{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad/19","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony","number":"19","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 19. (0-4)\nNa rysunku obok przedstawiono położenie miejscowości\n𝐴, 𝐵 i 𝐶 oraz zaznaczono odległości między nimi.\nO godzinie 9:00 z miejscowości 𝐴 do 𝐶 wyruszył zastęp\nharcerzy\n„Tropiciele”\ni\nprzemieszczał\nsię\nz prędkością 4 km/h. O tej samej godzinie z miejscowości\n𝐵 do 𝐴 wyruszył zastęp harcerzy „Korsarze”\ni przemieszczał się z prędkością 2 km/h.\nWyznacz godzinę, o której odległość między tymi zastępami harcerzy będzie\nnajmniejsza.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n15 km\n20 km\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n55\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n2.\nDobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów\npraktycznych i teoretycznych.\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4)\nStosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań […].\nWymagania szczegółowe\nXIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy. Zdający:\n4)\noblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza\npochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu\ni funkcji złożonej;\n6R) rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.\nZasady oceniania\ndla rozwiązania sposobem 1.\n4 pkt - prawidłowa metoda wyznaczenia chwili, w której odległość między zastępami będzie\nnajmniejsza i prawidłowa odpowiedź.\n3 pkt - uzasadnienie, że odległość 𝑑 jest najmniejsza wtedy, gdy wyrażenie\npodpierwiastkowe 20𝑡2 -60𝑡+ 225 jest możliwie najmniejsze oraz podanie zakresu\nzmienności 𝑡.\n2 pkt - wyrażenie odległości 𝑑 między zastępami za pomocą czasu 𝑡, jaki upłynął od\nmomentu wyruszenia zastępów.\n56\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\n1 pkt - wyrażenie odległości poszczególnych zastępów od miejscowości 𝐴 za pomocą czasu,\njaki upłynął od momentu wyruszenia zastępów.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\ndla rozwiązania sposobem 2.\n4 pkt - uzasadnienie (np. poprzez zbadanie monotoniczności), że dla 𝑡= 1,5 funkcja 𝑑(𝑡)\nosiąga minimum globalne i podanie prawidłowej odpowiedzi.\n3 pkt - podanie dziedziny funkcji 𝑑(𝑡), obliczenie pochodnej funkcji 𝑑(𝑡) i znalezienie\npunktów krytycznych.\n2 pkt - wyrażenie odległości 𝑑 między zastępami za pomocą czasu 𝑡, jaki upłynął od\nmomentu wyruszenia zastępów.\n1 pkt - wyrażenie odległości poszczególnych zastępów od miejscowości 𝐴 za pomocą czasu,\njaki upłynął od momentu wyruszenia zastępów.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nNiech 𝑑1 będzie odległością (w km) zastępu „Tropiciele” od miejscowości 𝐴.\nWyznaczamy zależność 𝑑1 od czasu 𝑡 (w godzinach), jaki upłynął od chwili wyruszenia\nzastępu z miejscowości 𝐴:\n𝑑1(𝑡) = 4𝑡\ndla 𝑡∈[0, 5].\nNiech 𝑑2 będzie odległością (w km) zastępu „Korsarze” od miejscowości 𝐴.\nWyznaczamy zależność 𝑑2 od czasu 𝑡 (w godzinach), jaki upłynął od chwili wyruszenia\nzastępu z miejscowości B:\n𝑑2(𝑡) = 15 -2𝑡\ndla 𝑡∈[0, 15\n2 ].\nOdległość 𝑑 między zastępami w chwili 𝑡 jest równa\n𝑑(𝑡) = √𝑑1\n2(𝑡) + 𝑑2\n2(𝑡) = √16𝑡2 + (15 -2𝑡)2 dla 𝑡∈[0, 15\n2 ].\nBadamy, dla jakiego argumentu 𝑡∈[0, 15\n2 ] funkcja 𝑑 osiąga wartość najmniejszą.\nPonieważ funkcja 𝑔(𝑥) = √𝑥 jest funkcją rosnącą w przedziale [0, +∞), więc funkcja 𝑑\nosiąga wartość najmniejszą wtedy, gdy funkcja\n𝑓(𝑡) = 16𝑡2 + (15 -2𝑡)2 = 20𝑡2 -60𝑡+ 225 określona dla 𝑡∈[0, 15\n2 ]\nosiąga wartość najmniejszą.\nFunkcja 𝑓 jest funkcją kwadratową, która osiąga wartość najmniejszą dla\n𝑡= 60\n2⋅20 = 1,5 ∈[0, 15\n2 ].\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n57\nZatem funkcja 𝑑 osiąga wartość najmniejszą dla argumentu 𝑡= 1,5.\nOdległość między zastępami harcerzy będzie najmniejsza o godzinie 10:30.\nSposób 2.\nNiech 𝑑1 będzie odległością (w km) zastępu „Tropiciele” od miejscowości 𝐴.\nWyznaczamy zależność 𝑑1 od czasu 𝑡 (w godzinach), jaki upłynął od chwili wyruszenia\nzastępu z miejscowości 𝐴:\n𝑑1(𝑡) = 4𝑡\ndla 𝑡∈[0, 5].\nNiech 𝑑2 będzie odległością (w km) zastępu „Korsarze” od miejscowości 𝐴.\nWyznaczamy zależność 𝑑2 od czasu 𝑡 (w godzinach), jaki upłynął od chwili wyruszenia\nzastępu z miejscowości 𝐵:\n𝑑2(𝑡) = 15 -2𝑡\ndla 𝑡∈[0, 15\n2 ].\nOdległość 𝑑 między zastępami w chwili 𝑡 wynosi\n𝑑(𝑡) = √𝑑1\n2(𝑡) + 𝑑2\n2(𝑡) = √16𝑡2 + (15 -2𝑡)2 dla 𝑡∈[0, 15\n2 ].\nBadamy, dla jakiego argumentu 𝑡∈[0, 15\n2 ] funkcja 𝑑 osiąga wartość najmniejszą.\nObliczamy pochodną funkcji 𝑑:\n𝑑′(𝑡) = (√16𝑡2 + (15 -2𝑡)2)\n′\n⋅[16𝑡2 + (15 -2𝑡)2]′ =\n1\n2√16𝑡2 + (15 -2𝑡)2 ⋅[32𝑡+ 2 ⋅(15 -2𝑡) ⋅(-2)] =\n20𝑡-30\n√16𝑡2 + (15 -2𝑡)2\ndla 𝑡∈[0, 15\n2 ].\nWyznaczamy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑑:\n20𝑡-30\n√16𝑡2 + (15 -2𝑡)2 = 0\n𝑡= 3\n2 ∈[0, 15\n2 ]\nSprawdzamy, czy w punkcie 𝑡= 3\n2 funkcja 𝑑 osiąga ekstremum.\nBadamy monotoniczność funkcji 𝑑. Ponieważ\n𝑑′(𝑡) > 0 dla 𝑡∈(3\n2 , 15\n2 ]\n58\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\n𝑑′(𝑡) < 0 dla 𝑡∈[0, 3\n2)\nwięc\nfunkcja 𝑑 jest rosnąca w przedziale [3\n2 , 15\n2 ]\nfunkcja 𝑑 jest malejąca w przedziale [0, 3\n2],\nco oznacza, że w punkcie 𝑡= 1,5 funkcja 𝑑 osiąga wartość najmniejszą.\nOdległość między zastępami harcerzy będzie najmniejsza o godzinie 10:30.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":54,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 19. (0-4)
Na rysunku obok przedstawiono położenie miejscowości
𝐴, 𝐵 i 𝐶 oraz zaznaczono odległości między nimi.
O godzinie 9:00 z miejscowości 𝐴 do 𝐶 wyruszył zastęp
harcerzy
„Tropiciele”
i
przemieszczał
się
z prędkością 4 km/h. O tej samej godzinie z miejscowości
𝐵 do 𝐴 wyruszył zastęp harcerzy „Korsarze”
i przemieszczał się z prędkością 2 km/h.
Wyznacz godzinę, o której odległość między tymi zastępami harcerzy będzie
najmniejsza.
𝐴
𝐵
𝐶
15 km
20 km
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
55
Wymagania ogólne
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
2.
Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów
praktycznych i teoretycznych.
IV. Rozumowanie i argumentacja.
4)
Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań […].
Wymagania szczegółowe
XIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy. Zdający:
4)
oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza
pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu
i funkcji złożonej;
6R) rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.
Zasady oceniania
dla rozwiązania sposobem 1.
4 pkt - prawidłowa metoda wyznaczenia chwili, w której odległość między zastępami będzie
najmniejsza i prawidłowa odpowiedź.
3 pkt - uzasadnienie, że odległość 𝑑 jest najmniejsza wtedy, gdy wyrażenie
podpierwiastkowe 20𝑡2 -60𝑡+ 225 jest możliwie najmniejsze oraz podanie zakresu
zmienności 𝑡.
2 pkt - wyrażenie odległości 𝑑 między zastępami za pomocą czasu 𝑡, jaki upłynął od
momentu wyruszenia zastępów.
56
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023
1 pkt - wyrażenie odległości poszczególnych zastępów od miejscowości 𝐴 za pomocą czasu,
jaki upłynął od momentu wyruszenia zastępów.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
dla rozwiązania sposobem 2.
4 pkt - uzasadnienie (np. poprzez zbadanie monotoniczności), że dla 𝑡= 1,5 funkcja 𝑑(𝑡)
osiąga minimum globalne i podanie prawidłowej odpowiedzi.
3 pkt - podanie dziedziny funkcji 𝑑(𝑡), obliczenie pochodnej funkcji 𝑑(𝑡) i znalezienie
punktów krytycznych.
2 pkt - wyrażenie odległości 𝑑 między zastępami za pomocą czasu 𝑡, jaki upłynął od
momentu wyruszenia zastępów.
1 pkt - wyrażenie odległości poszczególnych zastępów od miejscowości 𝐴 za pomocą czasu,
jaki upłynął od momentu wyruszenia zastępów.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
Niech 𝑑1 będzie odległością (w km) zastępu „Tropiciele” od miejscowości 𝐴.
Wyznaczamy zależność 𝑑1 od czasu 𝑡 (w godzinach), jaki upłynął od chwili wyruszenia
zastępu z miejscowości 𝐴:
𝑑1(𝑡) = 4𝑡
dla 𝑡∈[0, 5].
Niech 𝑑2 będzie odległością (w km) zastępu „Korsarze” od miejscowości 𝐴.
Wyznaczamy zależność 𝑑2 od czasu 𝑡 (w godzinach), jaki upłynął od chwili wyruszenia
zastępu z miejscowości B:
𝑑2(𝑡) = 15 -2𝑡
dla 𝑡∈[0, 15
2 ].
Odległość 𝑑 między zastępami w chwili 𝑡 jest równa
𝑑(𝑡) = √𝑑1
2(𝑡) + 𝑑2
2(𝑡) = √16𝑡2 + (15 -2𝑡)2 dla 𝑡∈[0, 15
2 ].
Badamy, dla jakiego argumentu 𝑡∈[0, 15
2 ] funkcja 𝑑 osiąga wartość najmniejszą.
Ponieważ funkcja 𝑔(𝑥) = √𝑥 jest funkcją rosnącą w przedziale [0, +∞), więc funkcja 𝑑
osiąga wartość najmniejszą wtedy, gdy funkcja
𝑓(𝑡) = 16𝑡2 + (15 -2𝑡)2 = 20𝑡2 -60𝑡+ 225 określona dla 𝑡∈[0, 15
2 ]
osiąga wartość najmniejszą.
Funkcja 𝑓 jest funkcją kwadratową, która osiąga wartość najmniejszą dla
𝑡= 60
2⋅20 = 1,5 ∈[0, 15
2 ].
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
57
Zatem funkcja 𝑑 osiąga wartość najmniejszą dla argumentu 𝑡= 1,5.
Odległość między zastępami harcerzy będzie najmniejsza o godzinie 10:30.
Sposób 2.
Niech 𝑑1 będzie odległością (w km) zastępu „Tropiciele” od miejscowości 𝐴.
Wyznaczamy zależność 𝑑1 od czasu 𝑡 (w godzinach), jaki upłynął od chwili wyruszenia
zastępu z miejscowości 𝐴:
𝑑1(𝑡) = 4𝑡
dla 𝑡∈[0, 5].
Niech 𝑑2 będzie odległością (w km) zastępu „Korsarze” od miejscowości 𝐴.
Wyznaczamy zależność 𝑑2 od czasu 𝑡 (w godzinach), jaki upłynął od chwili wyruszenia
zastępu z miejscowości 𝐵:
𝑑2(𝑡) = 15 -2𝑡
dla 𝑡∈[0, 15
2 ].
Odległość 𝑑 między zastępami w chwili 𝑡 wynosi
𝑑(𝑡) = √𝑑1
2(𝑡) + 𝑑2
2(𝑡) = √16𝑡2 + (15 -2𝑡)2 dla 𝑡∈[0, 15
2 ].
Badamy, dla jakiego argumentu 𝑡∈[0, 15
2 ] funkcja 𝑑 osiąga wartość najmniejszą.
Obliczamy pochodną funkcji 𝑑:
𝑑′(𝑡) = (√16𝑡2 + (15 -2𝑡)2)
′
⋅[16𝑡2 + (15 -2𝑡)2]′ =
1
2√16𝑡2 + (15 -2𝑡)2 ⋅[32𝑡+ 2 ⋅(15 -2𝑡) ⋅(-2)] =
20𝑡-30
√16𝑡2 + (15 -2𝑡)2
dla 𝑡∈[0, 15
2 ].
Wyznaczamy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑑:
20𝑡-30
√16𝑡2 + (15 -2𝑡)2 = 0
𝑡= 3
2 ∈[0, 15
2 ]
Sprawdzamy, czy w punkcie 𝑡= 3
2 funkcja 𝑑 osiąga ekstremum.
Badamy monotoniczność funkcji 𝑑. Ponieważ
𝑑′(𝑡) > 0 dla 𝑡∈(3
2 , 15
2 ]
58
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023
𝑑′(𝑡) < 0 dla 𝑡∈[0, 3
2)
więc
funkcja 𝑑 jest rosnąca w przedziale [3
2 , 15
2 ]
funkcja 𝑑 jest malejąca w przedziale [0, 3
2],
co oznacza, że w punkcie 𝑡= 1,5 funkcja 𝑑 osiąga wartość najmniejszą.
Odległość między zastępami harcerzy będzie najmniejsza o godzinie 10:30.

","solutions":[]}