{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad/18.1","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony","number":"18.1","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 18.1. (0-4)\nWykaż, że układ równań\n𝟒𝒂+ 𝟒𝒃+ 𝟒𝒄= 𝟖𝟎\n(1)\n𝟐𝒂𝒃+ 𝟐𝒃𝒄+ 𝟐𝒄𝒂= 𝟐𝟓𝟔\n(2)\nz niewiadomymi 𝒂 oraz 𝒃 ma rozwiązanie, które jest parą liczb rzeczywistych nie\nmniejszych od 𝟒 wtedy i tylko wtedy, gdy 𝒄∈[𝟒, 28\n3 ].\n50\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych;\n3.\nTworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu.\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n3.\n[…] tworzenie ciągu argumentów, gwarantujących poprawność rozwiązania […].\nWymaganie szczegółowe\nIIII. Równania i nierówności. Zdający:\n5R) analizuje […] równania i nierówności kwadratowe z parametrami […], podaje\nwarunki, przy których rozwiązania mają żądaną własność […].\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n51\nZasady oceniania\n4 pkt - powołanie się na odpowiednie własności funkcji 𝑓 prowadzące do wniosku, że układ\n(1)-(2) ma rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych nie mniejszych od 4.\n3 pkt - przyjęcie założenia 𝑐∈[4, 28\n3 ] i zbudowanie funkcji\n𝑓(𝑎) = 𝑎2 + (𝑐-20)𝑎+ (𝑐2 -20𝑐+ 128) dla podanego zakresu parametru 𝑐.\n2 pkt - obliczenie wyróżnika równania i podanie argumentacji prowadzącej do wniosku\n𝑐∈[4, 28\n3 ].\n1 pkt - przyjęcie założenia, że układ (1)-(2) ma rozwiązanie i zapisanie prawidłowego\nrównania kwadratowego z niewiadomą 𝑎 (lub 𝑏) i parametrem 𝑐.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZałóżmy, że układ równań (1)-(2) ma rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych nie\nmniejszych od 4. Wtedy\n{𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 20\n𝑎𝑏+ 𝑏𝑐+ 𝑐𝑎= 128\n(3)\nPrzekształcamy układ równań do postaci, w której otrzymamy równanie kwadratowe\nz niewiadomą 𝑎 i parametrem 𝑐:\n{𝑏= 20 -𝑎-𝑐\n𝑎(20 -𝑎-𝑐) + (20 -𝑎-𝑐)𝑐+ 𝑐𝑎= 128\n{𝑏= 20 -𝑎-𝑐\n-𝑎2 + (-𝑐+ 20)𝑎+ (-𝑐2 + 20𝑐-128) = 0\n{𝑏= 20 -𝑎-𝑐\n𝑎2 + (𝑐-20)𝑎+ (𝑐2 -20𝑐+ 128) = 0\nRównanie 𝑎2 + (𝑐-20)𝑎+ (𝑐2 -20𝑐+ 128) = 0 ma z założenia rozwiązanie, więc\nwyróżnik Δ𝑎 jest nieujemny, co prowadzi do:\nΔ𝑎≥0\n(𝑐-20)2 -4(𝑐2 -20𝑐+ 128) ≥0\n-3𝑐2 + 40𝑐-112 ≥0\n-3(𝑐-4) (𝑐-28\n3 ) ≥0\n𝑐∈[4, 28\n3 ]\n52\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nJeśli 𝑐∈[4, 28\n3 ], to funkcja 𝑓(𝑎) = 𝑎2 + (𝑐-20)𝑎+ (𝑐2 -20𝑐+ 128) ma co najmniej\njedno miejsce zerowe (gdyż Δ𝑎≥0).\nWykresem funkcji 𝑓 jest parabola, której wierzchołek 𝑊= (𝑝, 𝑞) ma rzędną niedodatnią\n𝑞= -Δ\n4.\nOdcięta 𝑝= -𝑐-20\n2\n∈[16\n3 , 8], a ponadto 𝑓(4) = 𝑐2 -16𝑐+ 64 = (𝑐-8)2 ≥0.\nZatem 𝑓 ma miejsce zerowe w zbiorze [4, +∞).\nPodobnie argumentujemy, że funkcja 𝑔(𝑏) = 𝑏2 + (𝑐-20)𝑏+ (𝑐2 -20𝑐+ 128) ma\nmiejsce zerowe w przedziale [4, +∞).\nZatem układ (1)-(2) ma rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych nie mniejszych od 4.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad-18.1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":49,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"<p>Zadanie 18.1. (0-4)<br>Wykaż, że układ równań<br>𝟒𝒂+ 𝟒𝒃+ 𝟒𝒄= 𝟖𝟎<br>(1)<br>𝟐𝒂𝒃+ 𝟐𝒃𝒄+ 𝟐𝒄𝒂= 𝟐𝟓𝟔<br>(2)<br>z niewiadomymi 𝒂 oraz 𝒃 ma rozwiązanie, które jest parą liczb rzeczywistych nie<br>mniejszych od 𝟒 wtedy i tylko wtedy, gdy 𝒄∈[𝟒, 28<br>3 ].<br>50<br>Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023<br>Wymagania ogólne<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.<br>1.<br>Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych;<br>3.<br>Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących,<br>w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu.<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.<br>3.<br>[…] tworzenie ciągu argumentów, gwarantujących poprawność rozwiązania […].<br>Wymaganie szczegółowe<br>IIII. Równania i nierówności. Zdający:<br>5R) analizuje […] równania i nierówności kwadratowe z parametrami […], podaje<br>warunki, przy których rozwiązania mają żądaną własność […].<br>Przykładowe zadania z rozwiązaniami<br>51<br>Zasady oceniania<br>4 pkt - powołanie się na odpowiednie własności funkcji 𝑓 prowadzące do wniosku, że układ<br>(1)-(2) ma rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych nie mniejszych od 4.<br>3 pkt - przyjęcie założenia 𝑐∈[4, 28<br>3 ] i zbudowanie funkcji<br>𝑓(𝑎) = 𝑎2 + (𝑐-20)𝑎+ (𝑐2 -20𝑐+ 128) dla podanego zakresu parametru 𝑐.<br>2 pkt - obliczenie wyróżnika równania i podanie argumentacji prowadzącej do wniosku<br>𝑐∈[4, 28<br>3 ].<br>1 pkt - przyjęcie założenia, że układ (1)-(2) ma rozwiązanie i zapisanie prawidłowego<br>równania kwadratowego z niewiadomą 𝑎 (lub 𝑏) i parametrem 𝑐.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Załóżmy, że układ równań (1)-(2) ma rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych nie<br>mniejszych od 4. Wtedy<br>{𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 20<br>𝑎𝑏+ 𝑏𝑐+ 𝑐𝑎= 128<br>(3)<br>Przekształcamy układ równań do postaci, w której otrzymamy równanie kwadratowe<br>z niewiadomą 𝑎 i parametrem 𝑐:<br>{𝑏= 20 -𝑎-𝑐<br>𝑎(20 -𝑎-𝑐) + (20 -𝑎-𝑐)𝑐+ 𝑐𝑎= 128<br>{𝑏= 20 -𝑎-𝑐<br>-𝑎2 + (-𝑐+ 20)𝑎+ (-𝑐2 + 20𝑐-128) = 0<br>{𝑏= 20 -𝑎-𝑐<br>𝑎2 + (𝑐-20)𝑎+ (𝑐2 -20𝑐+ 128) = 0<br>Równanie 𝑎2 + (𝑐-20)𝑎+ (𝑐2 -20𝑐+ 128) = 0 ma z założenia rozwiązanie, więc<br>wyróżnik Δ𝑎 jest nieujemny, co prowadzi do:<br>Δ𝑎≥0<br>(𝑐-20)2 -4(𝑐2 -20𝑐+ 128) ≥0<br>-3𝑐2 + 40𝑐-112 ≥0<br>-3(𝑐-4) (𝑐-28<br>3 ) ≥0<br>𝑐∈[4, 28<br>3 ]<br>52<br>Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023<br>Jeśli 𝑐∈[4, 28<br>3 ], to funkcja 𝑓(𝑎) = 𝑎2 + (𝑐-20)𝑎+ (𝑐2 -20𝑐+ 128) ma co najmniej<br>jedno miejsce zerowe (gdyż Δ𝑎≥0).<br>Wykresem funkcji 𝑓 jest parabola, której wierzchołek 𝑊= (𝑝, 𝑞) ma rzędną niedodatnią<br>𝑞= -Δ<br>4.<br>Odcięta 𝑝= -𝑐-20<br>2<br>∈[16<br>3 , 8], a ponadto 𝑓(4) = 𝑐2 -16𝑐+ 64 = (𝑐-8)2 ≥0.<br>Zatem 𝑓 ma miejsce zerowe w zbiorze [4, +∞).<br>Podobnie argumentujemy, że funkcja 𝑔(𝑏) = 𝑏2 + (𝑐-20)𝑏+ (𝑐2 -20𝑐+ 128) ma<br>miejsce zerowe w przedziale [4, +∞).<br>Zatem układ (1)-(2) ma rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych nie mniejszych od 4.</p>","solutions":[]}