Zadanie 25. (0-3)
Dany jest sześcian 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 o krawędzi długości 𝑎. Punkt 𝑃 jest środkiem krawędzi 𝐶𝐺
tego sześcianu (zobacz rysunek poniżej).
Oblicz odległość wierzchołka 𝑪 od płaszczyzny zawierającej punkty 𝑩, 𝑫 oraz 𝑷.
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝐸
𝐹
𝐺
𝐻
𝑃
|𝑃𝐺|= |𝑃𝐶|
𝑎
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
77
Wymaganie ogólne
IV. Rozumowanie i argumentacja.
4.
Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań […].
Wymaganie szczegółowe
X. Stereometria. Zdający:
2R) wyznacza przekroje sześcianu […].
Zasady oceniania
dla rozwiązań sposobami 1.-4.
3 pkt - poprawna metoda obliczenia odległości wierzchołka 𝐶 od płaszczyzny zawierającej
punkty 𝐵, 𝐷 oraz 𝑃 i podanie prawidłowego wyniku.
2 pkt - obliczenie pola trójkąta 𝐶𝑃𝑆 i wyrażenie pola tegoż trójkąta za pomocą ℎ (gdzie ℎ
jest szukaną docelowo odległością w zadaniu)
LUB
obliczenie sinusa kąta 𝑆𝑃𝐶 i wyrażenie sinusa kąta 𝐾𝑃𝐶 za pomocą ℎ (gdzie ℎ
jest szukaną docelowo odległością w zadaniu)
LUB
wyrażenie objętości ostrosłupa 𝐵𝐶𝐷𝑃 o podstawie 𝐵𝐶𝐷 za pomocą 𝑎 i wyrażenie
objętości ostrosłupa 𝐵𝐷𝑃𝐶 o podstawie 𝐵𝐷𝑃 za pomocą 𝑎 oraz ℎ (gdzie ℎ jest
szukaną docelowo odległością w zadaniu)
LUB
zastosowanie twierdzenia Pitagorasa do trójkątów 𝑆𝐾𝐶 oraz 𝑃𝐾𝐶 i zapisanie
równania
(√2
2 𝑎)
2
-(|𝑃𝑆| -|𝐾𝑃|)2 = (𝑎
2)
2
-|𝐾𝑃|2
1 pkt - obliczenie
odległości
pomiędzy
środkiem
𝑆
podstawy
𝐴𝐵𝐶𝐷
sześcianu
a punktem 𝑃.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1. (z wykorzystaniem równości pól trójkąta)
Oznaczmy przez 𝑆 punkt przecięcia się przekątnych podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷 sześcianu, natomiast
przez ℎ - wysokość trójkąta 𝐶𝑃𝑆 opuszczoną z wierzchołka 𝐶 na bok 𝑃𝑆.
Stosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝐶𝑃𝑆 celem obliczenia długości boku 𝑃𝑆:
|𝑃𝑆|2 = |𝐶𝑆|2 + |𝐶𝑃|2
|𝑃𝑆|2 = (1
2 𝑎√2)
2
2 𝑎)
2
|𝑃𝑆| = √3
2 𝑎
78
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023
Ponieważ pole trójkąta 𝐶𝑃𝑆 jest równe
𝑃𝐶𝑃𝑆= 1
2 |𝐶𝑆| ⋅|𝐶𝑃| = 1
2 ⋅1
2 𝑎⋅1
2 𝑎√2 = √2
8 𝑎2
oraz
𝑃𝐶𝑃𝑆= 1
2 |𝑃𝑆| ⋅ℎ= 1
2 ⋅1
2 𝑎√3 ⋅ℎ= √3
4 𝑎ℎ ,
więc
√2
8 𝑎= √3
4 𝑎ℎ ,
co daje ℎ=
√6
6 𝑎.
Szukana odległość jest równa
√6
6 𝑎.
Sposób 2. (z wykorzystaniem równości sinusów kąta)
Oznaczmy:
𝑆 - punkt przecięcia się przekątnych podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷 sześcianu,
ℎ - wysokość trójkąta 𝐶𝑃𝑆 opuszczoną z wierzchołka 𝐶 na bok 𝑃𝑆,
𝐾 - spodek wysokości trójkąta 𝐶𝑃𝑆 opuszczonej z wierzchołka 𝐶 na bok 𝑃𝑆.
Stosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝐶𝑃𝑆 celem obliczenia długości boku 𝑃𝑆:
|𝑃𝑆|2 = |𝐶𝑆|2 + |𝐶𝑃|2
|𝑃𝑆|2 = (1
2 𝑎√2)
2
2 𝑎)
2
|𝑃𝑆| = √3
2 𝑎
Obliczamy wartość sinusa kąta 𝑆𝑃𝐶 w trójkącie prostokątnym 𝑆𝐶𝑃:
sin|∡𝑆𝑃𝐶| = |𝐶𝑆|
|𝑃𝑆| =
1
2 𝑎√2
1
2 𝑎√3
= √2
√3
= √6
3
Zapisujemy sinus kąta 𝐾𝑃𝐶 jako stosunek długości odpowiednich boków w trójkącie
prostokątnym 𝐶𝐾𝑃:
sin|∡𝐾𝑃𝐶| =
|𝐶𝐾|
|𝐶𝑃| = ℎ
1
2 𝑎
Ponieważ |∡𝑆𝑃𝐶| = |∡𝐾𝑃𝐶|, więc z ostatnich dwóch równości otrzymujemy
ℎ
1
2 𝑎
= √6
3
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
79
ℎ= √6
6 𝑎
Szukana odległość jest równa
√6
6 𝑎.
Sposób 3. (z wykorzystaniem równości objętości ostrosłupa)
Oznaczmy:
𝑆 - punkt przecięcia się przekątnych podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷 sześcianu,
ℎ - wysokość trójkąta 𝐶𝑃𝑆 opuszczoną z wierzchołka 𝐶 na bok 𝑃𝑆,
𝐾 - spodek wysokości trójkąta 𝐶𝑃𝑆 opuszczonej z wierzchołka 𝐶 na bok 𝑃𝑆.
Stosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝐶𝑃𝑆 celem obliczenia długości boku 𝑃𝑆:
|𝑃𝑆|2 = |𝐶𝑆|2 + |𝐶𝑃|2
|𝑃𝑆|2 = (1
2 𝑎√2)
2
2 𝑎)
2
|𝑃𝑆| = √3
2 𝑎
Obliczamy objętość ostrosłupa 𝐵𝐶𝐷𝑃 o podstawie trójkątnej 𝐵𝐶𝐷 i wysokości opuszczonej
na podstawę 𝐵𝐶𝐷 z wierzchołka 𝑃:
𝑉𝐵𝐶𝐷𝑃= 1
3 ⋅𝑃Δ𝐵𝐶𝐷⋅|𝐶𝑃| = 1
3 ⋅1
2 𝑎2 ⋅1
2 𝑎= 1
12 𝑎3
Obliczamy objętość ostrosłupa 𝐵𝐷𝑃𝐶 o podstawie trójkątnej 𝐵𝐷𝑃 i wysokości opuszczonej
na podstawę 𝐵𝐷𝑃 z wierzchołka 𝐶:
𝑉𝐵𝐷𝑃𝐶= 1
3 ⋅𝑃Δ𝐵𝐷𝑃⋅|𝐶𝐾| = 1
3 ⋅1
2 ⋅𝑎√2 ⋅√3
2 𝑎⋅ℎ= √6
12 𝑎2ℎ
Ponieważ 𝑉𝐵𝐶𝐷𝑃= 𝑉𝐵𝐷𝑃𝐶 , więc
1
12 𝑎3 = √6
12 𝑎2ℎ
ℎ= √6
6 𝑎
Szukana odległość jest równa
√6
6 𝑎.
80
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023
Sposób 4. (z wykorzystaniem równości boku trójkątów prostokątnych)
Oznaczmy:
𝑆 - punkt przecięcia się przekątnych podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷 sześcianu,
ℎ - wysokość trójkąta 𝐶𝑃𝑆 opuszczoną z wierzchołka 𝐶 na bok 𝑃𝑆,
𝐾 - spodek wysokości trójkąta 𝐶𝑃𝑆 opuszczonej z wierzchołka 𝐶 na bok 𝑃𝑆,
𝑥 - długość odcinka 𝐾𝑃.
Stosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝐶𝑃𝑆 celem obliczenia długości boku 𝑃𝑆:
|𝑃𝑆|2 = |𝐶𝑆|2 + |𝐶𝑃|2
|𝑃𝑆|2 = (1
2 𝑎√2)
2
2 𝑎)
2
|𝑃𝑆| = √3
2 𝑎
Trójkąty 𝑆𝐾𝐶 oraz 𝑃𝐾𝐶 są prostokątne i mają wspólny bok 𝐾𝐶, więc
ℎ2 = |𝑆𝐶|2 -|𝑆𝐾|2 i ℎ2 = |𝑃𝐶|2 -|𝐾𝑃|2
ℎ2 = (𝑎√2
2 )
2
-(|𝑃𝑆| -𝑥)2 i ℎ2 = (𝑎
2)
2
-𝑥2
ℎ2 = (𝑎√2
2 )
2
-(√3
2 𝑎-𝑥)
2
i ℎ2 = (𝑎
2)
2
-𝑥2
(𝑎√2
2 )
2
-(√3
2 𝑎-𝑥)
2
= (𝑎
2)
2
-𝑥2
skąd otrzymujemy 𝑥=
√3
6 𝑎.
Podstawiamy 𝑥=
√3
6 𝑎 do równania ℎ2 = (
𝑎
2)
2
-𝑥2 i otrzymujemy
ℎ2 = (𝑎
2)
2
-(√3
6 𝑎)
2
ℎ= √6
6 𝑎
Szukana odległość jest równa
√6
6 𝑎.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
81