{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad/24","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony","number":"24","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 24. (0-4)\nCzworokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równoległobokiem takim, że 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-21, -7] i 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = [15, 8].\nOblicz pole tego równoległoboku.\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4.\nStosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n73\nWymagania szczegółowe\nVII. Trygonometria. Zdający:\n4)\nkorzysta z wzorów sin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1 […].\nVIII. Planimetria. Zdający:\n2)\n[…] stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów\n[…].\nIX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający:\n3R) zna pojęcie wektora i oblicza jego współrzędne oraz długość, dodaje wektory […].\nZasady oceniania\ndla rozwiązania sposobem 1.\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia pola równoległoboku i prawidłowy wynik.\n3 pkt - obliczenie sinusa kąta 𝐵𝐷𝐶.\n2 pkt - zastosowanie twierdzenia cosinusów do obliczenia cosinusa kąta 𝐵𝐷𝐶.\n1 pkt - obliczenie długości boków trójkąta 𝐵𝐶𝐷.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\ndla rozwiązań sposobami 2. oraz 3.\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia pola równoległoboku i prawidłowy wynik.\n3 pkt - obliczenie pola trójkąta 𝐵𝐶𝐷.\n2 pkt - zastosowanie wzoru do obliczenia pola trójkąta 𝐵𝐶𝐷.\n1 pkt - wyrażenie współrzędnych punktów 𝐵 i 𝐶 za pomocą współrzędnych punktu 𝐷\nLUB\nobliczenie długości boków trójkąta 𝐵𝐶𝐷.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nObliczamy długości boków trójkąta 𝐵𝐶𝐷:\nBC⃗⃗⃗⃗⃗ = BD⃗⃗⃗⃗⃗ + DC⃗⃗⃗⃗⃗ = [-21, -7] + [15, 8] = [-6, 1]\n|𝐵𝐶| = √(-6)2 + 12 = √37\n|𝐶𝐷| = √152 + 82 = √289 = 17\n|𝐵𝐷| = √(-21)2 + (-7)2 = √490 = 7√10\nOznaczmy kąt 𝐵𝐷𝐶 przez 𝛼.\nZ twierdzenia cosinusów oraz ze wzoru sin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1 obliczamy sinus kąta 𝛼:\n|𝐵𝐶|2 = |𝐵𝐷|2 + |𝐶𝐷|2 -2 ⋅|𝐵𝐷| ⋅|𝐶𝐷| ⋅cos 𝛼\n37 = 490 + 289 -2 ⋅7√10 ⋅17 ⋅cos 𝛼\n74\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\ncos 𝛼=\n53\n17√10\nKąt 𝛼 jest kątem ostrym, więc\nsin 𝛼= √1 -cos2 𝛼= √1 -2809\n2890 = √81\n2890 =\n9\n17√10\nObliczamy pole równoległoboku:\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= |𝐶𝐷| ⋅|𝐵𝐷| ⋅sin 𝛼\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 17 ⋅7√10 ⋅\n9\n17√10\n= 63\nPole czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe 63.\nSposób 2.\nNiech 𝑥𝐷 , 𝑦𝐷 będą współrzędnymi punktu 𝐷, tj. 𝐷= (𝑥𝐷, 𝑦𝐷).\nWyrazimy współrzędne punktów 𝐵 i 𝐶 za pomocą współrzędnych punktu 𝐷.\nPonieważ 𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = -𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [21, 7], więc 𝐵= (21 + 𝑥𝐷, 7 + 𝑦𝐷) i podobnie:\n𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = [15, 8], więc 𝐶= (15 + 𝑥𝐷, 8 + 𝑦𝐷).\nKorzystamy ze wzoru na pole trójkąta (przy danych wierzchołkach trójkąta) w celu obliczenia\npola trójkąta 𝐵𝐶𝐷:\n𝑃𝐵𝐶𝐷= 1\n2 |[(15 + 𝑥𝐷) -(21 + 𝑥𝐷)][𝑦𝐷-(7 + 𝑦𝐷)] -[(8 + 𝑦𝐷) -(7 + 𝑦𝐷)][𝑥𝐷-(21 + 𝑥𝐷)]|\n𝑃𝐵𝐶𝐷= 1\n2 |(-6) ⋅(-7) -1 ⋅(-21)| = 63\n2\nObliczamy pole równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷:\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 2 ⋅𝑃𝐵𝐶𝐷= 63\nPole równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe 63.\nSposób 3.\nOznaczmy: 𝑎= |𝐵𝐷|, 𝑏= |𝐵𝐶| , 𝑐= |𝐶𝐷|, 2𝑝= 𝑎+ 𝑏+ 𝑐.\nObliczamy długości boków trójkąta 𝐵𝐶𝐷:\n𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = [-21, -7] + [15, 8] = [-6, 1]\n𝑏= |𝐵𝐶| = √(-6)2 + 12 = √37\n𝑐= |𝐶𝐷| = √152 + 82 = √289 = 17\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n75\n𝑎= |BD| = √(-21)2 + (-7)2 = √490 = 7√10\nSkorzystamy ze wzoru Herona w celu obliczenia pola trójkąta 𝐵𝐶𝐷.\n𝑝= 𝑎+ 𝑏+ 𝑐\n2\n= 7√10 + √37 + 17\n2\n𝑝-𝑎= √37 + 17 -7√10\n2\n𝑝-𝑏= 7√10 + 17 -√37\n2\n𝑝-𝑐= √37 + 7√10 -17\n2\n𝑝(𝑝-𝑎) ⋅(𝑝-𝑏)(𝑝-𝑐) = (√37 + 17)\n2 -(7√10)\n2\n4\n⋅(7√10)\n2 -(17 -√37)\n2\n4\n𝑝(𝑝-𝑎)(𝑝-𝑏)(𝑝-𝑐) = 34√37 -164\n4\n⋅34√37 + 164\n4\n𝑝(𝑝-𝑎)(𝑝-𝑏)(𝑝-𝑐) = 15876\n16\n𝑃𝐵𝐶𝐷= √15876\n16\n= 63\n2\nObliczamy pole równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷:\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 2 ⋅𝑃𝐵𝐶𝐷= 63\nPole równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe 63.\n76\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad-24.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":72,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 24. (0-4)
Czworokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równoległobokiem takim, że 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-21, -7] i 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = [15, 8].
Oblicz pole tego równoległoboku.
Wymaganie ogólne
IV. Rozumowanie i argumentacja.
4.
Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach
nietypowych.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
73
Wymagania szczegółowe
VII. Trygonometria. Zdający:
4)
korzysta z wzorów sin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1 […].
VIII. Planimetria. Zdający:
2)
[…] stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów
[…].
IX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający:
3R) zna pojęcie wektora i oblicza jego współrzędne oraz długość, dodaje wektory […].
Zasady oceniania
dla rozwiązania sposobem 1.
4 pkt - poprawna metoda obliczenia pola równoległoboku i prawidłowy wynik.
3 pkt - obliczenie sinusa kąta 𝐵𝐷𝐶.
2 pkt - zastosowanie twierdzenia cosinusów do obliczenia cosinusa kąta 𝐵𝐷𝐶.
1 pkt - obliczenie długości boków trójkąta 𝐵𝐶𝐷.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
dla rozwiązań sposobami 2. oraz 3.
4 pkt - poprawna metoda obliczenia pola równoległoboku i prawidłowy wynik.
3 pkt - obliczenie pola trójkąta 𝐵𝐶𝐷.
2 pkt - zastosowanie wzoru do obliczenia pola trójkąta 𝐵𝐶𝐷.
1 pkt - wyrażenie współrzędnych punktów 𝐵 i 𝐶 za pomocą współrzędnych punktu 𝐷
LUB
obliczenie długości boków trójkąta 𝐵𝐶𝐷.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
Obliczamy długości boków trójkąta 𝐵𝐶𝐷:
BC⃗⃗⃗⃗⃗ = BD⃗⃗⃗⃗⃗ + DC⃗⃗⃗⃗⃗ = [-21, -7] + [15, 8] = [-6, 1]
|𝐵𝐶| = √(-6)2 + 12 = √37
|𝐶𝐷| = √152 + 82 = √289 = 17
|𝐵𝐷| = √(-21)2 + (-7)2 = √490 = 7√10
Oznaczmy kąt 𝐵𝐷𝐶 przez 𝛼.
Z twierdzenia cosinusów oraz ze wzoru sin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1 obliczamy sinus kąta 𝛼:
|𝐵𝐶|2 = |𝐵𝐷|2 + |𝐶𝐷|2 -2 ⋅|𝐵𝐷| ⋅|𝐶𝐷| ⋅cos 𝛼
37 = 490 + 289 -2 ⋅7√10 ⋅17 ⋅cos 𝛼
74
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023
cos 𝛼=
53
17√10
Kąt 𝛼 jest kątem ostrym, więc
sin 𝛼= √1 -cos2 𝛼= √1 -2809
2890 = √81
2890 =
9
17√10
Obliczamy pole równoległoboku:
𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= |𝐶𝐷| ⋅|𝐵𝐷| ⋅sin 𝛼
𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 17 ⋅7√10 ⋅
9
17√10
= 63
Pole czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe 63.
Sposób 2.
Niech 𝑥𝐷 , 𝑦𝐷 będą współrzędnymi punktu 𝐷, tj. 𝐷= (𝑥𝐷, 𝑦𝐷).
Wyrazimy współrzędne punktów 𝐵 i 𝐶 za pomocą współrzędnych punktu 𝐷.
Ponieważ 𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = -𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [21, 7], więc 𝐵= (21 + 𝑥𝐷, 7 + 𝑦𝐷) i podobnie:
𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = [15, 8], więc 𝐶= (15 + 𝑥𝐷, 8 + 𝑦𝐷).
Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta (przy danych wierzchołkach trójkąta) w celu obliczenia
pola trójkąta 𝐵𝐶𝐷:
𝑃𝐵𝐶𝐷= 1
2 |[(15 + 𝑥𝐷) -(21 + 𝑥𝐷)][𝑦𝐷-(7 + 𝑦𝐷)] -[(8 + 𝑦𝐷) -(7 + 𝑦𝐷)][𝑥𝐷-(21 + 𝑥𝐷)]|
𝑃𝐵𝐶𝐷= 1
2 |(-6) ⋅(-7) -1 ⋅(-21)| = 63
2
Obliczamy pole równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷:
𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 2 ⋅𝑃𝐵𝐶𝐷= 63
Pole równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe 63.
Sposób 3.
Oznaczmy: 𝑎= |𝐵𝐷|, 𝑏= |𝐵𝐶| , 𝑐= |𝐶𝐷|, 2𝑝= 𝑎+ 𝑏+ 𝑐.
Obliczamy długości boków trójkąta 𝐵𝐶𝐷:
𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = [-21, -7] + [15, 8] = [-6, 1]
𝑏= |𝐵𝐶| = √(-6)2 + 12 = √37
𝑐= |𝐶𝐷| = √152 + 82 = √289 = 17
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
75
𝑎= |BD| = √(-21)2 + (-7)2 = √490 = 7√10
Skorzystamy ze wzoru Herona w celu obliczenia pola trójkąta 𝐵𝐶𝐷.
𝑝= 𝑎+ 𝑏+ 𝑐
2
= 7√10 + √37 + 17
2
𝑝-𝑎= √37 + 17 -7√10
2
𝑝-𝑏= 7√10 + 17 -√37
2
𝑝-𝑐= √37 + 7√10 -17
2
𝑝(𝑝-𝑎) ⋅(𝑝-𝑏)(𝑝-𝑐) = (√37 + 17)
2 -(7√10)
2
4
⋅(7√10)
2 -(17 -√37)
2
4
𝑝(𝑝-𝑎)(𝑝-𝑏)(𝑝-𝑐) = 34√37 -164
4
⋅34√37 + 164
4
𝑝(𝑝-𝑎)(𝑝-𝑏)(𝑝-𝑐) = 15876
16
𝑃𝐵𝐶𝐷= √15876
16
= 63
2
Obliczamy pole równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷:
𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 2 ⋅𝑃𝐵𝐶𝐷= 63
Pole równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe 63.
76
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023

","solutions":[]}