{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad/13","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony","number":"13","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 13. (0-4)\nW nieskończonym malejącym ciągu geometrycznym (𝑎𝑛), określonym dla 𝑛≥1, jest\nspełniony warunek\n𝑎5 + 𝑎3\n𝑎3\n= 29\n25 .\nSuma wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa 6.\nWyznacz wzór na 𝒏-ty wyraz ciągu (𝒂𝒏).\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymaganie szczegółowe\nVI. Ciągi. Zdający:\n2R) rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę.\nZasady oceniania\n4 pkt - obliczenie ilorazu, pierwszego wyrazu ciągu oraz zapisanie wzoru ogólnego ciągu.\n3 pkt - obliczenie ilorazu lub pierwszego wyrazu ciągu.\n2 pkt - zapisanie dwóch równań z niewiadomymi 𝑞 i 𝑎1, które pozwalają na obliczenie ilorazu\nciągu oraz pierwszego wyrazu ciągu.\n1 pkt - zapisanie równania z niewiadomymi 𝑞 i/lub 𝑎1, które wynika z treści zadania.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\n42\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZ warunku\n𝑎5 + 𝑎3\n𝑎3\n= 29\n25\noraz z informacji o monotoniczności ciągu otrzymamy iloraz 𝑞 ciągu (𝑎𝑛):\n𝑎3 ⋅𝑞2 + 𝑎3\n𝑎3\n= 29\n25\n𝑞2 + 1 = 29\n25\n𝑞= 2\n5 lub 𝑞= -2\n5\nCiąg jest ściśle monotoniczny, więc 𝑞= 2\n5.\nPonieważ dla 𝑞= 2\n5 ciąg ten jest zbieżny, więc sumę\n𝑎2 + 𝑎4 + 𝑎6 + … = 6\nmożemy zapisać następująco:\n𝑎1 ⋅𝑞\n1 -𝑞2 = 6\ni otrzymujemy\n𝑎1 ⋅2\n5\n1 -(2\n5)\n2 = 6\n𝑎1 = 63\n5\nWzór ogólny ciągu ma postać: 𝑎𝑛= 63\n5 ⋅(2\n5)\n𝑛-1","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":41,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"<p>Zadanie 13. (0-4)<br>W nieskończonym malejącym ciągu geometrycznym (𝑎𝑛), określonym dla 𝑛≥1, jest<br>spełniony warunek<br>𝑎5 + 𝑎3<br>𝑎3<br>= 29<br>25 .<br>Suma wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa 6.<br>Wyznacz wzór na 𝒏-ty wyraz ciągu (𝒂𝒏).<br>Wymaganie ogólne<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.<br>1.<br>Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Wymaganie szczegółowe<br>VI. Ciągi. Zdający:<br>2R) rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę.<br>Zasady oceniania<br>4 pkt - obliczenie ilorazu, pierwszego wyrazu ciągu oraz zapisanie wzoru ogólnego ciągu.<br>3 pkt - obliczenie ilorazu lub pierwszego wyrazu ciągu.<br>2 pkt - zapisanie dwóch równań z niewiadomymi 𝑞 i 𝑎1, które pozwalają na obliczenie ilorazu<br>ciągu oraz pierwszego wyrazu ciągu.<br>1 pkt - zapisanie równania z niewiadomymi 𝑞 i/lub 𝑎1, które wynika z treści zadania.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>42<br>Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Z warunku<br>𝑎5 + 𝑎3<br>𝑎3<br>= 29<br>25<br>oraz z informacji o monotoniczności ciągu otrzymamy iloraz 𝑞 ciągu (𝑎𝑛):<br>𝑎3 ⋅𝑞2 + 𝑎3<br>𝑎3<br>= 29<br>25<br>𝑞2 + 1 = 29<br>25<br>𝑞= 2<br>5 lub 𝑞= -2<br>5<br>Ciąg jest ściśle monotoniczny, więc 𝑞= 2<br>5.<br>Ponieważ dla 𝑞= 2<br>5 ciąg ten jest zbieżny, więc sumę<br>𝑎2 + 𝑎4 + 𝑎6 + … = 6<br>możemy zapisać następująco:<br>𝑎1 ⋅𝑞<br>1 -𝑞2 = 6<br>i otrzymujemy<br>𝑎1 ⋅2<br>5<br>1 -(2<br>5)<br>2 = 6<br>𝑎1 = 63<br>5<br>Wzór ogólny ciągu ma postać: 𝑎𝑛= 63<br>5 ⋅(2<br>5)<br>𝑛-1</p>","solutions":[]}