt - poprawna metoda obliczenia liczby 𝑥 żetonów oraz zapisanie wyniku: 𝑥= 30 żetonów.
2 pkt - poprawne zapisanie wyrażenia na wartość oczekiwaną zysku Pawła oraz na wartość
oczekiwaną zysku Grzegorza:
𝔼𝑍𝑃= +10 ⋅
1
2 -𝑥⋅
1
6 + 0 ⋅
2
6, 𝔼𝑍𝐺= -10 ⋅
1
2 + 𝑥⋅
1
6 + 0 ⋅
2
6
LUB
zapisanie, że wynosi ona zero, np.: 10 ⋅
1
2 -𝑥⋅
1
6 + 0 ⋅
2
6 = 0
1 pkt - określenie i zapisanie prawdopodobieństw, z jakimi Paweł (lub Grzegorz) traci (lub
zyskuje) liczbę 10 żetonów i liczbę 𝑥 żetonów (samo zapisanie prawdopodobieństw
zdarzeń, bez powiązania zdarzeń z odpowiednim zyskiem lub stratą i bez dalszych
obliczeń, nie spełnia tego kryterium).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Uwaga! Zgodnie z konwencją, do obliczeń przyjmuje się, że strata to zysk ujemny.
146
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023
Sposób 1.
Wyprowadzimy wyrażenie ze zmienną 𝑥 na wartość oczekiwaną zysku z gry Pawła oraz na
wartość oczekiwaną zysku z gry Grzegorza. Zaczniemy od Pawła.
żetonów w grze:
Ω - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych - wyników rzutu kostką do gry.
Ω = {1,2,3,4,5,6} zatem |Ω| = 6
𝐴 - zdarzenie polegające na tym, że wypadło 1, 2 lub 3 oczka.
𝐴= {1,2,3} zatem |𝐴| = 3
czyli
𝑃(𝐴) = 3
6 = 1
2
𝐵 - zdarzenie polegające na tym, że wypadło 6 oczek.
𝐵= {6} zatem |𝐵| = 1
czyli
𝑃(𝐵) = 1
6
𝐶 - zdarzenie polegające na tym, że wypadło 4 lub 5 oczek.
𝐶= {4,5} zatem |𝐶| = 2
czyli
𝑃(𝐶) = 2
6
𝑍𝑃(𝐴) = +10 żetonów
𝑍𝑃(𝐵) = -𝑥 żetonów
𝑍𝑃(𝐶) = 0 żetonów
Prawdopodobieństwa osiągnięcia tych zysków są takie, jak prawdopodobieństwa zdarzeń,
przy których te zyski zachodzą:
𝑃(𝑍𝑃(𝐴)) = 𝑃(𝐴) = 1
2
𝑃(𝑍𝑃(𝐵)) = 𝑃(𝐵) = 1
6
𝑃(𝑍𝑃(𝐶)) = 𝑃(𝐶) = 2
6
Informacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących
147
oczekiwaną:
𝔼𝑍𝑃= 𝑍𝑃(𝐴) ⋅𝑃(𝑍𝑃(𝐴)) + 𝑍𝑃(𝐵) ⋅𝑃(𝑍𝑃(𝐵)) + 𝑍𝑃(𝐶) ⋅𝑃(𝑍𝑃(𝐶))
𝔼𝑍𝑃= +10 ⋅1
2 -𝑥⋅1
6 + 0 ⋅2
6 = 5 -𝑥
6
Grzegorza przy zajściu zdarzeń 𝐴, 𝐵, 𝐶 są następujące (zyski Grzegorza oznaczymy 𝑍𝐺):
𝑍𝐺(𝐴) = -10 żetonów
𝑍𝐺(𝐵) = +𝑥 żetonów
𝑍𝐺(𝐶) = 0 żetonów
Zatem wartość oczekiwana zysku z gry Grzegorza dana jest wzorem:
𝔼𝑍𝐺= -10 ⋅1
2 + 𝑥⋅1
6 + 0 ⋅2
6 = -5 + 𝑥
6
równe, zatem:
𝔼𝑍𝑃= 𝔼𝑍𝐺
5 -𝑥
6 = -5 + 𝑥
6 → 10 -2𝑥
6 = 0
𝑥= 30 żetonów
Sposób 2.
Wyprowadzimy wyrażenie ze zmienną 𝑥 na wartość oczekiwaną zysku Pawła.
Kroki 1.-3. są takie same jak w rozwiązaniu sposobem 1.
dla drugiego gracza. To oznacza, że wartości oczekiwane zysków Pawła i Grzegorza
muszą być liczbami przeciwnymi, a z warunków zadania wynika - że muszą być liczbami
równymi sobie. To oznacza, że wartości oczekiwane zysku z gry każdego z graczy jest
równa 0:
𝔼𝑍𝑃= 0
5 -𝑥
6 = 0
𝑥= 30 żetonów
148
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023
Uchwała RGNiSW oraz KRASP o informatorach maturalnych od 2023 roku
149
Uchwała Rady Głównej Nauki i Szkolnictwa Wyższego
oraz Konferencji Rektorów Akademickich Szkół Polskich
o informatorach maturalnych od 2023 roku
Z opinii Recenzentów:
Zadania przedstawione w Informatorze na poziomie podstawowym pogrupowano według
szeroko rozumianych działów. W każdym dziale zamieszczono zadania zamknięte, jak
i otwarte, także - co jest nowością - grupy zadań skoncentrowanych wokół jednego tematu.
[…] Łączenie zadań w grupy jest praktyką stosowana w wielu sprawdzianach, egzaminach
i konkursach. Zdecydowanie ułatwia skoncentrowanie się ucznia na danym problemie. […]
Pojawienie sią wiązek zadań należy uznać za krok w dobrym kierunku […].
Pewna część zadań zamkniętych składa się ze zdań do uzupełnienia wraz
z uzasadnieniem. […] Metodologia zadań 33. i 50.1. jest godna uwagi. Sposób ich
sformułowania sprawia, że zdający, który rozumie wymaganą definicję, ale nie pamięta jej
dokładnie, będzie w stanie odtworzyć ją w czasie egzaminu. Oznacza to odchodzenie od
pamięciowego opanowania definicji na rzecz rozumienia treści, które się za nią kryją.
Podobną metodologię widać w kilku innych zadaniach.
Warto zaznaczyć, że w Informatorze zrezygnowano z takich zadań zamkniętych, które
wymagają złożonych rachunków. Tego typu zadania […] pochłaniały niewspółmiernie dużo
czasu w stosunku do zysku punktowego. Zrezygnowanie z nich, na rzecz prostych, krótkich
zadań otwartych, wydaje się dobrą strategią.
Zadania w Informatorze na poziomie podstawowym obejmują całą podstawę programową
[…]. Niektóre zadania są nieschematyczne, sprawdzające umiejętność rozumowania
matematycznego,
a
nie
mechanicznego
opanowania
sposobów
rozwiązywania
konkretnych typów zadań. Przykładem zadania nieschematycznego, a jednocześnie
prostego, jest zadanie 35., sprawdzające umiejętności skalowania pola i zastosowania
twierdzenia Pitagorasa. […] Rozwiązania zadań w Informatorze podane są w sposób
przejrzysty, często podane są dwa rozwiązania, czasami trzy.
Koncepcja egzaminu maturalnego, która wybija się z Informatora, jest ewolucją obecnego
egzaminu maturalnego w kierunku jeszcze lepszego sprawdzania umiejętności
rozumowania […].
dr hab. Maciej Borodzik
Po zapoznaniu się z Informatorem mogę stwierdzić, że nowy arkusz nabierze zupełnie
świeżej formy. […] W Informatorze pojawiły się - co jest nowością - zadania zamknięte
również za 2 pkt, a z drugiej strony znalazły się krótkie zadania otwarte za 1 pkt (np. zadania
z luką) […].
Dobrym pomysłem jest to, aby arkusz zawierał zadanie z kontekstem realistycznym /
praktycznym, czyli z zastosowaniem matematyki w życiu. Przykładem takiego zadania jest
wiązka zadań 22.1.-22.3. z funkcją kwadratową, której wzór opisuje tor ruchu piłki rzuconej
przez koszykarza. […] Zdający ma do rozwiązania zadania powiązane tematycznie i dające
się niezależnie rozwiązać: oblicza wysokość, na jakiej znajduje się obręcz kosza, oblicza
wysokość maksymalną, na jaką wzniesie się piłka podczas ruchu oraz oblicza położenie
środka piłki, gdy ta upadnie na parkiet. […] W wiązkach pojawią się zadania zamknięte oraz
otwarte.
Dużym plusem dla zdających będzie to, że nie pojawią się zadania za 5 pkt ani za 6 pkt.
[…] Dobrze, że w arkuszu będą występowały także zadania schematyczne (np. zadanie
40.), które wolą uczniowie o mniejszych predyspozycjach matematycznych.
Zachęcam nauczycieli i uczniów do szczegółowego zapoznania się z Informatorem,
stanowiącym ważną wskazówkę dydaktyczną w przygotowaniu do egzaminu maturalnego
z matematyki na poziomie podstawowym […].
Ewa Dolaczyńska
EGZAMIN
MATURALNY
Matematyka
ISBN 978-83-66725-05-8
9 7 8 8 3 6 6 7 2 5 0 5 8
Średnia = suma (wartość zarobków × liczba osób) / liczba wszystkich pracowników (75):
(1·1,5+1·2+4·2,5+7·3+10·3,5+14·4+13·4,5+9·5+6·5,5+3·6+2·6,5+1·7+1·7,5+1·8,5+2·10)/75 = 336/75 = 4,48 tys. zł.
Odpowiedź: średnia miesięcznego wynagrodzenia wynosi 4,48 tys. zł.
"}]}