{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/6","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"6","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 6. (0-2)\nDana jest liczba 𝑥= 𝑎-(√3 -√2)\n2, gdzie a należy do zbioru ℝ liczb rzeczywistych.\nW rozwiązaniu zadania uwzględnij fakt, że liczby √3 oraz √2 ⋅√3 są niewymierne.\nDokończ zdanie. Zaznacz dwie odpowiedzi, tak aby dla każdej z nich dokończenie\nzdania było prawdziwe.\nLiczba 𝑥 jest wymierna dla\nA. 𝑎= 5\nB. 𝑎= -√3 + √2\nC. 𝑎= (√2 -√3)\n2 + 0,3\nD. 𝑎= 6\nE. 𝑎= -2√6 + 12,5\nF. 𝑎= (√2 -√3)\n2 -2√6\nG. 𝑎= -√6\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n19\nWymaganie ogólne\nI.\nSprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora,\nstosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych\noraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nWymaganie szczegółowe\nII. Wyrażenia algebraiczne. Zdający:\n1) stosuje wzory skróconego mnożenia na: (𝑎+ 𝑏)2, (𝑎-𝑏)2, 𝑎2 -𝑏2, (𝑎+ 𝑏)3,\n(𝑎-𝑏)3, 𝑎3 -𝑏3, 𝑎𝑛-𝑏𝑛.\nZasady oceniania\n2 pkt - wybranie dwóch poprawnych odpowiedzi: C i E.\n1 pkt - wybranie jednej lub dwóch odpowiedzi, z których jedna jest poprawna: C albo E.\n0 pkt - odpowiedź całkowicie niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nCE\nKomentarz\nPrzekształcimy równoważnie wyrażenie określające liczbę 𝑥 - w tym celu zastosujemy m.in.\nwzór skróconego mnożenia:\n𝑥= 𝑎-(√3 -√2)\n2 = 𝑎-(√3\n2 -2 ∙√3 ∙√2 + √2\n2) = 𝑎-(3 -2√6 + 2)\n= 𝑎-(5 -2√6) = 𝑎-5 + 2√6\nLiczba 𝑥 będzie wymierna, jeśli liczba 𝑎 będzie postaci: 𝑎= 𝑞-2√6, gdzie 𝑞 będzie dowolną\nliczbą wymierną:\n𝑥= 𝑞-2√6 -5 + 2√6 = 𝑞-5\nSprawdzimy, które z liczb 𝑎 podanych w odpowiedziach A-G mają postać 𝑎= 𝑞-2√6\n(gdzie 𝑞 jest wymierne):\nA.\n𝑎= 5\nB.\n𝑎= -√3 + √2\nC.\n𝑎= (√2 -√3)\n2 + 0,3 = 5 -2√6 + 0,3 = 5,3 -2√6\nD.\n𝑎= 6\nE.\n𝑎= -2√6 + 12,5\nF.\n𝑎= 5 -2√6 -2√6 = 5 -4√6\nG.\n𝑎= -√6\nLiczby podane w odpowiedziach C i E mają żądaną postać.\n20\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023","answer":"C, E","answer_text":null,"solution":"x = a - (√3-√2)² = a - (3 - 2√6 + 2) = a - 5 + 2√6.\nLiczba x jest wymierna, gdy a ma postać a = q - 2√6 dla wymiernego q (wtedy x = q-5).\nSprawdzamy odpowiedzi: C. a=(√2-√3)²+0,3 = 5-2√6+0,3 = 5,3-2√6 — pasuje (q=5,3).\nE. a=-2√6+12,5 — pasuje (q=12,5).\nPozostałe (A, B, D, F, G) nie mają postaci q-2√6 z wymiernym q.\nPoprawne odpowiedzi: C i E.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 6. (0-2)
Dana jest liczba 𝑥= 𝑎-(√3 -√2)
2, gdzie a należy do zbioru ℝ liczb rzeczywistych.
W rozwiązaniu zadania uwzględnij fakt, że liczby √3 oraz √2 ⋅√3 są niewymierne.
Dokończ zdanie. Zaznacz dwie odpowiedzi, tak aby dla każdej z nich dokończenie
zdania było prawdziwe.
Liczba 𝑥 jest wymierna dla
A. 𝑎= 5
B. 𝑎= -√3 + √2
C. 𝑎= (√2 -√3)
2 + 0,3
D. 𝑎= 6
E. 𝑎= -2√6 + 12,5
F. 𝑎= (√2 -√3)
2 -2√6
G. 𝑎= -√6
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
19
Wymaganie ogólne
I.
Sprawność rachunkowa.
Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora,
stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych
oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach
rzeczywistych i teoretycznych.
Wymaganie szczegółowe
II. Wyrażenia algebraiczne. Zdający:

\n
  1. stosuje wzory skróconego mnożenia na: (𝑎+ 𝑏)2, (𝑎-𝑏)2, 𝑎2 -𝑏2, (𝑎+ 𝑏)3,
\n

(𝑎-𝑏)3, 𝑎3 -𝑏3, 𝑎𝑛-𝑏𝑛.
Zasady oceniania
2 pkt - wybranie dwóch poprawnych odpowiedzi: C i E.
1 pkt - wybranie jednej lub dwóch odpowiedzi, z których jedna jest poprawna: C albo E.
0 pkt - odpowiedź całkowicie niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
CE
Komentarz
Przekształcimy równoważnie wyrażenie określające liczbę 𝑥 - w tym celu zastosujemy m.in.
wzór skróconego mnożenia:
𝑥= 𝑎-(√3 -√2)
2 = 𝑎-(√3
2 -2 ∙√3 ∙√2 + √2

\n
  1. = 𝑎-(3 -2√6 + 2)
\n

= 𝑎-(5 -2√6) = 𝑎-5 + 2√6
Liczba 𝑥 będzie wymierna, jeśli liczba 𝑎 będzie postaci: 𝑎= 𝑞-2√6, gdzie 𝑞 będzie dowolną
liczbą wymierną:
𝑥= 𝑞-2√6 -5 + 2√6 = 𝑞-5
Sprawdzimy, które z liczb 𝑎 podanych w odpowiedziach A-G mają postać 𝑎= 𝑞-2√6
(gdzie 𝑞 jest wymierne):
A.
𝑎= 5
B.
𝑎= -√3 + √2
C.
𝑎= (√2 -√3)
2 + 0,3 = 5 -2√6 + 0,3 = 5,3 -2√6
D.
𝑎= 6
E.
𝑎= -2√6 + 12,5
F.
𝑎= 5 -2√6 -2√6 = 5 -4√6
G.
𝑎= -√6
Liczby podane w odpowiedziach C i E mają żądaną postać.
20
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023

","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

x = a - (√3-√2)² = a - (3 - 2√6 + 2) = a - 5 + 2√6.
Liczba x jest wymierna, gdy a ma postać a = q - 2√6 dla wymiernego q (wtedy x = q-5).
Sprawdzamy odpowiedzi: C. a=(√2-√3)²+0,3 = 5-2√6+0,3 = 5,3-2√6 — pasuje (q=5,3).
E. a=-2√6+12,5 — pasuje (q=12,5).
Pozostałe (A, B, D, F, G) nie mają postaci q-2√6 z wymiernym q.
Poprawne odpowiedzi: C i E.

"}]}