{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad/11","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony","number":"11","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 11. (0-3)\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 2𝑥-3\n𝑥+ 2 + 4 log1\n2\n𝑥 dla wszystkich 𝑥> 0.\nWykaż, że funkcja 𝒇 ma co najmniej jedno miejsce zerowe, które należy do\nprzedziału [𝟏\n𝟐, 𝟒].\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1.\nprzeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.\nWymaganie szczegółowe\nXIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy. Zdający:\n2R) stosuje własność Darboux do uzasadniania istnienia miejsca zerowego funkcji\ni znajdowania przybliżonej wartości miejsca zerowego.\nZasady oceniania\n3 pkt - przeprowadzenie pełnego dowodu.\n2 pkt - zauważenie, że 𝑓(1\n2) > 0 i 𝑓(4) < 0 oraz uzasadnienie, że funkcja 𝑓 jest ciągła.\n1 pkt - obliczenie wartości funkcji 𝑓 np. na krańcach przedziału [1\n2 , 4].\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\n36\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nObliczymy wartości funkcji na krańcach przedziału [1\n2 , 4].\n𝑓(1\n2) =\n2 ⋅1\n2 -3\n1\n2 + 2\n+ 4 log1\n2\n1\n2 = -4\n5 + 4 = 3 1\n5\n𝑓(4) = 2 ⋅4 -3\n4 + 2\n+ 4 log1\n2\n4 = 5\n6 -8 = -7 1\n6\nZauważmy, że 𝑓(1\n2) > 0 i 𝑓(4) < 0.\nFunkcja 𝑓 jest funkcją ciągłą, jako suma funkcji ciągłych. Ma zatem własność Darboux.\nDlatego w przedziale [1\n2 , 4] przyjmuje wszystkie wartości z zakresu [-7\n1\n6 , 3\n1\n5].\nW szczególności przyjmuje wartość 0 dla pewnego 𝑥0 ∈[1\n2 , 4].\nTo kończy dowód.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":35,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 11. (0-3)
Funkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 2𝑥-3
𝑥+ 2 + 4 log1
2
𝑥 dla wszystkich 𝑥> 0.
Wykaż, że funkcja 𝒇 ma co najmniej jedno miejsce zerowe, które należy do
przedziału [𝟏
𝟐, 𝟒].
Wymaganie ogólne
IV. Rozumowanie i argumentacja.
1.
przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów
uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.
Wymaganie szczegółowe
XIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy. Zdający:
2R) stosuje własność Darboux do uzasadniania istnienia miejsca zerowego funkcji
i znajdowania przybliżonej wartości miejsca zerowego.
Zasady oceniania
3 pkt - przeprowadzenie pełnego dowodu.
2 pkt - zauważenie, że 𝑓(1

\n
  1. > 0 i 𝑓(4) < 0 oraz uzasadnienie, że funkcja 𝑓 jest ciągła.
\n

1 pkt - obliczenie wartości funkcji 𝑓 np. na krańcach przedziału [1
2 , 4].
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
36
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023
Przykładowe pełne rozwiązanie
Obliczymy wartości funkcji na krańcach przedziału [1
2 , 4].
𝑓(1

\n
  1. =
\n

2 ⋅1
2 -3
1
2 + 2

\n\n

2
1
2 = -4
5 + 4 = 3 1
5
𝑓(4) = 2 ⋅4 -3
4 + 2

\n\n

2
4 = 5
6 -8 = -7 1
6
Zauważmy, że 𝑓(1

\n
  1. > 0 i 𝑓(4) < 0.
\n

Funkcja 𝑓 jest funkcją ciągłą, jako suma funkcji ciągłych. Ma zatem własność Darboux.
Dlatego w przedziale [1
2 , 4] przyjmuje wszystkie wartości z zakresu [-7
1
6 , 3
1
5].
W szczególności przyjmuje wartość 0 dla pewnego 𝑥0 ∈[1
2 , 4].
To kończy dowód.

","solutions":[]}