{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad/28","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony","number":"28","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 28. (0-4)\nNiech\n𝑛\nbędzie\nustaloną\nliczbą\nnaturalną\ndodatnią.\nZe\nzbioru\n𝕄= {1; 2; 3; … ; 3𝑛+ 1} losujemy jednocześnie trzy liczby. Zdarzenie 𝐴 odpowiada\njednoczesnemu wylosowaniu ze zbioru 𝕄 trzech liczb, takich że suma tych liczb przy dzieleniu\nprzez 3 daje resztę 1.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝑨.\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n2.\nDobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiazywaniu problemów\npraktycznych i teoretycznych.\nWymagania szczegółowe\nXI. Kombinatoryka. Zdający:\n1R) oblicza\nliczbę\nmożliwych\nsytuacji,\nspełniających\nokreślone\nkryteria,\nz wykorzystaniem reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) oraz wzorów na\nliczbę: permutacji, kombinacji i wariacji, również w przypadkach wymagających\nrozważenia złożonego modelu zliczania elementów;\n2R) stosuje współczynnik dwumianowy (symbol Newtona) i jego własności przy\nrozwiązywaniu problemów kombinatorycznych.\nXII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. Zdający:\n1)\noblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym.\n92\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody wyznaczenia szukanego prawdopodobieństwa oraz\nprawidłowy wynik.\n3 pkt - rozpatrzenie wszystkich możliwych przypadków, kiedy suma trzech liczb naturalnych\ndaje przy dzieleniu przez 3 resztę 1, tj. zapisanie, że moc zbioru 𝐴 wynosi\n(𝑛\n2) ⋅(𝑛+ 1\n1\n) + (𝑛+ 1\n2\n) ⋅(𝑛\n1) + (𝑛\n2) ⋅(𝑛\n1)\n2 pkt - rozpatrzenie tylko dwóch z wszystkich możliwych przypadków, kiedy suma trzech liczb\nnaturalnych daje przy dzieleniu przez 3 resztę 1 - tj. zapisanie, że moc zbioru 𝐴 wynosi\n(𝑛\n2) ⋅(𝑛+ 1\n1\n) + (𝑛+ 1\n2\n) ⋅(𝑛\n1)\nLUB\n(𝑛\n2) ⋅(𝑛+ 1\n1\n) + (𝑛\n2) ⋅(𝑛\n1)\nLUB\n(𝑛+ 1\n2\n) ⋅(𝑛\n1) + (𝑛\n2) ⋅(𝑛\n1)\n1 pkt - wyznaczenie liczby wszystkich trójelementowych podzbiorów zbioru 𝕄.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nWyznaczamy liczbę wszystkich trójelementowych podzbiorów zbioru 𝕄:\n(3𝑛+ 1\n3\n) =\n(3𝑛+ 1) ⋅3𝑛⋅(3𝑛-1)\n6\n(3𝑛+ 1)𝑛(3𝑛-1)\n2\nWyznaczamy moc zbioru 𝐴.\nZauważmy, że suma trzech liczb naturalnych daje przy dzieleniu przez 3 resztę 1, gdy:\n1) dwie z tych liczb są podzielne przez 3, a jedna z tych liczb daje przy dzieleniu przez 3\nresztę 1\nLUB\n2) dwie z tych liczb dają przy dzieleniu przez 3 resztę 1, a jedna z tych liczb daje przy\ndzieleniu przez 3 resztę 2\nLUB\n3) dwie z tych liczb dają przy dzieleniu przez 3 resztę 2, a jedna z tych liczb jest podzielna\nprzez 3.\nPonieważ w zbiorze 𝕄 mamy:\n𝑛 liczb podzielnych przez 3,\n𝑛+ 1 liczb, które przy dzieleniu przez 3 dają resztę 1,\n𝑛 liczb, które przy dzieleniu przez 3 dają resztę 2,\nwięc\n|𝐴| = (𝑛\n2) ⋅(𝑛+ 1\n1\n) + (𝑛+ 1\n2\n) ⋅(𝑛\n1) + (𝑛\n2) ⋅(𝑛\n1) =\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n93\n= 𝑛(𝑛-1)(𝑛+ 1)\n2\n+ (𝑛+ 1) ⋅𝑛⋅𝑛\n2\n+ 𝑛(𝑛-1)𝑛\n2\n= 𝑛(𝑛2 -1 + 𝑛2 + 𝑛+ 𝑛2 -𝑛)\n2\n= 𝑛(3𝑛2 -1)\n2\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe\n𝑃(𝐴) =\n𝑛(3𝑛2 -1)\n2\n(3𝑛+ 1)𝑛(3𝑛-1)\n2\n(3𝑛2 -1)\n(3𝑛+ 1)(3𝑛-1)","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad-28.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":91,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 28. (0-4)
Niech
𝑛
będzie
ustaloną
liczbą
naturalną
dodatnią.
Ze
zbioru
𝕄= {1; 2; 3; … ; 3𝑛+ 1} losujemy jednocześnie trzy liczby. Zdarzenie 𝐴 odpowiada
jednoczesnemu wylosowaniu ze zbioru 𝕄 trzech liczb, takich że suma tych liczb przy dzieleniu
przez 3 daje resztę 1.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝑨.
Wymaganie ogólne
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
2.
Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiazywaniu problemów
praktycznych i teoretycznych.
Wymagania szczegółowe
XI. Kombinatoryka. Zdający:
1R) oblicza
liczbę
możliwych
sytuacji,
spełniających
określone
kryteria,
z wykorzystaniem reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) oraz wzorów na
liczbę: permutacji, kombinacji i wariacji, również w przypadkach wymagających
rozważenia złożonego modelu zliczania elementów;
2R) stosuje współczynnik dwumianowy (symbol Newtona) i jego własności przy
rozwiązywaniu problemów kombinatorycznych.
XII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. Zdający:
1)
oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym.
92
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023
Zasady oceniania
4 pkt - zastosowanie poprawnej metody wyznaczenia szukanego prawdopodobieństwa oraz
prawidłowy wynik.
3 pkt - rozpatrzenie wszystkich możliwych przypadków, kiedy suma trzech liczb naturalnych
daje przy dzieleniu przez 3 resztę 1, tj. zapisanie, że moc zbioru 𝐴 wynosi
(𝑛

\n
  1. ⋅(𝑛+ 1
\n

1
) + (𝑛+ 1
2
) ⋅(𝑛

\n
  1. + (𝑛
  2. ⋅(𝑛
\n

1)
2 pkt - rozpatrzenie tylko dwóch z wszystkich możliwych przypadków, kiedy suma trzech liczb
naturalnych daje przy dzieleniu przez 3 resztę 1 - tj. zapisanie, że moc zbioru 𝐴 wynosi
(𝑛

\n
  1. ⋅(𝑛+ 1
\n

1
) + (𝑛+ 1
2
) ⋅(𝑛
1)
LUB
(𝑛

\n
  1. ⋅(𝑛+ 1
\n

1
) + (𝑛

\n
  1. ⋅(𝑛
\n

1)
LUB
(𝑛+ 1
2
) ⋅(𝑛

\n
  1. + (𝑛
  2. ⋅(𝑛
\n

1)
1 pkt - wyznaczenie liczby wszystkich trójelementowych podzbiorów zbioru 𝕄.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Wyznaczamy liczbę wszystkich trójelementowych podzbiorów zbioru 𝕄:
(3𝑛+ 1
3
) =
(3𝑛+ 1) ⋅3𝑛⋅(3𝑛-1)
6
(3𝑛+ 1)𝑛(3𝑛-1)
2
Wyznaczamy moc zbioru 𝐴.
Zauważmy, że suma trzech liczb naturalnych daje przy dzieleniu przez 3 resztę 1, gdy:

\n
  1. dwie z tych liczb są podzielne przez 3, a jedna z tych liczb daje przy dzieleniu przez 3
\n

resztę 1
LUB

\n
  1. dwie z tych liczb dają przy dzieleniu przez 3 resztę 1, a jedna z tych liczb daje przy
\n

dzieleniu przez 3 resztę 2
LUB

\n
  1. dwie z tych liczb dają przy dzieleniu przez 3 resztę 2, a jedna z tych liczb jest podzielna
\n

przez 3.
Ponieważ w zbiorze 𝕄 mamy:
𝑛 liczb podzielnych przez 3,
𝑛+ 1 liczb, które przy dzieleniu przez 3 dają resztę 1,
𝑛 liczb, które przy dzieleniu przez 3 dają resztę 2,
więc
|𝐴| = (𝑛

\n
  1. ⋅(𝑛+ 1
\n

1
) + (𝑛+ 1
2
) ⋅(𝑛

\n
  1. + (𝑛
  2. ⋅(𝑛
  3. =
\n

Przykładowe zadania z rozwiązaniami
93
= 𝑛(𝑛-1)(𝑛+ 1)
2

\n\n

2

\n\n

2
= 𝑛(𝑛2 -1 + 𝑛2 + 𝑛+ 𝑛2 -𝑛)
2
= 𝑛(3𝑛2 -1)
2
Prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe
𝑃(𝐴) =
𝑛(3𝑛2 -1)
2
(3𝑛+ 1)𝑛(3𝑛-1)
2
(3𝑛2 -1)
(3𝑛+ 1)(3𝑛-1)

","solutions":[]}