Zadanie 27. (0-4)
Tomek i Marek chcą wejść docelowo na szczyt 𝑆
pewnej góry. W chwili początkowej znajdują się
w punkcie 𝑃 położonym na stoku góry dokładnie na
północ od szczytu na wysokości 𝐻0 metrów n.p.m.
Tomek i Marek chcą dotrzeć do bazy 𝐵 znajdującej
się
dokładnie
na
południe
od
szczytu
na
przeciwległym południowym stoku góry na wysokości
𝐻1 metrów n.p.m., a następnie z bazy wejść na
szczyt leżący na wysokości 𝐻2 metrów n.p.m. (patrz
rysunek 1.).
Oblicz długość najkrótszej drogi, jaką muszą
pokonać, aby dotrzeć do bazy.
Przyjmij, że góra jest stożkiem o kącie rozwarcia 𝛼.
Wskazówka: Powierzchnia boczna stożka po rozcięciu
wzdłuż tworzącej i rozłożeniu jest wycinkiem koła.
Najkrótsza droga do bazy odpowiada najkrótszej drodze
z punktu 𝑃 do 𝐵 na wycinku koła.
𝑆
𝛼
𝐵
𝑃
Rys. 1.
88
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023
Wymagania ogólne
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
3.
Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących,
w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu. Dobieranie
i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiazywaniu problemów praktycznych
i teoretycznych.
IV. Rozumowanie i argumentacja.
4.
Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiazywaniu zadań, również w sytuacjach
nietypowych.
Wymagania szczegółowe
VII. Trygonometria. Zdający:
1R) stosuje miarę łukową […].
VIII. Planimetria. Zdający:
2)
[…] stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie
cosinusów;
6)
stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu.
Zasady oceniania
4 pkt - prawidłowa metoda obliczenia długości odcinka 𝑃𝐵 na siatce stożka i prawidłowy
wynik.
3 pkt - obliczenie miary łukowej kąta 𝐵𝑆𝑃 na siatce stożka i obliczenie długości odcinków
𝐵𝑆 oraz 𝑃𝑆.
2 pkt - obliczenie miary łukowej kąta 𝐵𝑆𝑃 na siatce stożka
LUB
obliczenie długości odcinków 𝐵𝑆 oraz 𝑃𝑆.
1 pkt - zapisanie, że najkrótsza droga jest równa długości odcinka 𝑃𝐵 na siatce stożka.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
89
Przykładowe pełne rozwiązanie
Niech 𝑙 będzie długością tworzącej stożka, a 𝑅 - długością promienia podstawy.
Rozwiniemy powierzchnię boczną stożka, na której zaznaczymy kluczowe punkty 𝑃, 𝐵 i 𝑆.
Długość odcinka 𝑃𝐵 oznaczymy jako 𝑑. Jest to długość najkrótszej trasy z punktu 𝑃 do
bazy (zobacz rys. 1.).
Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu jest wycinkiem koła o promieniu długości 𝑙.
Wyznaczymy miarę 𝛽 kąta środkowego tego wycinka.
Ze wzorów na pole powierzchni bocznej stożka oraz pole wycinka koła otrzymujemy
𝜋⋅𝑅⋅𝑙= 𝛽
2𝜋⋅𝜋⋅𝑙2
𝛽= 2𝜋⋅𝑅
𝑙
Zatem
|∡𝐵𝑆𝑃| = 1
2 𝛽= 𝜋⋅𝑅
𝑙
Kąt rozwarcia stożka jest równy 𝛼, więc 𝑅
𝑙= sin𝛼
2, co prowadzi do
|∡𝐵𝑆𝑃| = 𝜋⋅sin 𝛼
2
Wyrazimy długości odcinków 𝐵𝑆 oraz 𝑃𝑆 w zależności od danych podanych w treści
zadania.
𝑆
𝐵
𝑃
𝑑
Rysunek 1.
90
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023
Rozważmy przekrój osiowy stożka zawierający
punkty 𝐵, 𝑃 oraz 𝑆 (zobacz rys. 2.). Punkt 𝑆′ na
rysunku 2. jest rzutem prostokątnym punktu 𝑆 na
podstawę stożka, natomiast punkt 𝑄 - punktem
przecięcia tworzącej 𝑆𝐵 z podstawą stożka.
Z trójkątów 𝑆𝑆′𝑄 oraz 𝑆𝑇𝐵 otrzymujemy
|𝐵𝑆| =
|𝑆𝑇|
cos 𝛼
2
oraz |𝑆𝑄| =
|𝑆𝑆′|
cos 𝛼
2
Z treści zadania |𝑆𝑇| = 𝐻2 -𝐻1 oraz |𝑆𝑆′| = 𝐻2 -𝐻0, więc
|𝐵𝑆| = 𝐻2 -𝐻1
cos 𝛼
2
oraz |𝑃𝑆| = |𝑆𝑄| = 𝐻2 -𝐻0
cos 𝛼
2
Stosujemy twierdzenie cosinusów do trójkąta 𝐵𝑆𝑃: i obliczamy |𝑃𝐵|:
|𝑃𝐵|2 = |𝑃𝑆|2 + |𝐵𝑆|2 -2 ⋅|𝑃𝑆| ⋅|𝐵𝑆| ⋅cos |∡𝐵𝑆𝑃|
𝑑= √(𝐻2 -𝐻0
cos 𝛼
2
)
2
cos 𝛼
2
)
2
-2(𝐻2 -𝐻0)(𝐻2 -𝐻1)
(cos 𝛼
2)
2
⋅cos (𝜋⋅sin 𝛼
2)
𝑑=
√(𝐻2 -𝐻0)2 + (𝐻2 -𝐻1)2 -2(𝐻2 -𝐻0)(𝐻2 -𝐻1) cos (𝜋⋅sin 𝛼
2)
cos 𝛼
2
𝛼
2
𝑆
𝑃
𝐵
𝑄
Rys. 2.
𝑆'
𝑇
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
91
KOMBINATORYKA, RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA