{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad/3","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony","number":"3","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 3. (0-3)\nNa diagramie obok przedstawiono fragment wykresu\nwielomianu 𝑊 określonego wzorem\n𝑊(𝑥) = 4𝑥3 -19𝑥2 -12𝑥+ 18\ndla każdego 𝑥∈ℝ.\nOblicz wszystkie pierwiastki wielomianu 𝑾.\n0,2\n𝑥\n𝑦\n1\n𝑊\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n17\nWymagania ogólne\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1.\nInterpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w formie […]\ndiagramów, tabel.\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n2.\nDobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów\npraktycznych i teoretycznych.\nWymagania szczegółowe\nII. Wyrażenia algebraiczne. Zdający:\n6)\ndzieli wielomian jednej zmiennej 𝑊(𝑥) przez dwumian postaci 𝑥-𝑎,\n1R) znajduje pierwiastki całkowite i wymierne wielomianu o współczynnikach\ncałkowitych.\nZasady oceniania\n3 pkt - obliczenie wszystkich pierwiastków wielomianu 𝑊.\n2 pkt - sprawdzenie, że liczba 3\n4 jest pierwiastkiem wielomianu oraz podzielenie\nwielomianu 𝑊 przez dwumian (𝑥-3\n4).\n1 pkt - zastosowanie twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu i określenie liczb\nwymiernych mogących być pierwiastkami wielomianu 𝑊.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nSkorzystamy z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach\ncałkowitych.\nNa mocy tego twierdzenia wnosimy, że jeśli wielomian 𝑊 ma pierwiastek wymierny, to należy\non do zbioru\n𝕄= {±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18, ± 9\n2 , ± 9\n4 , ± 3\n2 , ± 3\n4 , ± 1\n2 , ± 1\n4}\n18\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nNa podstawie fragmentu wykresu funkcji 𝑊 stwierdzamy, że jeden z pierwiastków wielomianu\nznajduje się w przedziale (3\n5 , 4\n5). Tylko jedna liczba ze zbioru 𝕄 leży w tym przedziale i jest\nto ułamek 3\n4.\nSprawdzamy, czy liczba 3\n4 jest pierwiastkiem wielomianu 𝑊:\n𝑊(3\n4) = 4 ⋅(3\n4)\n3\n-19 ⋅(3\n4)\n2\n-12 ⋅3\n4 + 18 = 27\n16 -171\n16 -144\n16 + 288\n16 = 0\nZatem wielomian jest podzielny przez dwumian (𝑥-3\n4).\nDzielimy wielomian 𝑊 przez dwumian (𝑥-3\n4) i zapisujemy go w postaci iloczynowej:\n𝑊(𝑥) = (𝑥-3\n4) (4𝑥2 -16𝑥-24).\nPierwiastkami trójmianu 4𝑥2 -16𝑥-24 są liczby: 2 -√10 oraz 2 + √10.\nPierwiastkami wielomianu 𝑊 są liczby: 2 -√10, 2 + √10 oraz 3\n4.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 3. (0-3)
Na diagramie obok przedstawiono fragment wykresu
wielomianu 𝑊 określonego wzorem
𝑊(𝑥) = 4𝑥3 -19𝑥2 -12𝑥+ 18
dla każdego 𝑥∈ℝ.
Oblicz wszystkie pierwiastki wielomianu 𝑾.
0,2
𝑥
𝑦
1
𝑊
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
17
Wymagania ogólne
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.
1.
Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w formie […]
diagramów, tabel.
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
2.
Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów
praktycznych i teoretycznych.
Wymagania szczegółowe
II. Wyrażenia algebraiczne. Zdający:
6)
dzieli wielomian jednej zmiennej 𝑊(𝑥) przez dwumian postaci 𝑥-𝑎,
1R) znajduje pierwiastki całkowite i wymierne wielomianu o współczynnikach
całkowitych.
Zasady oceniania
3 pkt - obliczenie wszystkich pierwiastków wielomianu 𝑊.
2 pkt - sprawdzenie, że liczba 3
4 jest pierwiastkiem wielomianu oraz podzielenie
wielomianu 𝑊 przez dwumian (𝑥-3
4).
1 pkt - zastosowanie twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu i określenie liczb
wymiernych mogących być pierwiastkami wielomianu 𝑊.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Skorzystamy z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach
całkowitych.
Na mocy tego twierdzenia wnosimy, że jeśli wielomian 𝑊 ma pierwiastek wymierny, to należy
on do zbioru
𝕄= {±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18, ± 9
2 , ± 9
4 , ± 3
2 , ± 3
4 , ± 1
2 , ± 1
4}
18
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023
Na podstawie fragmentu wykresu funkcji 𝑊 stwierdzamy, że jeden z pierwiastków wielomianu
znajduje się w przedziale (3
5 , 4
5). Tylko jedna liczba ze zbioru 𝕄 leży w tym przedziale i jest
to ułamek 3
4.
Sprawdzamy, czy liczba 3
4 jest pierwiastkiem wielomianu 𝑊:
𝑊(3

\n
  1. = 4 ⋅(3
\n

4)
3
-19 ⋅(3
4)
2
-12 ⋅3
4 + 18 = 27
16 -171
16 -144
16 + 288
16 = 0
Zatem wielomian jest podzielny przez dwumian (𝑥-3
4).
Dzielimy wielomian 𝑊 przez dwumian (𝑥-3

\n
  1. i zapisujemy go w postaci iloczynowej:
\n

𝑊(𝑥) = (𝑥-3

\n
  1. (4𝑥2 -16𝑥-24).
\n

Pierwiastkami trójmianu 4𝑥2 -16𝑥-24 są liczby: 2 -√10 oraz 2 + √10.
Pierwiastkami wielomianu 𝑊 są liczby: 2 -√10, 2 + √10 oraz 3
4.

","solutions":[]}