{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad/17","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony","number":"17","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 17. (0-3)\nCiąg (𝑎𝑛) jest określony wzorem\n𝑎𝑛= (𝑛+ 5)2 ⋅(\n𝑝+ 1\n(𝑛+ 1)(𝑛+ 2) +\n2𝑝+ 2\n(𝑛+ 2)(𝑛+ 3)) dla 𝑛≥1.\nWyznacz wszystkie wartości parametru 𝒑, dla których granica ciągu jest równa 𝟏𝟐.\n48\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymaganie szczegółowe\nVI. Ciągi. Zdający:\n1R) oblicza granice ciągów, korzystając z […] twierdzeń o granicach sumy, różnicy,\niloczynu i ilorazu ciągów zbieżnych […].\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia granicy ciągu (𝑎𝑛) i prawidłowo wyznaczona\nwartość 𝑝.\n2 pkt - wyznaczenie granicy ciągu (𝑎𝑛) w zależności od 𝑝.\n1 pkt - obliczenie jednej z granic:\nlim\n𝑛→+∞\n(𝑛+5)\n2\n(𝑛+1)(𝑛+2) lub lim\n𝑛→+∞\n(𝑛+5)\n2\n(𝑛+2)(𝑛+3).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzekształcamy wzór ciągu (𝑎𝑛) do postaci\n𝑎𝑛= (𝑝+ 1) ⋅\n(𝑛+ 5)2\n(𝑛+ 1)(𝑛+ 2) + (2𝑝+ 2) ⋅\n(𝑛+ 5)2\n(𝑛+ 2)(𝑛+ 3)\nObliczamy następujące granice:\nlim\n𝑛→+∞\n(𝑛+ 5)2\n(𝑛+ 1)(𝑛+ 2) = lim\n𝑛→+∞\n𝑛2 ⋅(1 + 5\n𝑛)\n2\n𝑛2 ⋅(1 + 1\n𝑛) (1 + 2\n𝑛)\n= lim\n𝑛→+∞\n(1 + 5\n𝑛)\n2\n(1 + 1\n𝑛) (1 + 2\n𝑛)\n= 1\nlim\n𝑛→+∞\n(𝑛+ 5)2\n(𝑛+ 2)(𝑛+ 3) = lim\n𝑛→+∞\n𝑛2 ⋅(1 + 5\n𝑛)\n2\n𝑛2 ⋅(1 + 2\n𝑛) (1 + 3\n𝑛)\n= lim\n𝑛→+∞\n(1 + 5\n𝑛)\n2\n(1 + 2\n𝑛) (1 + 3\n𝑛)\n= 1\nZatem\nlim\n𝑛→+∞𝑎𝑛= lim\n𝑛→+∞[(𝑝+ 1) ⋅\n(𝑛+ 5)2\n(𝑛+ 1)(𝑛+ 2) + (2𝑝+ 2) ⋅\n(𝑛+ 5)2\n(𝑛+ 2)(𝑛+ 3)] =\n= (𝑝+ 1) ⋅lim\n𝑛→+∞\n(𝑛+ 5)2\n(𝑛+ 1)(𝑛+ 2) + (2𝑝+ 2) ⋅lim\n𝑛→+∞\n(𝑛+ 5)2\n(𝑛+ 2)(𝑛+ 3) =\n= (𝑝+ 1) ⋅1 + (2𝑝+ 2) ⋅1 = 3𝑝+ 3\nZ warunków zadania otrzymujemy 12 = 3𝑝+ 3, więc 𝑝= 3.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n49","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":47,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"<p>Zadanie 17. (0-3)<br>Ciąg (𝑎𝑛) jest określony wzorem<br>𝑎𝑛= (𝑛+ 5)2 ⋅(<br>𝑝+ 1<br>(𝑛+ 1)(𝑛+ 2) +<br>2𝑝+ 2<br>(𝑛+ 2)(𝑛+ 3)) dla 𝑛≥1.<br>Wyznacz wszystkie wartości parametru 𝒑, dla których granica ciągu jest równa 𝟏𝟐.<br>48<br>Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023<br>Wymaganie ogólne<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.<br>1.<br>Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Wymaganie szczegółowe<br>VI. Ciągi. Zdający:<br>1R) oblicza granice ciągów, korzystając z […] twierdzeń o granicach sumy, różnicy,<br>iloczynu i ilorazu ciągów zbieżnych […].<br>Zasady oceniania<br>3 pkt - poprawna metoda obliczenia granicy ciągu (𝑎𝑛) i prawidłowo wyznaczona<br>wartość 𝑝.<br>2 pkt - wyznaczenie granicy ciągu (𝑎𝑛) w zależności od 𝑝.<br>1 pkt - obliczenie jednej z granic:<br>lim<br>𝑛→+∞<br>(𝑛+5)<br>2<br>(𝑛+1)(𝑛+2) lub lim<br>𝑛→+∞<br>(𝑛+5)<br>2<br>(𝑛+2)(𝑛+3).<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Przekształcamy wzór ciągu (𝑎𝑛) do postaci<br>𝑎𝑛= (𝑝+ 1) ⋅<br>(𝑛+ 5)2<br>(𝑛+ 1)(𝑛+ 2) + (2𝑝+ 2) ⋅<br>(𝑛+ 5)2<br>(𝑛+ 2)(𝑛+ 3)<br>Obliczamy następujące granice:<br>lim<br>𝑛→+∞<br>(𝑛+ 5)2<br>(𝑛+ 1)(𝑛+ 2) = lim<br>𝑛→+∞<br>𝑛2 ⋅(1 + 5<br>𝑛)<br>2<br>𝑛2 ⋅(1 + 1<br>𝑛) (1 + 2<br>𝑛)<br>= lim<br>𝑛→+∞<br>(1 + 5<br>𝑛)<br>2<br>(1 + 1<br>𝑛) (1 + 2<br>𝑛)<br>= 1<br>lim<br>𝑛→+∞<br>(𝑛+ 5)2<br>(𝑛+ 2)(𝑛+ 3) = lim<br>𝑛→+∞<br>𝑛2 ⋅(1 + 5<br>𝑛)<br>2<br>𝑛2 ⋅(1 + 2<br>𝑛) (1 + 3<br>𝑛)<br>= lim<br>𝑛→+∞<br>(1 + 5<br>𝑛)<br>2<br>(1 + 2<br>𝑛) (1 + 3<br>𝑛)<br>= 1<br>Zatem<br>lim<br>𝑛→+∞𝑎𝑛= lim<br>𝑛→+∞[(𝑝+ 1) ⋅<br>(𝑛+ 5)2<br>(𝑛+ 1)(𝑛+ 2) + (2𝑝+ 2) ⋅<br>(𝑛+ 5)2<br>(𝑛+ 2)(𝑛+ 3)] =<br>= (𝑝+ 1) ⋅lim<br>𝑛→+∞<br>(𝑛+ 5)2<br>(𝑛+ 1)(𝑛+ 2) + (2𝑝+ 2) ⋅lim<br>𝑛→+∞<br>(𝑛+ 5)2<br>(𝑛+ 2)(𝑛+ 3) =<br>= (𝑝+ 1) ⋅1 + (2𝑝+ 2) ⋅1 = 3𝑝+ 3<br>Z warunków zadania otrzymujemy 12 = 3𝑝+ 3, więc 𝑝= 3.<br>Przykładowe zadania z rozwiązaniami<br>49</p>","solutions":[]}