{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad/21","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony","number":"21","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 21. (0-5)\nW ostrosłupie prawidłowym czworokątnym 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 punkt 𝑂 jest środkiem symetrii podstawy\nostrosłupa. Stosunek obwodu podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷 do sumy długości wszystkich krawędzi\nostrosłupa jest równy 1: 5. Przez przekątną 𝐴𝐶 podstawy i środek 𝑆 krawędzi bocznej 𝐵𝐸\npoprowadzono płaszczyznę.\nOblicz stosunek pola otrzymanego przekroju do pola podstawy ostrosłupa oraz miarę\nkąta 𝑩𝑺𝑶 (w zaokrągleniu do 𝟏°).\n62\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nWymagania ogólne\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1.\nInterpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno\nmatematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów,\ntabel.\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4.\nStosowanie i tworzenie strategii przy rozwiazywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nWymaganie szczegółowe\nX. Stereometria. Zdający:\n2R) wyznacza przekroje sześcianu i ostrosłupów prawidłowych oraz oblicza ich pola,\ntakże z wykorzystanie trygonometrii.\nZasady oceniania\ndla rozwiązań sposobami 1. oraz 2.\n5 pkt - wyznaczenie miary kąta 𝐵𝑆𝑂 oraz obliczenie stosunku pola przekroju do pola\npodstawy ostrosłupa.\n4 pkt - obliczenie wartości cosinusa kąta 𝐵𝑆𝑂 oraz stosunku pola przekroju do pola podstawy\nostrosłupa\nLUB\nwyznaczenie miary kąta 𝐵𝑆𝑂.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n63\n3 pkt - obliczenie stosunku pola przekroju do pola podstawy ostrosłupa\nLUB\nobliczenie wartości cosinusa kąta 𝐵𝑆𝑂.\n2 pkt - wyznaczenie długości odcinka 𝑂𝑆 w zależności od długości krawędzi podstawy.\n1 pkt - wyznaczenie długości krawędzi bocznej w zależności od długości krawędzi podstawy.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\ndla rozwiązania sposobem 3.\n5 pkt - wyznaczenie miary kąta 𝐵𝑆𝑂 oraz obliczenie stosunku pola przekroju do pola\npodstawy ostrosłupa.\n4 pkt - obliczenie cosinusa kąta 𝑂𝐸𝐵 lub 𝐹𝐵𝑆.\n3 pkt - obliczenie stosunku pola przekroju do pola podstawy ostrosłupa.\n2 pkt - wyznaczenie długości odcinków 𝑆𝐹 i 𝑂𝐹.\n1 pkt - wyznaczenie długości krawędzi bocznej w zależności od długości krawędzi podstawy.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku 1.\nWyznaczamy zależność 𝑏 od 𝑎.\nZ treści zadania mamy\n4𝑎\n4𝑎+4𝑏=\n1\n5 , co daje 𝑏= 4𝑎.\nRysunek 1.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝑆\n𝑂\nα\n𝑎\n𝑏\n64\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nWyznaczamy zależność |𝑂𝑆| od 𝑎.\nTrójkąt 𝑂𝐵𝐸 jest prostokątny, punkt 𝑆 jest środkiem\nprzeciwprostokątnej,\nwięc 𝑆 jest\nśrodkiem\nokręgu\nopisanego na trójkącie 𝑂𝐵𝐸 (patrz rysunek 2.).\nZatem |𝑂𝑆| = 2𝑎.\nObliczamy stosunek pola przekroju 𝐴𝐶𝑆 do pola podstawy\nostrosłupa:\n𝑃𝐴𝐶𝑆\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷\n1\n2 ⋅𝑎√2 ⋅|OS|\n𝑎2\n1\n2 ⋅𝑎√2 ⋅2𝑎\n𝑎2\n= √2\nDo trójkąta 𝐵𝑆𝑂 zastosujemy twierdzenie cosinusów w celu obliczenia cosinusa kąta 𝐵𝑆𝑂:\n(𝑎√2\n2 )\n2\n= (2𝑎)2 + (2𝑎)2 -2 ⋅2𝑎⋅2𝑎⋅cos 𝛼\nZ ostatniego równania otrzymujemy cos 𝛼= 15\n16 , więc 𝛼≈20°.\nSposób 2.\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku 1.\nWyznaczamy zależność 𝑏 od 𝑎.\nZ treści zadania mamy\n4𝑎\n4𝑎+4𝑏=\n1\n5 , co daje 𝑏= 4𝑎.\nDla trójkąta 𝐵𝐸𝐶 zastosujemy twierdzenie cosinusów w celu obliczenia cosinusa kąta 𝐵𝐸𝐶:\n𝑎2 = 𝑏2 + 𝑏2 -2 ⋅𝑏⋅𝑏⋅cos |∡𝐵𝐸𝐶|\n𝑎2 = 16𝑎2 + 16𝑎2 -2 ⋅4𝑎⋅4𝑎⋅cos |∡𝐵𝐸𝐶|\ncos |∡𝐵𝐸𝐶| = 31\n32\nKorzystamy z twierdzenia cosinusów zastosowanego do trójkąta 𝐶𝑆𝐸 i wyznaczamy długość\nodcinka 𝑆𝐶:\n|𝑆𝐶|2 = 𝑏2 + (1\n2 𝑏)\n2\n-2 ⋅1\n2 𝑏⋅𝑏⋅cos |∡𝐵𝐸𝐶|\n𝑂\n𝐵\n𝐸\n𝑆\nα\n2𝑎\n2𝑎\nRysunek 2.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n65\n|𝑆𝐶|2 = 16𝑎2 + 4𝑎2 -16𝑎2 ⋅31\n32\n|𝑆𝐶|2 = 9\n2 𝑎2\n|𝑆𝐶| = 3𝑎\n√2\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝑂𝐶𝑆 w celu wyznaczenia długości odcinka 𝑂𝑆:\n|𝑂𝑆|2 = |𝑆𝐶|2 -(√2𝑎\n2 )\n2\n|𝑂𝑆|2 = 9\n2 𝑎2 -1\n2 𝑎2\n|𝑂𝑆| = 2𝑎\nObliczamy stosunek pola przekroju 𝐴𝐶𝑆 do pola podstawy ostrosłupa:\n𝑃𝐴𝐶𝑆\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷\n1\n2 ⋅𝑎√2 ⋅|𝑂𝑆|\n𝑎2\n1\n2 ⋅𝑎√2 ⋅2𝑎\n𝑎2\n= √2\nW celu obliczenia cosinusa kąta 𝐵𝑆𝑂 zastosujemy do trójkąta 𝐵𝑆𝑂 (patrz rysunek 2.)\ntwierdzenie cosinusów:\n(𝑎√2\n2 )\n2\n= (2𝑎)2 + (2𝑎)2 -2 ⋅2𝑎⋅2𝑎⋅cos 𝛼\nZ ostatniego równania otrzymujemy cos 𝛼= 15\n16 , więc 𝛼≈20°.\nSposób 3.\nWyznaczamy zależność 𝑏 od 𝑎.\nZ treści zadania mamy\n4𝑎\n4𝑎+4𝑏=\n1\n5 , co daje 𝑏= 4𝑎.\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego 𝐵𝑂𝐸 i obliczamy długość\nodcinka 𝑂𝐸:\n|𝑂𝐸|2 = |𝐵𝐸|2 -|𝑂𝐵|2\n|𝑂𝐸|2 = 62\n4 𝑎2\n66\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\n|𝑂𝐸| = √62\n2 𝑎\nOznaczmy przez 𝐹 rzut prostokątny punktu 𝑆 na odcinek 𝑂𝐵.\nPonieważ |∡𝑂𝐸𝐵| = |∡𝐹𝑆𝐵|, |∡𝑂𝐵𝐸| = |∡𝐹𝐵𝑆| i trójkąty 𝐵𝑂𝐸 oraz 𝐵𝐹𝑆 są prostokątne,\nwięc są podobne (na mocy cechy kkk podobieństwa trójkątów). Trójkąty 𝐵𝑂𝐸 i 𝐵𝐹𝑆 są\npodobne w skali 𝑘=\n|𝐵𝐸|\n|𝐵𝑆| = 4𝑎\n2𝑎= 2. Zatem 𝐹 jest środkiem odcinka 𝑂𝐵, więc\n|𝑂𝐹| = 1\n2 |𝑂𝐵| = 𝑎√2\n4 oraz |𝑆𝐹| = 1\n2 |𝑂𝐸| = √62\n4 𝑎\nObliczamy długość odcinka 𝑂𝑆:\n|𝑂𝑆|2 = |𝑂𝐹|2 + |𝑆𝐹|2\n|𝑂𝑆|2 = (𝑎√2\n4 )\n2\n+ (√62\n4 𝑎)\n2\n|𝑂𝑆| = 2𝑎\nObliczamy stosunek pola przekroju 𝐴𝐶𝑆 do pola podstawy ostrosłupa:\n𝑃𝐴𝐶𝑆\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷\n1\n2 ⋅𝑎√2 ⋅|𝑂𝑆|\n𝑎2\n1\n2 ⋅𝑎√2 ⋅2𝑎\n𝑎2\n= √2\nPonieważ\ncos|∡𝐹𝑆𝐵| =\n|𝐹𝑆|\n|𝐵𝑆| =\n√62\n4 𝑎\n2𝑎\n= √62\n8\ni trójkąt 𝑂𝑆𝐵 jest równoramienny, więc 𝛼= 2 ⋅|∡𝐹𝑆𝐵|. Zatem\ncos 𝛼= cos(2 ⋅|∡𝐹𝑆𝐵|) = 2 cos2|∡𝐹𝑆𝐵| -1 = 2 ⋅(√62\n8 )\n2\n-1 = 15\n16\nskąd 𝛼≈20°.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n67","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad-21.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":61,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 21. (0-5)
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 punkt 𝑂 jest środkiem symetrii podstawy
ostrosłupa. Stosunek obwodu podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷 do sumy długości wszystkich krawędzi
ostrosłupa jest równy 1: 5. Przez przekątną 𝐴𝐶 podstawy i środek 𝑆 krawędzi bocznej 𝐵𝐸
poprowadzono płaszczyznę.
Oblicz stosunek pola otrzymanego przekroju do pola podstawy ostrosłupa oraz miarę
kąta 𝑩𝑺𝑶 (w zaokrągleniu do 𝟏°).
62
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023
Wymagania ogólne
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.
1.
Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno
matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów,
tabel.
IV. Rozumowanie i argumentacja.
4.
Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiazywaniu zadań, również w sytuacjach
nietypowych.
Wymaganie szczegółowe
X. Stereometria. Zdający:
2R) wyznacza przekroje sześcianu i ostrosłupów prawidłowych oraz oblicza ich pola,
także z wykorzystanie trygonometrii.
Zasady oceniania
dla rozwiązań sposobami 1. oraz 2.
5 pkt - wyznaczenie miary kąta 𝐵𝑆𝑂 oraz obliczenie stosunku pola przekroju do pola
podstawy ostrosłupa.
4 pkt - obliczenie wartości cosinusa kąta 𝐵𝑆𝑂 oraz stosunku pola przekroju do pola podstawy
ostrosłupa
LUB
wyznaczenie miary kąta 𝐵𝑆𝑂.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
63
3 pkt - obliczenie stosunku pola przekroju do pola podstawy ostrosłupa
LUB
obliczenie wartości cosinusa kąta 𝐵𝑆𝑂.
2 pkt - wyznaczenie długości odcinka 𝑂𝑆 w zależności od długości krawędzi podstawy.
1 pkt - wyznaczenie długości krawędzi bocznej w zależności od długości krawędzi podstawy.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
dla rozwiązania sposobem 3.
5 pkt - wyznaczenie miary kąta 𝐵𝑆𝑂 oraz obliczenie stosunku pola przekroju do pola
podstawy ostrosłupa.
4 pkt - obliczenie cosinusa kąta 𝑂𝐸𝐵 lub 𝐹𝐵𝑆.
3 pkt - obliczenie stosunku pola przekroju do pola podstawy ostrosłupa.
2 pkt - wyznaczenie długości odcinków 𝑆𝐹 i 𝑂𝐹.
1 pkt - wyznaczenie długości krawędzi bocznej w zależności od długości krawędzi podstawy.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku 1.
Wyznaczamy zależność 𝑏 od 𝑎.
Z treści zadania mamy
4𝑎
4𝑎+4𝑏=
1
5 , co daje 𝑏= 4𝑎.
Rysunek 1.
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝐸
𝑆
𝑂
α
𝑎
𝑏
64
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023
Wyznaczamy zależność |𝑂𝑆| od 𝑎.
Trójkąt 𝑂𝐵𝐸 jest prostokątny, punkt 𝑆 jest środkiem
przeciwprostokątnej,
więc 𝑆 jest
środkiem
okręgu
opisanego na trójkącie 𝑂𝐵𝐸 (patrz rysunek 2.).
Zatem |𝑂𝑆| = 2𝑎.
Obliczamy stosunek pola przekroju 𝐴𝐶𝑆 do pola podstawy
ostrosłupa:
𝑃𝐴𝐶𝑆
𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷
1
2 ⋅𝑎√2 ⋅|OS|
𝑎2
1
2 ⋅𝑎√2 ⋅2𝑎
𝑎2
= √2
Do trójkąta 𝐵𝑆𝑂 zastosujemy twierdzenie cosinusów w celu obliczenia cosinusa kąta 𝐵𝑆𝑂:
(𝑎√2
2 )
2
= (2𝑎)2 + (2𝑎)2 -2 ⋅2𝑎⋅2𝑎⋅cos 𝛼
Z ostatniego równania otrzymujemy cos 𝛼= 15
16 , więc 𝛼≈20°.
Sposób 2.
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku 1.
Wyznaczamy zależność 𝑏 od 𝑎.
Z treści zadania mamy
4𝑎
4𝑎+4𝑏=
1
5 , co daje 𝑏= 4𝑎.
Dla trójkąta 𝐵𝐸𝐶 zastosujemy twierdzenie cosinusów w celu obliczenia cosinusa kąta 𝐵𝐸𝐶:
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑏2 -2 ⋅𝑏⋅𝑏⋅cos |∡𝐵𝐸𝐶|
𝑎2 = 16𝑎2 + 16𝑎2 -2 ⋅4𝑎⋅4𝑎⋅cos |∡𝐵𝐸𝐶|
cos |∡𝐵𝐸𝐶| = 31
32
Korzystamy z twierdzenia cosinusów zastosowanego do trójkąta 𝐶𝑆𝐸 i wyznaczamy długość
odcinka 𝑆𝐶:
|𝑆𝐶|2 = 𝑏2 + (1
2 𝑏)
2
-2 ⋅1
2 𝑏⋅𝑏⋅cos |∡𝐵𝐸𝐶|
𝑂
𝐵
𝐸
𝑆
α
2𝑎
2𝑎
Rysunek 2.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
65
|𝑆𝐶|2 = 16𝑎2 + 4𝑎2 -16𝑎2 ⋅31
32
|𝑆𝐶|2 = 9
2 𝑎2
|𝑆𝐶| = 3𝑎
√2
Stosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝑂𝐶𝑆 w celu wyznaczenia długości odcinka 𝑂𝑆:
|𝑂𝑆|2 = |𝑆𝐶|2 -(√2𝑎
2 )
2
|𝑂𝑆|2 = 9
2 𝑎2 -1
2 𝑎2
|𝑂𝑆| = 2𝑎
Obliczamy stosunek pola przekroju 𝐴𝐶𝑆 do pola podstawy ostrosłupa:
𝑃𝐴𝐶𝑆
𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷
1
2 ⋅𝑎√2 ⋅|𝑂𝑆|
𝑎2
1
2 ⋅𝑎√2 ⋅2𝑎
𝑎2
= √2
W celu obliczenia cosinusa kąta 𝐵𝑆𝑂 zastosujemy do trójkąta 𝐵𝑆𝑂 (patrz rysunek 2.)
twierdzenie cosinusów:
(𝑎√2
2 )
2
= (2𝑎)2 + (2𝑎)2 -2 ⋅2𝑎⋅2𝑎⋅cos 𝛼
Z ostatniego równania otrzymujemy cos 𝛼= 15
16 , więc 𝛼≈20°.
Sposób 3.
Wyznaczamy zależność 𝑏 od 𝑎.
Z treści zadania mamy
4𝑎
4𝑎+4𝑏=
1
5 , co daje 𝑏= 4𝑎.
Stosujemy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego 𝐵𝑂𝐸 i obliczamy długość
odcinka 𝑂𝐸:
|𝑂𝐸|2 = |𝐵𝐸|2 -|𝑂𝐵|2
|𝑂𝐸|2 = 62
4 𝑎2
66
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023
|𝑂𝐸| = √62
2 𝑎
Oznaczmy przez 𝐹 rzut prostokątny punktu 𝑆 na odcinek 𝑂𝐵.
Ponieważ |∡𝑂𝐸𝐵| = |∡𝐹𝑆𝐵|, |∡𝑂𝐵𝐸| = |∡𝐹𝐵𝑆| i trójkąty 𝐵𝑂𝐸 oraz 𝐵𝐹𝑆 są prostokątne,
więc są podobne (na mocy cechy kkk podobieństwa trójkątów). Trójkąty 𝐵𝑂𝐸 i 𝐵𝐹𝑆 są
podobne w skali 𝑘=
|𝐵𝐸|
|𝐵𝑆| = 4𝑎
2𝑎= 2. Zatem 𝐹 jest środkiem odcinka 𝑂𝐵, więc
|𝑂𝐹| = 1
2 |𝑂𝐵| = 𝑎√2
4 oraz |𝑆𝐹| = 1
2 |𝑂𝐸| = √62
4 𝑎
Obliczamy długość odcinka 𝑂𝑆:
|𝑂𝑆|2 = |𝑂𝐹|2 + |𝑆𝐹|2
|𝑂𝑆|2 = (𝑎√2
4 )
2

\n\n

4 𝑎)
2
|𝑂𝑆| = 2𝑎
Obliczamy stosunek pola przekroju 𝐴𝐶𝑆 do pola podstawy ostrosłupa:
𝑃𝐴𝐶𝑆
𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷
1
2 ⋅𝑎√2 ⋅|𝑂𝑆|
𝑎2
1
2 ⋅𝑎√2 ⋅2𝑎
𝑎2
= √2
Ponieważ
cos|∡𝐹𝑆𝐵| =
|𝐹𝑆|
|𝐵𝑆| =
√62
4 𝑎
2𝑎
= √62
8
i trójkąt 𝑂𝑆𝐵 jest równoramienny, więc 𝛼= 2 ⋅|∡𝐹𝑆𝐵|. Zatem
cos 𝛼= cos(2 ⋅|∡𝐹𝑆𝐵|) = 2 cos2|∡𝐹𝑆𝐵| -1 = 2 ⋅(√62
8 )
2
-1 = 15
16
skąd 𝛼≈20°.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
67

","solutions":[]}