{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad/18.2","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony","number":"18.2","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 18.2. (0-3)\nObjętość każdego z rozpatrywanych prostopadłościanów można wyrazić za pomocą funkcji\n𝑉(𝑐) = 𝑐3 -20𝑐2 + 128𝑐\ngdzie 𝑐∈[4, 28\n3 ] jest długością jednej z krawędzi bryły.\nSpośród rozpatrywanych prostopadłościanów oblicz objętość tego prostopadłościanu,\nktórego objętość jest najmniejsza.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n53\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymaganie szczegółowe\nXIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy. Zdający:\n6R) rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.\nZasady oceniania\n3 pkt - obliczenie\nnajmniejszej\nmożliwej\nobjętości\nprostopadłościanu\no\npodanych\nwłasnościach.\n2 pkt - obliczenie argumentu, dla którego funkcja 𝑉 osiąga minimum globalne.\n1 pkt - obliczenie pochodnej funkcji 𝑉.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nW celu znalezienia prostopadłościanu, którego objętość jest najmniejsza, należy zbadać\nfunkcję 𝑉(𝑐).\nObliczamy pochodną funkcji 𝑉 i obliczamy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑉:\n𝑉′(𝑐) = 3𝑐2 -40𝑐+ 128\n𝑉′(𝑐) = 0\n3𝑐2 -40𝑐+ 128 = 0\n54\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nΔ = 64\n𝑐= 8 lub 𝑐= 16\n3\nZbadamy monotoniczność funkcji 𝑉. Ponieważ\n𝑉′(𝑐) > 0 dla 𝑐∈[4, 16\n3 ) ∪(8, 28\n3 ]\n𝑉′(𝑐) < 0 dla 𝑐∈(16\n3 , 8)\nwięc\nfunkcja 𝑉 jest rosnąca w przedziałach [4, 16\n3 ] oraz [8, 28\n3 ]\nfunkcja 𝑉 jest malejąca w przedziale [16\n3 , 8].\nPonieważ 𝑉(4) = 256, 𝑉(8) = 256 oraz 𝑉(28\n3 ) ≈265, więc najmniejsza możliwa\nobjętość prostopadłościanu jest równa 256.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad-18.2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":52,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"<p>Zadanie 18.2. (0-3)<br>Objętość każdego z rozpatrywanych prostopadłościanów można wyrazić za pomocą funkcji<br>𝑉(𝑐) = 𝑐3 -20𝑐2 + 128𝑐<br>gdzie 𝑐∈[4, 28<br>3 ] jest długością jednej z krawędzi bryły.<br>Spośród rozpatrywanych prostopadłościanów oblicz objętość tego prostopadłościanu,<br>którego objętość jest najmniejsza.<br>Przykładowe zadania z rozwiązaniami<br>53<br>Wymaganie ogólne<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.<br>1.<br>Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Wymaganie szczegółowe<br>XIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy. Zdający:<br>6R) rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.<br>Zasady oceniania<br>3 pkt - obliczenie<br>najmniejszej<br>możliwej<br>objętości<br>prostopadłościanu<br>o<br>podanych<br>własnościach.<br>2 pkt - obliczenie argumentu, dla którego funkcja 𝑉 osiąga minimum globalne.<br>1 pkt - obliczenie pochodnej funkcji 𝑉.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>W celu znalezienia prostopadłościanu, którego objętość jest najmniejsza, należy zbadać<br>funkcję 𝑉(𝑐).<br>Obliczamy pochodną funkcji 𝑉 i obliczamy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑉:<br>𝑉′(𝑐) = 3𝑐2 -40𝑐+ 128<br>𝑉′(𝑐) = 0<br>3𝑐2 -40𝑐+ 128 = 0<br>54<br>Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023<br>Δ = 64<br>𝑐= 8 lub 𝑐= 16<br>3<br>Zbadamy monotoniczność funkcji 𝑉. Ponieważ<br>𝑉′(𝑐) &gt; 0 dla 𝑐∈[4, 16<br>3 ) ∪(8, 28<br>3 ]<br>𝑉′(𝑐) &lt; 0 dla 𝑐∈(16<br>3 , 8)<br>więc<br>funkcja 𝑉 jest rosnąca w przedziałach [4, 16<br>3 ] oraz [8, 28<br>3 ]<br>funkcja 𝑉 jest malejąca w przedziale [16<br>3 , 8].<br>Ponieważ 𝑉(4) = 256, 𝑉(8) = 256 oraz 𝑉(28<br>3 ) ≈265, więc najmniejsza możliwa<br>objętość prostopadłościanu jest równa 256.</p>","solutions":[]}