{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad/30","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony","number":"30","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 30. (0-3)\nPewna choroba dotyka 0,2% całej populacji i w początkowym stadium nie daje widocznych\nobjawów chorobowych. W ramach profilaktyki stosuje się pewien test przesiewowy, który daje\nwynik pozytywny lub negatywny. Prawdopodobieństwo tego, że test wykonany na osobie\nchorej da wynik pozytywny (oznaczający chorobę) jest równe 0,99. Ponadto wiadomo, że\nprawdopodobieństwo tego, że test wykonany na osobie zdrowej da wynik negatywny, jest\nrówne 0,98.\nPan X poddał się testowi, który dał wynik pozytywny. Pozytywny wynik oznacza podejrzenie\nchoroby.\nOblicz prawdopodobieństwo tego, że Pan X jest rzeczywiście chory.\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi […].\nWymaganie szczegółowe\nXII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. Zdający:\n1R) […] stosuje wzór Bayesa […].\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia szukanego prawdopodobieństwa i prawidłowy wynik.\n2 pkt - zastosowanie wzoru Bayesa.\n1 pkt - obliczenie prawdopodobieństw warunkowych 𝑃(-|𝐶) oraz 𝑃(+|𝑍).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\n96\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n„+” - zdarzenie polegające na tym, że wylosowana osoba z populacji poddana testowi otrzyma\nwynik pozytywny,\n„-” - zdarzenie polegające na tym, że wylosowana osoba z populacji poddana testowi otrzyma\nwynik negatywny,\n𝑍 - zdarzenie polegające na tym, że wylosowana osoba z populacji jest zdrowa,\n𝐶 - zdarzenie polegające na tym, że wylosowana osoba z populacji jest chora.\nNależy obliczyć 𝑃(𝐶|+).\nZgodnie z treścią zadania:\n𝑃(𝐶) = 0,002,\nwięc\n𝑃(𝑍) = 0,998\n𝑃(+|𝐶) = 0,99,\nwięc\n𝑃(-|𝐶) = 0,01\n𝑃(-|𝑍) = 0,98,\nwięc\n𝑃(+|𝑍) = 0,02.\nStosujemy twierdzenie Bayesa i obliczamy szukane prawdopodobieństwo:\n𝑃(𝐶|+) = 𝑃(+|𝐶) ⋅\n𝑃(𝐶)\n𝑃(+|𝑍) ⋅𝑃(𝑍) + 𝑃(+|𝐶) ⋅𝑃(𝐶)\n𝑃(𝐶|+) = 0,99 ⋅\n0,002\n0,02 ⋅0,998 + 0,99 ⋅0,002 ≈0,09\nZatem szukane prawdopodobieństwo wynosi ok. 0,09.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n97","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad-30.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":95,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"<p>Zadanie 30. (0-3)<br>Pewna choroba dotyka 0,2% całej populacji i w początkowym stadium nie daje widocznych<br>objawów chorobowych. W ramach profilaktyki stosuje się pewien test przesiewowy, który daje<br>wynik pozytywny lub negatywny. Prawdopodobieństwo tego, że test wykonany na osobie<br>chorej da wynik pozytywny (oznaczający chorobę) jest równe 0,99. Ponadto wiadomo, że<br>prawdopodobieństwo tego, że test wykonany na osobie zdrowej da wynik negatywny, jest<br>równe 0,98.<br>Pan X poddał się testowi, który dał wynik pozytywny. Pozytywny wynik oznacza podejrzenie<br>choroby.<br>Oblicz prawdopodobieństwo tego, że Pan X jest rzeczywiście chory.<br>Wymaganie ogólne<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.<br>1.<br>Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi […].<br>Wymaganie szczegółowe<br>XII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. Zdający:<br>1R) […] stosuje wzór Bayesa […].<br>Zasady oceniania<br>3 pkt - poprawna metoda obliczenia szukanego prawdopodobieństwa i prawidłowy wynik.<br>2 pkt - zastosowanie wzoru Bayesa.<br>1 pkt - obliczenie prawdopodobieństw warunkowych 𝑃(-|𝐶) oraz 𝑃(+|𝑍).<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>96<br>Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Przyjmijmy następujące oznaczenia:<br>„+” - zdarzenie polegające na tym, że wylosowana osoba z populacji poddana testowi otrzyma<br>wynik pozytywny,<br>„-” - zdarzenie polegające na tym, że wylosowana osoba z populacji poddana testowi otrzyma<br>wynik negatywny,<br>𝑍 - zdarzenie polegające na tym, że wylosowana osoba z populacji jest zdrowa,<br>𝐶 - zdarzenie polegające na tym, że wylosowana osoba z populacji jest chora.<br>Należy obliczyć 𝑃(𝐶|+).<br>Zgodnie z treścią zadania:<br>𝑃(𝐶) = 0,002,<br>więc<br>𝑃(𝑍) = 0,998<br>𝑃(+|𝐶) = 0,99,<br>więc<br>𝑃(-|𝐶) = 0,01<br>𝑃(-|𝑍) = 0,98,<br>więc<br>𝑃(+|𝑍) = 0,02.<br>Stosujemy twierdzenie Bayesa i obliczamy szukane prawdopodobieństwo:<br>𝑃(𝐶|+) = 𝑃(+|𝐶) ⋅<br>𝑃(𝐶)<br>𝑃(+|𝑍) ⋅𝑃(𝑍) + 𝑃(+|𝐶) ⋅𝑃(𝐶)<br>𝑃(𝐶|+) = 0,99 ⋅<br>0,002<br>0,02 ⋅0,998 + 0,99 ⋅0,002 ≈0,09<br>Zatem szukane prawdopodobieństwo wynosi ok. 0,09.<br>Przykładowe zadania z rozwiązaniami<br>97</p>","solutions":[]}