{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad/15","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony","number":"15","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 15. (0-4)\nRozwiąż nierówność\n(𝟐-𝐜𝐨𝐬𝒙)𝟐≤𝟒𝐬𝐢𝐧𝟐𝒙\n𝟐-𝟒𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙\n𝟐+ 𝟒, 𝟕𝟓\nw zbiorze (𝟎, 𝝅).\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n45\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n2.\nDostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na\nich podstawie i uzasadnianie ich poprawności.\nWymaganie szczegółowe\nVII. Trygonometria. Zdający:\n6R) rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne […].\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawne rozwiązanie podanej w poleceniu nierówności w zbiorze (0, 𝜋).\n3 pkt - poprawne rozwiązanie jednej z nierówności cos 𝑥≤\n√3\n2 lub cos 𝑥≥-\n√3\n2 .\n2 pkt - zapisanie nierówności cos2 𝑥≤3\n4 w postaci koniunkcji dwóch nierówności.\n1 pkt - przekształcenie nierówności do postaci, w której występuje jedna funkcja\ntrygonometryczna zmiennej 𝑥.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzekształcamy nierówność podaną w treści zadania do prostszej postaci. Skorzystamy ze\nwzoru na cosinus podwojonego kąta:\n(2 -cos 𝑥)2 ≤4 sin2 𝑥\n2 -4 cos2 𝑥\n2 + 4 3\n4\ncos2 𝑥-4 cos 𝑥+ 4 ≤-4 (cos2 𝑥\n2 -sin2 𝑥\n2) + 4 3\n4\ncos2 𝑥-4 cos 𝑥+ 4 ≤-4 cos (2 ⋅𝑥\n2) + 4 3\n4\ncos2 𝑥≤3\n4\n|cos 𝑥| ≤√3\n2\ncos 𝑥≤√3\n2 i cos 𝑥 ≥-√3\n2\nKorzystamy z wykresu funkcji cosinus i odczytujemy rozwiązania ostatnich dwóch nierówności\nw przedziale (0, 𝜋):\n𝑥∈[ 𝜋\n6 , 𝜋) i 𝑥∈(0, 5\n6 𝜋]\nOtrzymujemy rozwiązanie: 𝑥∈[ π\n6 , 5\n6π ].\n46\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":44,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 15. (0-4)
Rozwiąż nierówność
(𝟐-𝐜𝐨𝐬𝒙)𝟐≤𝟒𝐬𝐢𝐧𝟐𝒙
𝟐-𝟒𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙
𝟐+ 𝟒, 𝟕𝟓
w zbiorze (𝟎, 𝝅).
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
45
Wymagania ogólne
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
1.
Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
IV. Rozumowanie i argumentacja.
2.
Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na
ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności.
Wymaganie szczegółowe
VII. Trygonometria. Zdający:
6R) rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne […].
Zasady oceniania
4 pkt - poprawne rozwiązanie podanej w poleceniu nierówności w zbiorze (0, 𝜋).
3 pkt - poprawne rozwiązanie jednej z nierówności cos 𝑥≤
√3
2 lub cos 𝑥≥-
√3
2 .
2 pkt - zapisanie nierówności cos2 𝑥≤3
4 w postaci koniunkcji dwóch nierówności.
1 pkt - przekształcenie nierówności do postaci, w której występuje jedna funkcja
trygonometryczna zmiennej 𝑥.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Przekształcamy nierówność podaną w treści zadania do prostszej postaci. Skorzystamy ze
wzoru na cosinus podwojonego kąta:
(2 -cos 𝑥)2 ≤4 sin2 𝑥
2 -4 cos2 𝑥
2 + 4 3
4
cos2 𝑥-4 cos 𝑥+ 4 ≤-4 (cos2 𝑥
2 -sin2 𝑥

\n
  1. + 4 3
\n

4
cos2 𝑥-4 cos 𝑥+ 4 ≤-4 cos (2 ⋅𝑥

\n
  1. + 4 3
\n

4
cos2 𝑥≤3
4
|cos 𝑥| ≤√3
2
cos 𝑥≤√3
2 i cos 𝑥 ≥-√3
2
Korzystamy z wykresu funkcji cosinus i odczytujemy rozwiązania ostatnich dwóch nierówności
w przedziale (0, 𝜋):
𝑥∈[ 𝜋
6 , 𝜋) i 𝑥∈(0, 5
6 𝜋]
Otrzymujemy rozwiązanie: 𝑥∈[ π
6 , 5
6π ].
46
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023

","solutions":[]}