{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad/22","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony","number":"22","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 22. (0-5)\nProste o równaniach 2𝑥+ 𝑦-4𝑚-4 = 0 i 𝑥-3𝑦+ 5𝑚+ 5 = 0 przecinają się\nw punkcie 𝑃 o współrzędnych (𝑥𝑃, 𝑦𝑃).\nWyznacz wszystkie wartości parametru 𝒎, dla których współrzędne punktu 𝑷\nspełniają warunki:\n𝒙𝑷> 𝟎, 𝒚𝑷> 𝟎, 𝒚𝑷≥𝒙𝑷\n𝟐 oraz 𝒚𝑷< -𝟐\n𝒙𝑷+ 𝟖.\n68\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4.\nStosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nWymaganie szczegółowe\nIV. Układy równań. Zdający:\n1)\nrozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje ich\ninterpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych.\nZasady oceniania\n5 pkt - uwzględnienie wszystkich warunków zadania oraz poprawny wynik.\n4 pkt - rozwiązanie nierówności\n2(𝑚+ 1) ≥(𝑚+ 1)2 oraz 2(𝑚+ 1) < -\n2\n𝑚+ 1 + 8\n3 pkt - rozwiązanie jednej z nierówności\n2(𝑚+ 1) ≥(𝑚+ 1)2 lub 2(𝑚+ 1) < -\n2\n𝑚+ 1 + 8\n2 pkt - wyznaczenie wartości 𝑚, dla których punkt 𝑃 leży w I ćwiartce układu współrzędnych.\n1 pkt - wyznaczenie współrzędnych punktu 𝑃 w zależności od 𝑚.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPunkt 𝑃 leży na obu prostych, więc\n{2𝑥𝑃+ 𝑦𝑃-4𝑚-4 = 0\n𝑥𝑃-3𝑦𝑃+ 5𝑚+ 5 = 0\nZ powyższego układu równań wyznaczamy współrzędne punktu 𝑃:\n𝑥𝑃= 𝑚+ 1\n𝑦𝑃= 2(𝑚+ 1)\nPonieważ 𝑥𝑃> 0 i 𝑦𝑃> 0, więc\n𝑚+ 1 > 0 i 2(𝑚+ 1) > 0\nco daje 𝑚∈(-1, +∞).\nUwzględniamy warunki zadania 𝑦𝑃≥𝑥𝑃\n2 i 𝑦𝑃< -2\n𝑥𝑃+ 8 :\n2(𝑚+ 1) ≥(𝑚+ 1)2 i 2(𝑚+ 1) < -\n2\n𝑚+ 1 + 8\n-(𝑚+ 1)(𝑚-1) ≥0 i 2(𝑚+ 1)2\n𝑚+ 1\n2\n𝑚+ 1 -8(𝑚+ 1)\n𝑚+ 1\n< 0\n𝑚∈[-1, 1] i 2𝑚2 -4𝑚-4\n𝑚+ 1\n< 0\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n69\n𝑚∈[-1, 1] i 2(𝑚2 -2𝑚-2)(𝑚+ 1) < 0\n𝑚∈[-1, 1] i 2(𝑚-(1 -√3))(𝑚-(1 + √3))(𝑚+ 1) < 0\n𝑚∈[-1, 1] i 𝑚∈(-∞, -1) ∪(1 -√3, 1 + √3)\n𝑚∈(1 -√3, 1]\nPonieważ 𝑚∈(-1, +∞) i 𝑚∈(1 -√3, 1], więc ostatecznie 𝑚∈(1 -√3, 1].","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad-22.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":67,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 22. (0-5)
Proste o równaniach 2𝑥+ 𝑦-4𝑚-4 = 0 i 𝑥-3𝑦+ 5𝑚+ 5 = 0 przecinają się
w punkcie 𝑃 o współrzędnych (𝑥𝑃, 𝑦𝑃).
Wyznacz wszystkie wartości parametru 𝒎, dla których współrzędne punktu 𝑷
spełniają warunki:
𝒙𝑷> 𝟎, 𝒚𝑷> 𝟎, 𝒚𝑷≥𝒙𝑷
𝟐 oraz 𝒚𝑷< -𝟐
𝒙𝑷+ 𝟖.
68
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023
Wymaganie ogólne
IV. Rozumowanie i argumentacja.
4.
Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach
nietypowych.
Wymaganie szczegółowe
IV. Układy równań. Zdający:
1)
rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje ich
interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych.
Zasady oceniania
5 pkt - uwzględnienie wszystkich warunków zadania oraz poprawny wynik.
4 pkt - rozwiązanie nierówności
2(𝑚+ 1) ≥(𝑚+ 1)2 oraz 2(𝑚+ 1) < -
2
𝑚+ 1 + 8
3 pkt - rozwiązanie jednej z nierówności
2(𝑚+ 1) ≥(𝑚+ 1)2 lub 2(𝑚+ 1) < -
2
𝑚+ 1 + 8
2 pkt - wyznaczenie wartości 𝑚, dla których punkt 𝑃 leży w I ćwiartce układu współrzędnych.
1 pkt - wyznaczenie współrzędnych punktu 𝑃 w zależności od 𝑚.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Punkt 𝑃 leży na obu prostych, więc
{2𝑥𝑃+ 𝑦𝑃-4𝑚-4 = 0
𝑥𝑃-3𝑦𝑃+ 5𝑚+ 5 = 0
Z powyższego układu równań wyznaczamy współrzędne punktu 𝑃:
𝑥𝑃= 𝑚+ 1
𝑦𝑃= 2(𝑚+ 1)
Ponieważ 𝑥𝑃> 0 i 𝑦𝑃> 0, więc
𝑚+ 1 > 0 i 2(𝑚+ 1) > 0
co daje 𝑚∈(-1, +∞).
Uwzględniamy warunki zadania 𝑦𝑃≥𝑥𝑃
2 i 𝑦𝑃< -2
𝑥𝑃+ 8 :
2(𝑚+ 1) ≥(𝑚+ 1)2 i 2(𝑚+ 1) < -
2
𝑚+ 1 + 8
-(𝑚+ 1)(𝑚-1) ≥0 i 2(𝑚+ 1)2
𝑚+ 1
2
𝑚+ 1 -8(𝑚+ 1)
𝑚+ 1
< 0
𝑚∈[-1, 1] i 2𝑚2 -4𝑚-4
𝑚+ 1
< 0
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
69
𝑚∈[-1, 1] i 2(𝑚2 -2𝑚-2)(𝑚+ 1) < 0
𝑚∈[-1, 1] i 2(𝑚-(1 -√3))(𝑚-(1 + √3))(𝑚+ 1) < 0
𝑚∈[-1, 1] i 𝑚∈(-∞, -1) ∪(1 -√3, 1 + √3)
𝑚∈(1 -√3, 1]
Ponieważ 𝑚∈(-1, +∞) i 𝑚∈(1 -√3, 1], więc ostatecznie 𝑚∈(1 -√3, 1].

","solutions":[]}