{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad/23","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony","number":"23","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 23. (0-4)\nTrapez 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest wpisany w okrąg o równaniu 𝑥2 + 𝑦2 -38𝑥+ 22𝑦-96 = 0.\nWierzchołek 𝐴 trapezu ma obie współrzędne ujemne, a odcinek 𝐴𝐵 jest dłuższą z podstaw\ntego trapezu. Przekątna 𝐴𝐶 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest zawarta w prostej o równaniu 𝑦= 𝑥.\nOblicz sinus kąta 𝑨𝑩𝑪.\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4.\nStosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\n70\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nWymagania szczegółowe\nIX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający:\n1R) stosuje równanie okręgu w postaci ogólnej.\nVII. Trygonometria. Zdający:\n5)\nstosuje twierdzenie sinusów […].\nZasady oceniania\ndla rozwiązania sposobem 1.\n4 pkt - zastosowanie twierdzenia sinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 i obliczenie sinusa kąta 𝐴𝐵𝐶.\n3 pkt - obliczenie długości promienia okręgu oraz długości odcinka |𝐴𝐶|.\n2 pkt - obliczenie długości promienia oraz współrzędnych wierzchołków 𝐴 i 𝐶 trapezu\nLUB\nobliczenie współrzędnych wierzchołków 𝐴 i 𝐶 trapezu oraz obliczenie długości\nodcinka 𝐴𝐶.\n1 pkt - obliczenie długości promienia okręgu\nLUB\nobliczenie współrzędnych wierzchołków 𝐴 i 𝐶 trapezu.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\ndla rozwiązania sposobem 2.\n4 pkt - zastosowanie twierdzenia sinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 i obliczenie sinusa kąta 𝐴𝐵𝐶.\n3 pkt - obliczenie długości odcinka 𝐴𝐶.\n2 pkt - obliczenie odległości środka okręgu od prostej zawierającej przekątną 𝐴𝐶 trapezu.\n1 pkt - obliczenie długości promienia okręgu.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nObliczamy długość promienia 𝑅 okręgu z równania ogólnego okręgu:\n𝑅2 = (38\n2 )\n2\n+ (-22\n2 )\n2\n-(-96) = 578\n𝑅= 17√2\nObliczamy współrzędne wierzchołków 𝐴 i 𝐶 trapezu:\n{𝑥2 + 𝑦2 -38𝑥+ 22𝑦-96 = 0\n𝑦= 𝑥\n2𝑥2 -16𝑥-96 = 0\n𝑥= -4 lub 𝑥= 12\nPonieważ wierzchołek A trapezu ma obie współrzędne ujemne, więc otrzymujemy\n𝐴(-4, -4) oraz 𝐶(12, 12).\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n71\nObliczamy długość odcinka 𝐴𝐶:\n|𝐴𝐶| = √(12 + 6)2 + (12 + 6)2 = 16√2\nPo zastosowaniu twierdzenia sinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 otrzymujemy\n|𝐴𝐶|\nsin |∡𝐴𝐵𝐶| = 2𝑅\nsin |∡𝐴𝐵𝐶| = |𝐴𝐶|\n2𝑅= 16√2\n34√2\n= 8\n17\nSposób 2.\nObliczamy współrzędne środka 𝑆 okręgu i długość 𝑅 promienia okręgu:\n𝑥2 + 𝑦2 -38𝑥+ 22𝑦-96 = 0\n(𝑥-19)2 -361 + (𝑦+ 11)2 -121 -96 = 0\n(𝑥-19)2 + (𝑦+ 11)2 = (17√2)\n2\nZatem środek 𝑆 okręgu ma współrzędne 𝑆= (19, -11), a długość 𝑅 promienia okręgu\nwynosi 𝑅= 17√2.\nNiech 𝐸 będzie środkiem odcinka 𝐴𝐶. Obliczamy |𝑆𝐸| jako odległość punktu 𝑆 od prostej\n𝐴𝐶 o równaniu 𝑥-𝑦= 0:\n𝑑(𝑆, 𝐴𝐶) = |𝑆𝐸| =\n|19 + 11|\n√2\n= 15√2\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝐶𝐸𝑆 w celu obliczenia długości odcinka 𝐸𝐶\n(połowa długości przekątnej 𝐴𝐶 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷):\n|𝐸𝐶|2 = 𝑅2 -|𝑆𝐸|2\n|𝐸𝐶|2 = (17√2)\n2 -(15√2)\n2 = 128\nZatem |𝐴𝐶| = 2 ⋅|𝐸𝐶| = 16√2.\nPo zastosowaniu twierdzenia sinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 otrzymujemy\n|𝐴𝐶|\nsin |∡𝐴𝐵𝐶| = 2𝑅\nsin |∡𝐴𝐵𝐶| = |𝐴𝐶|\n2𝑅= 16√2\n34√2\n= 8\n17\n72\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad-23.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":69,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 23. (0-4)
Trapez 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest wpisany w okrąg o równaniu 𝑥2 + 𝑦2 -38𝑥+ 22𝑦-96 = 0.
Wierzchołek 𝐴 trapezu ma obie współrzędne ujemne, a odcinek 𝐴𝐵 jest dłuższą z podstaw
tego trapezu. Przekątna 𝐴𝐶 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest zawarta w prostej o równaniu 𝑦= 𝑥.
Oblicz sinus kąta 𝑨𝑩𝑪.
Wymaganie ogólne
IV. Rozumowanie i argumentacja.
4.
Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach
nietypowych.
70
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023
Wymagania szczegółowe
IX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający:
1R) stosuje równanie okręgu w postaci ogólnej.
VII. Trygonometria. Zdający:
5)
stosuje twierdzenie sinusów […].
Zasady oceniania
dla rozwiązania sposobem 1.
4 pkt - zastosowanie twierdzenia sinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 i obliczenie sinusa kąta 𝐴𝐵𝐶.
3 pkt - obliczenie długości promienia okręgu oraz długości odcinka |𝐴𝐶|.
2 pkt - obliczenie długości promienia oraz współrzędnych wierzchołków 𝐴 i 𝐶 trapezu
LUB
obliczenie współrzędnych wierzchołków 𝐴 i 𝐶 trapezu oraz obliczenie długości
odcinka 𝐴𝐶.
1 pkt - obliczenie długości promienia okręgu
LUB
obliczenie współrzędnych wierzchołków 𝐴 i 𝐶 trapezu.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
dla rozwiązania sposobem 2.
4 pkt - zastosowanie twierdzenia sinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 i obliczenie sinusa kąta 𝐴𝐵𝐶.
3 pkt - obliczenie długości odcinka 𝐴𝐶.
2 pkt - obliczenie odległości środka okręgu od prostej zawierającej przekątną 𝐴𝐶 trapezu.
1 pkt - obliczenie długości promienia okręgu.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
Obliczamy długość promienia 𝑅 okręgu z równania ogólnego okręgu:
𝑅2 = (38
2 )
2

\n\n

2 )
2
-(-96) = 578
𝑅= 17√2
Obliczamy współrzędne wierzchołków 𝐴 i 𝐶 trapezu:
{𝑥2 + 𝑦2 -38𝑥+ 22𝑦-96 = 0
𝑦= 𝑥
2𝑥2 -16𝑥-96 = 0
𝑥= -4 lub 𝑥= 12
Ponieważ wierzchołek A trapezu ma obie współrzędne ujemne, więc otrzymujemy
𝐴(-4, -4) oraz 𝐶(12, 12).
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
71
Obliczamy długość odcinka 𝐴𝐶:
|𝐴𝐶| = √(12 + 6)2 + (12 + 6)2 = 16√2
Po zastosowaniu twierdzenia sinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 otrzymujemy
|𝐴𝐶|
sin |∡𝐴𝐵𝐶| = 2𝑅
sin |∡𝐴𝐵𝐶| = |𝐴𝐶|
2𝑅= 16√2
34√2
= 8
17
Sposób 2.
Obliczamy współrzędne środka 𝑆 okręgu i długość 𝑅 promienia okręgu:
𝑥2 + 𝑦2 -38𝑥+ 22𝑦-96 = 0
(𝑥-19)2 -361 + (𝑦+ 11)2 -121 -96 = 0
(𝑥-19)2 + (𝑦+ 11)2 = (17√2)
2
Zatem środek 𝑆 okręgu ma współrzędne 𝑆= (19, -11), a długość 𝑅 promienia okręgu
wynosi 𝑅= 17√2.
Niech 𝐸 będzie środkiem odcinka 𝐴𝐶. Obliczamy |𝑆𝐸| jako odległość punktu 𝑆 od prostej
𝐴𝐶 o równaniu 𝑥-𝑦= 0:
𝑑(𝑆, 𝐴𝐶) = |𝑆𝐸| =
|19 + 11|
√2
= 15√2
Stosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝐶𝐸𝑆 w celu obliczenia długości odcinka 𝐸𝐶
(połowa długości przekątnej 𝐴𝐶 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷):
|𝐸𝐶|2 = 𝑅2 -|𝑆𝐸|2
|𝐸𝐶|2 = (17√2)
2 -(15√2)
2 = 128
Zatem |𝐴𝐶| = 2 ⋅|𝐸𝐶| = 16√2.
Po zastosowaniu twierdzenia sinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 otrzymujemy
|𝐴𝐶|
sin |∡𝐴𝐵𝐶| = 2𝑅
sin |∡𝐴𝐵𝐶| = |𝐴𝐶|
2𝑅= 16√2
34√2
= 8
17
72
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023

","solutions":[]}