{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/7","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"7","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 7. (0-2)\nRozwiąż równanie:\n(𝟒𝒙+ 𝟏)(𝒙-𝟓)\n(𝟐𝒙-𝟏𝟎)(𝒙+ 𝟑) = 𝟎\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymaganie szczegółowe\nIII. Równania i nierówności. Zdający:\n7) rozwiązuje równania wymierne postaci\n𝑉(𝑥)\n𝑊(𝑥) = 0, gdzie wielomiany 𝑉(𝑥) i 𝑊(𝑥) są\nzapisane w postaci iloczynowej.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda rozwiązania równania podanego w treści zadania (rozwiązanie\nrównania (4𝑥+ 1)(𝑥-5) = 0 lub równania 4𝑥+ 1 = 0 oraz wyznaczenie dziedziny\nrównania) i podanie wyniku: 𝑥= -\n1\n4 .\n1 pkt - poprawne rozwiązanie równania (4𝑥+ 1)(𝑥-5) = 0 : 𝑥= -\n1\n4 lub 𝑥= 5\nLUB\n- poprawne wyznaczenie dziedziny równania\n(4𝑥+1)(𝑥-5)\n(2𝑥-10)(𝑥+3) = 0: 𝑥≠5 oraz 𝑥≠-3.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nRozwiązaniami równania postaci\n𝑉(𝑥)\n𝑊(𝑥) = 0 są takie liczby 𝑥𝑖, dla których:\n𝑉(𝑥𝑖) = 0 oraz 𝑊(𝑥𝑖) ≠0\nMianownik ułamka\n(4𝑥+1)(𝑥-5)\n(2𝑥-10)(𝑥+3) musi być różny od zera, zatem:\n(2𝑥-10)(𝑥+ 3) ≠0\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n21\nIloczyn jest różny od zera, gdy każdy z czynników iloczynu jest różnym od zera:\n2𝑥-10 ≠0 oraz 𝑥+ 3 ≠0\n𝑥≠5 oraz 𝑥≠-3\nGdy mianownik ułamka jest różny od zera, to ułamek jest wtedy równy zero, gdy licznik jest\nrówny zero, zatem:\n(4𝑥+ 1)(𝑥-5) = 0\nIloczyn jest równy zero, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zero:\n4𝑥+ 1 = 0 lub 𝑥-5 = 0\n𝑥= -1\n4 lub 𝑥= 5\nPonieważ 𝑥≠5, to rozwiązaniem równania jest liczba 𝑥= -\n1\n4.\nSposób 2.\nWyrażenie po lewej stronie równania\n(4𝑥+1)(𝑥-5)\n(2𝑥-10)(𝑥+3) = 0 ma sens liczbowy, gdy:\n(2𝑥-10)(𝑥+ 3) ≠0\n𝑥≠5 oraz 𝑥≠-3\nZatem równanie\n(4𝑥+1)(𝑥-5)\n(2𝑥-10)(𝑥+3) = 0 jest określone dla 𝑥∈ℝ\\{5, -3}. Przekształcimy\nrównoważnie równanie:\n(4𝑥+ 1)(𝑥-5)\n(2𝑥-10)(𝑥+ 3) = 0\n(4𝑥+ 1)(𝑥-5)\n2(𝑥-5)(𝑥+ 3) = 0\n4𝑥+ 1\n2(𝑥+ 3) = 0\nGdy mianownik ułamka jest różny od zera, to ułamek jest wtedy równy zero, gdy licznik jest\nrówny zero, zatem:\n4𝑥+ 1 = 0\n𝑥= -1\n4\n22\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Dziedzina: mianownik (2x-10)(x+3)≠0, więc x≠5 i x≠-3.\nLicznik: (4x+1)(x-5)=0, więc x=-1/4 lub x=5.\nPonieważ x≠5 (poza dziedziną), pozostaje x=-1/4.\n\nOdpowiedź: x = -1/4.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":20,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 7. (0-2)
Rozwiąż równanie:
(𝟒𝒙+ 𝟏)(𝒙-𝟓)
(𝟐𝒙-𝟏𝟎)(𝒙+ 𝟑) = 𝟎
Wymaganie ogólne
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
1.
Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Wymaganie szczegółowe
III. Równania i nierówności. Zdający:

\n
  1. rozwiązuje równania wymierne postaci
\n

𝑉(𝑥)
𝑊(𝑥) = 0, gdzie wielomiany 𝑉(𝑥) i 𝑊(𝑥) są
zapisane w postaci iloczynowej.
Zasady oceniania
2 pkt - poprawna metoda rozwiązania równania podanego w treści zadania (rozwiązanie
równania (4𝑥+ 1)(𝑥-5) = 0 lub równania 4𝑥+ 1 = 0 oraz wyznaczenie dziedziny
równania) i podanie wyniku: 𝑥= -
1
4 .
1 pkt - poprawne rozwiązanie równania (4𝑥+ 1)(𝑥-5) = 0 : 𝑥= -
1
4 lub 𝑥= 5
LUB

\n\n

(4𝑥+1)(𝑥-5)
(2𝑥-10)(𝑥+3) = 0: 𝑥≠5 oraz 𝑥≠-3.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
Rozwiązaniami równania postaci
𝑉(𝑥)
𝑊(𝑥) = 0 są takie liczby 𝑥𝑖, dla których:
𝑉(𝑥𝑖) = 0 oraz 𝑊(𝑥𝑖) ≠0
Mianownik ułamka
(4𝑥+1)(𝑥-5)
(2𝑥-10)(𝑥+3) musi być różny od zera, zatem:
(2𝑥-10)(𝑥+ 3) ≠0
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
21
Iloczyn jest różny od zera, gdy każdy z czynników iloczynu jest różnym od zera:
2𝑥-10 ≠0 oraz 𝑥+ 3 ≠0
𝑥≠5 oraz 𝑥≠-3
Gdy mianownik ułamka jest różny od zera, to ułamek jest wtedy równy zero, gdy licznik jest
równy zero, zatem:
(4𝑥+ 1)(𝑥-5) = 0
Iloczyn jest równy zero, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zero:
4𝑥+ 1 = 0 lub 𝑥-5 = 0
𝑥= -1
4 lub 𝑥= 5
Ponieważ 𝑥≠5, to rozwiązaniem równania jest liczba 𝑥= -
1
4.
Sposób 2.
Wyrażenie po lewej stronie równania
(4𝑥+1)(𝑥-5)
(2𝑥-10)(𝑥+3) = 0 ma sens liczbowy, gdy:
(2𝑥-10)(𝑥+ 3) ≠0
𝑥≠5 oraz 𝑥≠-3
Zatem równanie
(4𝑥+1)(𝑥-5)
(2𝑥-10)(𝑥+3) = 0 jest określone dla 𝑥∈ℝ\\{5, -3}. Przekształcimy
równoważnie równanie:
(4𝑥+ 1)(𝑥-5)
(2𝑥-10)(𝑥+ 3) = 0
(4𝑥+ 1)(𝑥-5)
2(𝑥-5)(𝑥+ 3) = 0
4𝑥+ 1
2(𝑥+ 3) = 0
Gdy mianownik ułamka jest różny od zera, to ułamek jest wtedy równy zero, gdy licznik jest
równy zero, zatem:
4𝑥+ 1 = 0
𝑥= -1
4
22
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023

","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

Dziedzina: mianownik (2x-10)(x+3)≠0, więc x≠5 i x≠-3.
Licznik: (4x+1)(x-5)=0, więc x=-1/4 lub x=5.
Ponieważ x≠5 (poza dziedziną), pozostaje x=-1/4.

\n

Odpowiedź: x = -1/4.

"}]}