{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad/10","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony","number":"10","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 10. (0-6)\nCztery miasta 𝐴, 𝐵, 𝐶 i 𝐷 znajdują się w wierzchołkach kwadratu o boku 300 km. Pewna\nfirma dostała zlecenie na zaprojektowanie sieci dróg, która będzie łączyć każde dwa z tych\nmiast. Sieć ma posiadać dwa węzły, a łączna długość dróg w sieci ma być możliwie\nnajmniejsza. (Przykład sieci dróg z dwoma węzłami, łączącej każde dwa z miast,\nprzedstawiono na poniższym rysunku).\nOblicz, jaka musi być długość najkrótszej takiej sieci dróg i gdzie muszą być\nzlokalizowane węzły tej sieci.\n𝐴\n𝐶\n𝐷\n𝐵\nwęzły\n300 km\n300 km\n32\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4.\nStosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nWymagania szczegółowe\nXIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy. Zdający:\n4R) oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym […];\n5R) stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji;\n6R) rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.\nZasady oceniania\n6 pkt - obliczenie długości najkrótszej sieci z dwoma węzłami i podanie lokalizacji węzłów\nwzględem miast.\n5 pkt - obliczenie długości najkrótszej sieci z dwoma węzłami.\n4 pkt - obliczenie wartości najmniejszej funkcji 𝑓.\n3 pkt - obliczenie pochodnej funkcji 𝑓.\n2 pkt - wyrażenie długości sieci za pomocą odległości węzłów od prostych odpowiednio 𝐴𝐷\ni 𝐵𝐶.\n1 pkt - uzasadnienie, że węzły muszą się znajdować na symetralnej odcinka 𝐴𝐷.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n33\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nRozpatrzmy sieć dróg złożoną z odcinków 𝐴𝐾, 𝐾𝐿, 𝐿𝐶, 𝐵𝐿 i 𝐷𝐾 (zobacz rysunek 1.)\nProwadzimy prostą 𝑝 równoległą do 𝐴𝐷 i przechodzącą przez 𝐾 i zaznaczamy na niej\npunkt 𝐾’ taki, że |𝐴𝐾′| = |𝐷𝐾′|.\nProwadzimy prostą równoległą do 𝐵𝐶 i przechodzącą przez 𝐿 i zaznaczamy na niej punkt 𝐿’\ntaki, że |𝐵𝐿′| = |𝐶𝐿′| (patrz rysunek 2.).\nPokażemy, że sieć dróg z węzłami 𝐾 i 𝐿 można zastąpić siecią krótszą - z węzłami 𝐾’ i 𝐿’.\nNiech 𝐷’ będzie punktem symetrycznym do punktu 𝐷 względem prostej 𝑝. Wówczas punkty\n𝐷’, 𝐾’ oraz 𝐴 są współliniowe, więc\n|𝐷𝐾| + |𝐾𝐴| = |𝐷′𝐾| + |𝐾𝐴| ≥|𝐷′𝐴| = |𝐷𝐾′| + |𝐾′𝐴|.\nPodobnie pokazujemy, że |𝐵𝐿| + |𝐿𝐶| ≥|𝐵𝐿′| + |𝐿′𝐶|. Ponadto odcinek 𝐾′𝐿′ jest\nrównoległy do prostej 𝐴𝐵, więc |𝐾′𝐿′| ≤|𝐾𝐿|. Zatem sieć dróg z węzłami 𝐾′ i 𝐿′ jest krótsza\nniż z węzłami 𝐾 i 𝐿.\nOznaczmy odległość punktu 𝐾′ od prostej 𝐴𝐷 przez 𝑥, natomiast punktu 𝐿′ od prostej 𝐵𝐶\nprzez 𝑦. Długość 𝑑 sieci z węzłami 𝐾′ i 𝐿′ jest równa\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐾\n𝐿\nRysunek 1.\n𝐴\n𝐶\n𝐷\n𝐵\n𝐾\n𝐿\nRysunek 2.\n𝐾′\n𝐿′\n𝑝\n34\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\n𝑑= 2√1502 + 𝑥2 + 2√1502 + 𝑦2 + 300 -𝑥-𝑦\ngdzie 𝑥∈[0,300] i 0 ≤𝑥+ 𝑦< 300.\nZbadamy funkcję 𝑓(𝑥) = 2√1502 + 𝑥2 -𝑥 określoną dla 𝑥∈[0,300].\n𝑓′(𝑥) = 2 ⋅1\n2 ⋅\n1\n√1502 + 𝑥2 ⋅2𝑥-1 =\n2𝑥\n√1502 + 𝑥2 -1\n𝑓′(𝑥) = 0\n2𝑥\n√(1502 + 𝑥2)\n= 1\n4𝑥2 = 𝑥2 + 1502\n𝑥= 50√3\n𝑓′(𝑥) > 0 ⟺ 𝑥∈(50√3, 300]\n𝑓′(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥∈[0,50√3)\nFunkcja 𝑓 jest malejąca w przedziale [0, 50√3] i rosnąca w przedziale [50√3, 300].\nNajmniejszą wartość funkcja przyjmuje w punkcie 𝑥= 50√3 i wartość ta jest równa\n𝑓(50√3) = 150√3.\nZatem\n𝑑= 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) + 300 ≥300(1 + √3)\nprzy czym równość zachodzi tylko wtedy, gdy 𝑥= 𝑦= 50√3. Najkrótsza sieć dróg ma zatem\ndługość 300(1 + √3) km i składa się z 5 odcinków: 𝐴𝐾′, 𝐾′𝐿′, 𝐿′𝐶, 𝐵𝐿′ i 𝐷𝐾′.\nWęzeł 𝐾′ jest równo oddalony (w odległości 100√3 km) od miast 𝐴 i 𝐷, natomiast węzeł 𝐿′\njest równo oddalony (w odległości 100√3 km) od miast 𝐵 i 𝐶 (patrz rysunek 2.).\nZauważmy jeszcze, że w przypadku sieci dróg z jednym węzłem, najkrótsza taka sieć będzie\nmiała długość równą 600√2 km (i węzeł w środku kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷). Będzie więc dłuższa\nniż sieć z dwoma węzłami.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n35","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":31,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 10. (0-6)
Cztery miasta 𝐴, 𝐵, 𝐶 i 𝐷 znajdują się w wierzchołkach kwadratu o boku 300 km. Pewna
firma dostała zlecenie na zaprojektowanie sieci dróg, która będzie łączyć każde dwa z tych
miast. Sieć ma posiadać dwa węzły, a łączna długość dróg w sieci ma być możliwie
najmniejsza. (Przykład sieci dróg z dwoma węzłami, łączącej każde dwa z miast,
przedstawiono na poniższym rysunku).
Oblicz, jaka musi być długość najkrótszej takiej sieci dróg i gdzie muszą być
zlokalizowane węzły tej sieci.
𝐴
𝐶
𝐷
𝐵
węzły
300 km
300 km
32
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023
Wymaganie ogólne
IV. Rozumowanie i argumentacja.
4.
Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach
nietypowych.
Wymagania szczegółowe
XIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy. Zdający:
4R) oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym […];
5R) stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji;
6R) rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.
Zasady oceniania
6 pkt - obliczenie długości najkrótszej sieci z dwoma węzłami i podanie lokalizacji węzłów
względem miast.
5 pkt - obliczenie długości najkrótszej sieci z dwoma węzłami.
4 pkt - obliczenie wartości najmniejszej funkcji 𝑓.
3 pkt - obliczenie pochodnej funkcji 𝑓.
2 pkt - wyrażenie długości sieci za pomocą odległości węzłów od prostych odpowiednio 𝐴𝐷
i 𝐵𝐶.
1 pkt - uzasadnienie, że węzły muszą się znajdować na symetralnej odcinka 𝐴𝐷.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
33
Przykładowe pełne rozwiązanie
Rozpatrzmy sieć dróg złożoną z odcinków 𝐴𝐾, 𝐾𝐿, 𝐿𝐶, 𝐵𝐿 i 𝐷𝐾 (zobacz rysunek 1.)
Prowadzimy prostą 𝑝 równoległą do 𝐴𝐷 i przechodzącą przez 𝐾 i zaznaczamy na niej
punkt 𝐾’ taki, że |𝐴𝐾′| = |𝐷𝐾′|.
Prowadzimy prostą równoległą do 𝐵𝐶 i przechodzącą przez 𝐿 i zaznaczamy na niej punkt 𝐿’
taki, że |𝐵𝐿′| = |𝐶𝐿′| (patrz rysunek 2.).
Pokażemy, że sieć dróg z węzłami 𝐾 i 𝐿 można zastąpić siecią krótszą - z węzłami 𝐾’ i 𝐿’.
Niech 𝐷’ będzie punktem symetrycznym do punktu 𝐷 względem prostej 𝑝. Wówczas punkty
𝐷’, 𝐾’ oraz 𝐴 są współliniowe, więc
|𝐷𝐾| + |𝐾𝐴| = |𝐷′𝐾| + |𝐾𝐴| ≥|𝐷′𝐴| = |𝐷𝐾′| + |𝐾′𝐴|.
Podobnie pokazujemy, że |𝐵𝐿| + |𝐿𝐶| ≥|𝐵𝐿′| + |𝐿′𝐶|. Ponadto odcinek 𝐾′𝐿′ jest
równoległy do prostej 𝐴𝐵, więc |𝐾′𝐿′| ≤|𝐾𝐿|. Zatem sieć dróg z węzłami 𝐾′ i 𝐿′ jest krótsza
niż z węzłami 𝐾 i 𝐿.
Oznaczmy odległość punktu 𝐾′ od prostej 𝐴𝐷 przez 𝑥, natomiast punktu 𝐿′ od prostej 𝐵𝐶
przez 𝑦. Długość 𝑑 sieci z węzłami 𝐾′ i 𝐿′ jest równa
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝐾
𝐿
Rysunek 1.
𝐴
𝐶
𝐷
𝐵
𝐾
𝐿
Rysunek 2.
𝐾′
𝐿′
𝑝
34
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023
𝑑= 2√1502 + 𝑥2 + 2√1502 + 𝑦2 + 300 -𝑥-𝑦
gdzie 𝑥∈[0,300] i 0 ≤𝑥+ 𝑦< 300.
Zbadamy funkcję 𝑓(𝑥) = 2√1502 + 𝑥2 -𝑥 określoną dla 𝑥∈[0,300].
𝑓′(𝑥) = 2 ⋅1
2 ⋅
1
√1502 + 𝑥2 ⋅2𝑥-1 =
2𝑥
√1502 + 𝑥2 -1
𝑓′(𝑥) = 0
2𝑥
√(1502 + 𝑥2)
= 1
4𝑥2 = 𝑥2 + 1502
𝑥= 50√3
𝑓′(𝑥) > 0 ⟺ 𝑥∈(50√3, 300]
𝑓′(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥∈[0,50√3)
Funkcja 𝑓 jest malejąca w przedziale [0, 50√3] i rosnąca w przedziale [50√3, 300].
Najmniejszą wartość funkcja przyjmuje w punkcie 𝑥= 50√3 i wartość ta jest równa
𝑓(50√3) = 150√3.
Zatem
𝑑= 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) + 300 ≥300(1 + √3)
przy czym równość zachodzi tylko wtedy, gdy 𝑥= 𝑦= 50√3. Najkrótsza sieć dróg ma zatem
długość 300(1 + √3) km i składa się z 5 odcinków: 𝐴𝐾′, 𝐾′𝐿′, 𝐿′𝐶, 𝐵𝐿′ i 𝐷𝐾′.
Węzeł 𝐾′ jest równo oddalony (w odległości 100√3 km) od miast 𝐴 i 𝐷, natomiast węzeł 𝐿′
jest równo oddalony (w odległości 100√3 km) od miast 𝐵 i 𝐶 (patrz rysunek 2.).
Zauważmy jeszcze, że w przypadku sieci dróg z jednym węzłem, najkrótsza taka sieć będzie
miała długość równą 600√2 km (i węzeł w środku kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷). Będzie więc dłuższa
niż sieć z dwoma węzłami.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
35

","solutions":[]}