{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad/1","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony","number":"1","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 1. (0-6)\nDany jest układ równań\n{𝑚𝑥+ 𝑦= 𝑚2\n4𝑥+ 𝑚𝑦= 8\n(1)\nz niewiadomymi 𝑥 i 𝑦 oraz parametrem 𝑚.\nWyznacz wszystkie wartości parametru 𝒎, dla których układ jest oznaczony, a para\nliczb (𝒙, 𝒚) będąca rozwiązaniem układu spełnia warunek |𝒙+ 𝒚| < 𝟐.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n13\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n3.\nTworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu.\nWymagania szczegółowe\nIII. Równania i nierówności. Zdający:\n2R) rozwiązuje równania i nierówności wymierne nie trudniejsze niż\n𝑥+1\n𝑥(𝑥-1) +\n1\n𝑥+1 ≥\n2𝑥\n(𝑥-1)(𝑥+1) .\nIV. Układy równań. Zdający:\n1)\nrozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi […].\n14\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nZasady oceniania\n6 pkt - poprawna metoda wyznaczenia wszystkich wartości parametru 𝑚 spełniających\nwarunki zadania oraz prawidłowy wynik.\n5 pkt - rozwiązanie nierówności |\n𝑚2-2𝑚+4\n𝑚+2\n| < 2.\n4 pkt - rozwiązanie jednej z nierówności\n𝑚2 -2𝑚+ 4\n𝑚+ 2\n> -2 lub 𝑚2 -2𝑚+ 4\n𝑚+ 2\n< 2\n3 pkt - zapisanie nierówności\n𝑚2 -2𝑚+ 4\n𝑚+ 2\n> -2 i 𝑚2 -2𝑚+ 4\n𝑚+ 2\n< 2\n2 pkt - wyznaczenie z układu (1) 𝑥 oraz 𝑦.\n1 pkt - określenie wartości parametru 𝑚, dla jakich układ jest oznaczony i wyznaczenie\nz układu (1) 𝑥 lub 𝑦.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nRozwiązujemy układ (1) metodą podstawiania. Z pierwszego równania układu wyznaczamy 𝑦:\n𝑦= 𝑚2 -𝑚𝑥\ni wstawiamy do drugiego równania układu:\n4𝑥+ 𝑚(𝑚2 -𝑚𝑥) = 8\n(4 -𝑚2)𝑥= 8 -𝑚3\nZatem układ jest oznaczony, gdy 𝑚∈ℝ\\{-2; 2}. Wtedy\n𝑥= 8 -𝑚3\n4 -𝑚2 = (2 -𝑚)(4 + 2𝑚+ 𝑚2)\n(2 -𝑚)(2 + 𝑚)\n= 4 + 2𝑚+ 𝑚2\n𝑚+ 2\nStąd\n𝑦= 𝑚2 -𝑚𝑥= 𝑚2 -𝑚⋅𝑚2 + 2𝑚+ 4\n𝑚+ 2\n= 𝑚3 + 2𝑚2 -𝑚(𝑚2 + 2𝑚+ 4)\n𝑚+ 2\n= -4𝑚\n𝑚+ 2\nWyznaczamy wartości parametru 𝑚, dla których prawdziwa jest nierówność |𝑥+ 𝑦| < 2:\n|4 + 2𝑚+ 𝑚2\n2 + 𝑚\n+ -4𝑚\n𝑚+ 2| < 2\n|𝑚2 -2𝑚+ 4\n𝑚+ 2\n| < 2\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n15\n𝑚2 -2𝑚+ 4\n𝑚+ 2\n> -2 i 𝑚2 -2𝑚+ 4\n𝑚+ 2\n< 2\n𝑚2 -2𝑚+ 4\n𝑚+ 2\n+ 2𝑚+ 4\n𝑚+ 2 > 0 i 𝑚2 -2𝑚+ 4\n𝑚+ 2\n-2𝑚+ 4\n𝑚+ 2 < 0\n𝑚2 + 8\n2 + 𝑚> 0 i 𝑚2 -4𝑚\n2 + 𝑚\n< 0\n(𝑚2 + 8)(𝑚+ 2) > 0 i 𝑚∈ℝ\\{-2; 2} i (𝑚2 -4𝑚)(𝑚+ 2) < 0 i 𝑚∈ℝ\\{-2; 2}\n𝑚∈(-2, 2) ∪(2, +∞) i 𝑚∈(-∞, -2) ∪(0, 2) ∪(2, 4)\nco daje nam 𝑚∈(0, 2) ∪(2, 4).","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 1. (0-6)
Dany jest układ równań
{𝑚𝑥+ 𝑦= 𝑚2
4𝑥+ 𝑚𝑦= 8
(1)
z niewiadomymi 𝑥 i 𝑦 oraz parametrem 𝑚.
Wyznacz wszystkie wartości parametru 𝒎, dla których układ jest oznaczony, a para
liczb (𝒙, 𝒚) będąca rozwiązaniem układu spełnia warunek |𝒙+ 𝒚| < 𝟐.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
13
Wymaganie ogólne
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
3.
Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących,
w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu.
Wymagania szczegółowe
III. Równania i nierówności. Zdający:
2R) rozwiązuje równania i nierówności wymierne nie trudniejsze niż
𝑥+1
𝑥(𝑥-1) +
1
𝑥+1 ≥
2𝑥
(𝑥-1)(𝑥+1) .
IV. Układy równań. Zdający:
1)
rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi […].
14
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023
Zasady oceniania
6 pkt - poprawna metoda wyznaczenia wszystkich wartości parametru 𝑚 spełniających
warunki zadania oraz prawidłowy wynik.
5 pkt - rozwiązanie nierówności |
𝑚2-2𝑚+4
𝑚+2
| < 2.
4 pkt - rozwiązanie jednej z nierówności
𝑚2 -2𝑚+ 4
𝑚+ 2

\n
-2 lub 𝑚2 -2𝑚+ 4
\n

𝑚+ 2
< 2
3 pkt - zapisanie nierówności
𝑚2 -2𝑚+ 4
𝑚+ 2

\n
-2 i 𝑚2 -2𝑚+ 4
\n

𝑚+ 2
< 2
2 pkt - wyznaczenie z układu (1) 𝑥 oraz 𝑦.
1 pkt - określenie wartości parametru 𝑚, dla jakich układ jest oznaczony i wyznaczenie
z układu (1) 𝑥 lub 𝑦.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Rozwiązujemy układ (1) metodą podstawiania. Z pierwszego równania układu wyznaczamy 𝑦:
𝑦= 𝑚2 -𝑚𝑥
i wstawiamy do drugiego równania układu:
4𝑥+ 𝑚(𝑚2 -𝑚𝑥) = 8
(4 -𝑚2)𝑥= 8 -𝑚3
Zatem układ jest oznaczony, gdy 𝑚∈ℝ\\{-2; 2}. Wtedy
𝑥= 8 -𝑚3
4 -𝑚2 = (2 -𝑚)(4 + 2𝑚+ 𝑚2)
(2 -𝑚)(2 + 𝑚)
= 4 + 2𝑚+ 𝑚2
𝑚+ 2
Stąd
𝑦= 𝑚2 -𝑚𝑥= 𝑚2 -𝑚⋅𝑚2 + 2𝑚+ 4
𝑚+ 2
= 𝑚3 + 2𝑚2 -𝑚(𝑚2 + 2𝑚+ 4)
𝑚+ 2
= -4𝑚
𝑚+ 2
Wyznaczamy wartości parametru 𝑚, dla których prawdziwa jest nierówność |𝑥+ 𝑦| < 2:
|4 + 2𝑚+ 𝑚2
2 + 𝑚

\n\n

𝑚+ 2| < 2
|𝑚2 -2𝑚+ 4
𝑚+ 2
| < 2
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
15
𝑚2 -2𝑚+ 4
𝑚+ 2

\n
-2 i 𝑚2 -2𝑚+ 4
\n

𝑚+ 2
< 2
𝑚2 -2𝑚+ 4
𝑚+ 2

\n\n

𝑚+ 2 > 0 i 𝑚2 -2𝑚+ 4
𝑚+ 2
-2𝑚+ 4
𝑚+ 2 < 0
𝑚2 + 8
2 + 𝑚> 0 i 𝑚2 -4𝑚
2 + 𝑚
< 0
(𝑚2 + 8)(𝑚+ 2) > 0 i 𝑚∈ℝ\\{-2; 2} i (𝑚2 -4𝑚)(𝑚+ 2) < 0 i 𝑚∈ℝ\\{-2; 2}
𝑚∈(-2, 2) ∪(2, +∞) i 𝑚∈(-∞, -2) ∪(0, 2) ∪(2, 4)
co daje nam 𝑚∈(0, 2) ∪(2, 4).

","solutions":[]}