Zadanie 31. (0-4)
W pewnym mieście jest prostopadły układ ulic,
a ruch na każdej z nich jest dwukierunkowy. W
centrum miasta znajduje się park, gdzie
obowiązuje całkowity zakaz ruchu pojazdów.
Schemat ulic w tym mieście wraz z położeniem
parku przedstawiono poniżej na rysunku.
Tomek znajduje się w punkcie 𝐴 miasta i chce
dojechać najkrótszą drogą do punktu 𝐵.
Oblicz, ile jest najkrótszych dróg z 𝑨 do 𝑩.
𝐴
𝐵
starówka
98
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023
Wymagania ogólne
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.
2.
[…] operowanie informacjami przedstawionymi w tekście […] w formie wykresów,
diagramów […].
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
2.
Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów
praktycznych i teoretycznych.
IV. Rozumowanie i argumentacja.
4.
Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiazywaniu zadań, również w sytuacjach
nietypowych.
Wymagania szczegółowe
XI. Kombinatoryka. Zdający:
1R) oblicza
liczbę
możliwych
sytuacji,
spełniających
określone
kryteria,
z wykorzystaniem reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) oraz wzorów na
liczbę […] kombinacji […];
2R) stosuje współczynnik dwumianowy (symbol Newtona) i jego własności przy
rozwiązywaniu problemów kombinatorycznych.
Zasady oceniania
4 pkt - prawidłowa metoda wyznaczenia wszystkich najkrótszych dróg z 𝐴 do 𝐵 i prawidłowy
wynik.
3 pkt - obliczenie
liczby
wszystkich
najkrótszych
dróg
z
𝐴
do
𝐾
(gdzie
𝐾∈{𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹, 𝐺}).
2 pkt - zapisanie, że liczba wszystkich najkrótszych dróg z 𝐴 do 𝐵 przechodzących przez
punkt 𝐾 (gdzie 𝐾∈{𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹, 𝐺}) jest iloczynem liczby wszystkich najkrótszych dróg
z 𝐴 do 𝐾 i liczby wszystkich najkrótszych dróg z 𝐾 do 𝐵.
1 pkt - zapisanie, że każda najkrótsza droga z 𝐴 do 𝐵 musi przechodzić przez jeden
z punktów 𝐶- 𝐺.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
99
Przykładowe pełne rozwiązanie
W poniższym rozwiązaniu przez 𝑛(𝐾, 𝐿) rozumieć będziemy liczbę wszystkich najkrótszych
dróg z punktu 𝐾 do punktu 𝐿.
Zaznaczmy na schemacie ulic punkty 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹, 𝐺 (patrz rysunek 1.).
Zauważmy, że każda najkrótsza droga z 𝐴 do 𝐵 musi przechodzić przez któryś z punktów
𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹 lub 𝐺. Ponadto, liczba wszystkich najkrótszych dróg z 𝐴 do 𝐵 przechodzących
przez 𝐶 jest równa 𝑛(𝐴, 𝐶) ⋅𝑛(𝐶, 𝐵). Analogicznie, liczba wszystkich najkrótszych dróg z 𝐴
do 𝐵 przechodzących przez 𝐷 jest równa 𝑛(𝐴, 𝐷) ⋅𝑛(𝐷, 𝐵) itd.
Obliczymy 𝑛(𝐴, 𝐶), czyli liczbę wszystkich najkrótszych dróg z 𝐴 do 𝐶. Kierunek wyznaczony
na rysunku 1. przez prostą 𝐴𝐺 nazwiemy poziomym, a kierunek prostopadły do poziomego
2 poziomych i 9 pionowych. Wskazanie 2 odcinków (spośród 11), które mają być poziome,
określa nam jednoznacznie najkrótszą drogę z 𝐴 do 𝐶. Stąd najkrótszych dróg z 𝐴 do 𝐶
jest (11
2 ).
Na rysunku 2. przedstawiono najkrótszą drogę z 𝐴 do 𝐶, gdzie odcinki trzeci i ósmy są
poziome, a pozostałe - pionowe.
Na rysunku 3. przedstawiono najkrótszą drogę z 𝐴 do 𝐶, która odpowiada wyborowi odcinków
szóstego i jedenastego jako odcinków poziomych.
Rysunek 1.
𝐹
𝐺
𝐸
𝐶
𝐷
𝐴
𝐵
park
100
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023
Podobnie rozumując, otrzymujemy
𝑛(𝐴, 𝐶) ⋅𝑛(𝐶, 𝐵) = (11
2 ) ⋅(13
0 ) = 55 ⋅1 = 55
𝑛(𝐴, 𝐷) ⋅𝑛(𝐷, 𝐵) = (11
3 ) ⋅(13
1 ) = 165 ⋅13 = 2145
𝑛(𝐴, 𝐸) ⋅𝑛(𝐸, 𝐵) = (11
4 ) ⋅(13
2 ) = 330 ⋅78 = 25740
𝑛(𝐴, 𝐹) ⋅𝑛(𝐹, 𝐵) = (13
1 ) ⋅(11
3 ) = 13 ⋅165 = 2145
𝑛(𝐴, 𝐺) ⋅𝑛(𝐺, 𝐵) = (13
0 ) ⋅(11
2 ) = 1 ⋅55 = 55
więc 𝑛(𝐴, 𝐵) = 55 + 2145 + 25740 + 2145 + 55 = 30140.
Rysunek 2.
𝐶
𝐴
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Rysunek 3.
𝐶
𝐴
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Informacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących
101
3.
Informacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla
absolwentów niesłyszących
Informacje o egzaminie maturalnym z matematyki przedstawione w rozdziale 1. Opis
egzaminu maturalnego z matematyki dotyczą również egzaminu dla absolwentów
niesłyszących. Ponadto zdający niesłyszący przystępują do egzaminu maturalnego
w warunkach i formie dostosowanych do potrzeb wynikających z ich niepełnosprawności.
Dostosowanie warunków przeprowadzenia egzaminu maturalnego dla absolwentów
niesłyszących obejmuje m.in. czas trwania egzaminu. Dostosowanie formy egzaminu
maturalnego z matematyki dla absolwentów niesłyszących polega na przygotowaniu
odpowiednich arkuszy, w których uwzględnia się zmianę sposobu formułowania treści
niektórych zadań i poleceń. Zmiany te dotyczą zamiany pojedynczych słów, zwrotów lub
całych zdań - jeśli mogłyby one być niezrozumiałe lub błędnie zrozumiane przez osoby
niesłyszące. Zadania mogą być dodatkowo uzupełnione szkicem, tabelą lub inną formą
graficzną ilustrującą ich treść. Jednak takie zmiany nie mogą wpływać na merytoryczną treść
zadania oraz nie mogą dotyczyć terminów typowych dla danej dziedziny wiedzy.
Szczegółowe informacje z tym związane określone są w Komunikacie dyrektora Centralnej
Komisji Egzaminacyjnej w sprawie szczegółowych sposobów dostosowania warunków i form
przeprowadzania egzaminu maturalnego w danym roku szkolnym.
W dalszej części tego rozdziału zostały przedstawione przykładowe zadania, które ilustrują
sposób dostosowania niektórych zadań wybranych z rozdziału 2. Przykładowe zadania
z rozwiązaniami. Zachowano tę samą numerację zadań.
102
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023
Zadanie 6. (0-4)
Funkcja kwadratowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑝𝑥2 + (𝑝-1)𝑥+ 1 -2𝑝 dla
każdego 𝑥∈ℝ.
Wyznacz wszystkie wartości parametru 𝒑, dla których funkcja 𝒇 ma dokładnie dwa
miejsca zerowe 𝒙𝟏 i 𝒙𝟐, których różnica równa się 𝟏.
Zasady oceniania
4 pkt - zapisanie zbioru tych wszystkich wartości parametru 𝑝, dla których funkcja ma dwa
dokładnie dwa miejsca zerowe różniące się o 1 .
3 pkt - zapisanie nierówności Δ > 0 w zależności od parametru 𝑝 i jej rozwiązanie oraz
zapisanie warunku |𝑥1 -𝑥2| = 1 w zależności od parametru 𝑝 i jego rozwiązanie.
2 pkt - zapisanie nierówności Δ > 0 w zależności od parametru 𝑝 i jej rozwiązanie
LUB
zapisanie warunku |𝑥1 -𝑥2| = 1 w zależności od parametru 𝑝 i jego rozwiązanie.
1 pkt - wyznaczenie warunków koniecznych i dostatecznych na to, aby funkcja 𝑓 miała
dokładnie dwa miejsca zerowe różniące się o 1.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Informacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących
103
Przykładowe pełne rozwiązanie
Wyznaczamy warunki konieczne i dostateczne na to, aby funkcja 𝑓 miała dokładnie dwa
miejsca zerowe, których różnica wynosi jeden:
W1. 𝑝≠0
(z treści zadania 𝑓 jest funkcją kwadratową)
W2. Δ > 0
(aby funkcja 𝑓 miała dokładnie dwa miejsca zerowe)
W3. |𝑥1 -𝑥2| = 1 (aby miejsca zerowe funkcji 𝑓 różniły się o 1).
Rozwiązujemy warunek W2:
Δ > 0
(𝑝-1)2 -4𝑝(1 -2𝑝) > 0
9𝑝2 -6𝑝+ 1 > 0
(3𝑝-1)2 > 0
𝑝∈(-∞, 1
3 , +∞)
Rozwiązujemy warunek W3. Skorzystamy tutaj ze wzorów Viète’a.
|𝑥1 -𝑥2| = 1
(𝑥1 -𝑥2)2 = 1
𝑥₁2 -2𝑥₁ ⋅𝑥₂ + 𝑥2² = 1
𝑥₁2 -2𝑥₁ ⋅𝑥₂ + 𝑥2² + 2𝑥₁ ⋅𝑥₂ -2𝑥₁ ⋅𝑥₂ = 1
(𝑥1 + 𝑥2)2 -4𝑥1 ⋅𝑥2 = 1
Gdy 𝑝≠0 mamy
(-𝑝-1
𝑝
)
2
-4 ⋅1 -2𝑝
𝑝
= 1
(𝑝-1)2 -4𝑝(1 -2𝑝) = 𝑝2
8𝑝2 -6𝑝+ 1 = 0
𝑝= 1
2 lub 𝑝= 1
4
Po uwzględnieniu wszystkich warunków otrzymujemy: 𝑝= 1
2 lub 𝑝= 1
4 .
104
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023
Zadanie 9. (0-4)
Syzyf codziennie próbuje wtoczyć ciężką kamienną
kulę na szczyt pewnej góry. Niestety, nie udaje mu
się osiągnąć celu.
Pracę zaczyna w chwili 𝑡= 0 od punktu 𝒪
oddalonego od szczytu o 4 km. Położenie 𝑠
Syzyfa wtaczającego kulę jest opisane równaniem
𝑠(𝑡) = -𝑡3 + 16,5𝑡2 + 180𝑡 dla 𝑡∈[0, 24]
gdzie 𝑠 jest wyrażone w metrach, a czas 𝑡 -
w godzinach.
Oś 𝒪𝑠 jest skierowana do wierzchołka góry i jest styczna w każdym punkcie do zbocza góry.
Oblicz najmniejszą odległość, na jaką Syzyf zbliży się do wierzchołka góry, oraz
maksymalną prędkość, z jaką wtacza kamień pod górę.
Zasady oceniania
4 pkt - poprawna metoda wyznaczenia najmniejszej odległości, na jaką Syzyf zbliży się do
wierzchołka góry, i poprawna metoda wyznaczenia największej wartości prędkości,
z jaką wtaczany jest kamień, wraz z prawidłowymi wynikami liczbowymi.
3 pkt - zapisanie, że prędkość jest pochodną funkcji położenia i znalezienie ekstremów
funkcji 𝑠′.
2 pkt - zbadanie monotoniczności funkcji 𝑠 i znalezienie ekstremów funkcji 𝑠.
1 pkt - obliczenie pochodnej funkcji 𝑠.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Informacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących
105
Przykładowe pełne rozwiązanie
Najpierw wyznaczymy najmniejszą odległość, na jaką Syzyf zbliży się do wierzchołka góry.
Obliczamy pochodną funkcji 𝑠:
𝑠′(𝑡) = -3𝑡2 + 33𝑡+ 180 dla
𝑡∈[0, 24]
i obliczamy jej miejsca zerowe:
𝑠′(𝑡) = 0
-3𝑡2 + 33𝑡+ 180 = 0
𝑡2 -11𝑡-60 = 0
Δ = 361
𝑡1 = 15 𝑡2 < 0
Ponieważ:
𝑠′(𝑡) > 0 dla 𝑡∈[0,15)
𝑠′(𝑡) < 0 dla 𝑡∈(15, 24]
więc
funkcja 𝑠 jest rosnąca w przedziale [0, 15]
funkcja 𝑠 jest malejąca w przedziale [15, 24]
Zatem dla 𝑡= 15 funkcja 𝑠 osiąga maksimum, 𝑠𝑚𝑎𝑥= 𝑠(15) = 3037,5. Syzyf po 15
godzinach pokonał 3037,5 m, a więc zbliżył się do wierzchołka góry na odległość
4000 -3037,5 = 962,5 m.
Obliczamy maksymalną wartość prędkości, z jaką Syzyf wtacza kulę.
Niech v oznacza prędkość Syzyfa wtaczającego kulę.
Ponieważ v = 𝑠′ , więc
v(𝑡) = 𝑠′(𝑡) = -3𝑡2 + 33𝑡+ 180 dla
𝑡∈[0, 24]
Korzystamy z własności funkcji kwadratowej i obliczamy największą wartość prędkości, z jaką
Syzyf wtacza kulę:
Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli 𝑦= -3𝑡2 + 33𝑡+ 180 ma wartość:
𝑝= -𝑏
2𝑎= -
33
2 ⋅(-3) = 11
2 ∈[0, 24]
Więc, 𝑣(11
2 ) = -3 (11
2 )
2
2 ) + 180 = 270,75 > 0
Zatem największa wartość prędkości, z jaką Syzyf wtacza kulę pod górę jest równa
270,75 m/h.
106
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023
Zadanie 10. (0-6)
Na rysunku poniżej przedstawiono położenie czterech miast 𝐴, 𝐵, 𝐶 i 𝐷 oraz przykładową
sieć dróg między nimi. Sieć trzeba tak zaprojektować, aby łączyła każde dwa z tych miast,
miała dwa węzły, a łączna długość jej dróg była możliwie najmniejsza. Punkty 𝐴, 𝐵, 𝐶 i 𝐷 to
wierzchołki kwadratu o boku 300 km.
Oblicz, jaka musi być długość najkrótszej takiej sieci dróg i gdzie muszą być
zlokalizowane węzły tej sieci.
𝐴
𝐶
𝐷
𝐵
węzły
300 km
300 km
Informacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących
107
Zasady oceniania
6 pkt - obliczenie długości najkrótszej sieci z dwoma węzłami i podanie lokalizacji węzłów
względem miast.
5 pkt - obliczenie długości najkrótszej sieci z dwoma węzłami.
4 pkt - obliczenie wartości najmniejszej funkcji 𝑓.
3 pkt - obliczenie pochodnej funkcji 𝑓.
2 pkt - wyrażenie długości sieci za pomocą odległości węzłów od prostych odpowiednio 𝐴𝐷
i 𝐵𝐶.
1 pkt - uzasadnienie, że węzły muszą się znajdować na symetralnej odcinka 𝐴𝐷.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Rozpatrzmy sieć dróg złożoną z odcinków 𝐴𝐾, 𝐾𝐿, 𝐿𝐶, 𝐵𝐿 i 𝐷𝐾 (zobacz rysunek 1.)
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝐾
𝐿
Rysunek 1.
108
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023
Prowadzimy prostą 𝑝 równoległą do 𝐴𝐷 i przechodzącą przez 𝐾 i zaznaczamy na niej
punkt 𝐾’ taki, że |𝐴𝐾′| = |𝐷𝐾′|.
Prowadzimy prostą równoległą do 𝐵𝐶 i przechodzącą przez 𝐿 i zaznaczamy na niej punkt 𝐿’
taki, że |𝐵𝐿′| = |𝐶𝐿′| (patrz rysunek 2.).
Pokażemy, że sieć dróg z węzłami 𝐾 i 𝐿 można zastąpić siecią krótszą - z węzłami 𝐾’ i 𝐿’.
Niech 𝐷’ będzie punktem symetrycznym do punktu 𝐷 względem prostej 𝑝. Wówczas punkty
𝐷’, 𝐾’ oraz 𝐴 są współliniowe, więc
|𝐷𝐾| + |𝐾𝐴| = |𝐷′𝐾| + |𝐾𝐴| ≥|𝐷′𝐴| = |𝐷𝐾′| + |𝐾′𝐴|.
Podobnie pokazujemy, że |𝐵𝐿| + |𝐿𝐶| ≥|𝐵𝐿′| + |𝐿′𝐶|. Ponadto odcinek 𝐾′𝐿′ jest
równoległy do prostej 𝐴𝐵, więc |𝐾′𝐿′| ≤|𝐾𝐿|. Zatem sieć dróg z węzłami 𝐾′ i 𝐿′ jest krótsza
niż z węzłami 𝐾 i 𝐿.
Oznaczmy odległość punktu 𝐾′ od prostej 𝐴𝐷 przez 𝑥, natomiast punktu 𝐿′ od prostej 𝐵𝐶
przez 𝑦 (zobacz rysunek 3).
Długość 𝑑 sieci z węzłami 𝐾′ i 𝐿′ jest równa
𝑑= 2√1502 + 𝑥2 + 2√1502 + 𝑦2 + 300 -𝑥-𝑦
gdzie 𝑥∈[0,300] i 0 ≤𝑥+ 𝑦< 300.
𝐴
𝐶
𝐷
𝐵
𝐾
𝐿
Rysunek 2.
𝐾′
𝐿′
𝑝
𝐶
𝐷
𝑥
Rysunek 3.
𝑦
𝐿′
𝐴
𝐵
𝐾′
Informacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących
109
Zauważmy, że funkcje 𝑓(𝑥) = 2√1502 + 𝑥2 -𝑥 i 𝑔(𝑦) = 2√1502 + 𝑦2 -𝑦 mają taką
samą postać, w związku z tym zbadamy tylko funkcję 𝑓(𝑥) = 2√1502 + 𝑥2 -𝑥 określoną
dla 𝑥∈[0,300].
𝑓′(𝑥) = 2 ⋅1
2 ⋅
1
√1502 + 𝑥2 ⋅2𝑥-1 =
2𝑥
√1502 + 𝑥2 -1
𝑓′(𝑥) = 0
2𝑥
√(1502 + 𝑥2)
= 1
4𝑥2 = 𝑥2 + 1502
𝑥= 50√3
𝑓′(𝑥) > 0 ⟺ 𝑥∈(50√3, 300]
𝑓′(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥∈[0,50√3)
Funkcja 𝑓 jest malejąca w przedziale [0, 50√3] i rosnąca w przedziale [50√3, 300].
Najmniejszą wartość funkcja przyjmuje w punkcie 𝑥= 50√3 i wartość ta jest równa
𝑓(50√3) = 150√3.
Zatem
𝑑= 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) + 300 ≥300(1 + √3)
przy czym równość zachodzi tylko wtedy, gdy 𝑥= 𝑦= 50√3. Najkrótsza sieć dróg ma zatem
długość 300(1 + √3) km i składa się z 5 odcinków: 𝐴𝐾′, 𝐾′𝐿′, 𝐿′𝐶, 𝐵𝐿′ i 𝐷𝐾′.
Węzeł 𝐾′ jest równo oddalony (w odległości 100√3 km) od miast 𝐴 i 𝐷, natomiast węzeł 𝐿′
jest równo oddalony (w odległości 100√3 km) od miast 𝐵 i 𝐶 (patrz rysunek 3.).
Zauważmy jeszcze, że w przypadku sieci dróg z jednym węzłem, najkrótsza taka sieć będzie
miała długość równą 600√2 km (i węzeł w środku kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷). Będzie więc dłuższa
niż sieć z dwoma węzłami.
110
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023
Zadanie 19. (0-4)
Na rysunku obok przedstawiono położenie miejscowości
𝐴, 𝐵 i 𝐶 oraz zaznaczono odległości między nimi.
O godzinie 9:00 z miejscowości 𝐴 do 𝐶 wyruszyli
harcerze
z
zastępu
„Tropiciele”
i
maszerowali
z prędkością 4 km/h. O tej samej godzinie z miejscowości
𝐵 do 𝐴 wyruszyli harcerze z zastępu „Korsarze”
i maszerowali z prędkością 2 km/h.
Wyznacz godzinę, o której odległość między tymi zastępami harcerzy będzie
najmniejsza.
𝐴
𝐵
𝐶
15 km
20 km
Informacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących
111
Zasady oceniania
dla rozwiązania sposobem 1.
4 pkt - prawidłowa metoda wyznaczenia chwili, w której odległość między zastępami będzie
najmniejsza i prawidłowa odpowiedź.
3 pkt - uzasadnienie, że odległość 𝑑 jest najmniejsza wtedy, gdy wyrażenie
podpierwiastkowe 20𝑡2 -60𝑡+ 225 jest możliwie najmniejsze oraz podanie zakresu
zmienności 𝑡.
2 pkt - wyrażenie odległości 𝑑 między zastępami za pomocą czasu 𝑡, jaki upłynął od
momentu wyruszenia zastępów.
1 pkt - wyrażenie odległości poszczególnych zastępów od miejscowości 𝐴 za pomocą czasu,
jaki upłynął od momentu wyruszenia zastępów.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
dla rozwiązania sposobem 2.
4 pkt - uzasadnienie (np. poprzez zbadanie monotoniczności), że dla 𝑡= 1,5 funkcja 𝑑(𝑡)
osiąga minimum globalne i podanie prawidłowej odpowiedzi.
3 pkt - podanie dziedziny funkcji 𝑑(𝑡), obliczenie pochodnej funkcji 𝑑(𝑡) i znalezienie
punktów krytycznych.
2 pkt - wyrażenie odległości 𝑑 między zastępami za pomocą czasu 𝑡, jaki upłynął od
momentu wyruszenia zastępów.
1 pkt - wyrażenie odległości poszczególnych zastępów od miejscowości 𝐴 za pomocą czasu,
jaki upłynął od momentu wyruszenia zastępów.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
Niech 𝑑1 będzie odległością (w km) zastępu „Tropiciele” od miejscowości 𝐴.
Wyznaczamy zależność 𝑑1 od czasu 𝑡 (w godzinach), jaki upłynął od chwili wyruszenia
zastępu z miejscowości 𝐴:
𝑑1(𝑡) = 4𝑡
dla 𝑡∈[0, 5],
gdzie 4 to prędkość (w km/h) marszu „Tropicieli”.
Niech 𝑑2 będzie odległością (w km) zastępu „Korsarze” od miejscowości 𝐴.
Wyznaczamy zależność 𝑑2 od czasu 𝑡 (w godzinach), jaki upłynął od chwili wyruszenia
zastępu z miejscowości B:
𝑑2(𝑡) = 15 -2𝑡 dla 𝑡∈[0, 15
2 ],
gdzie 2 to prędkość (w km/h) marszu „Korsarzy”.
Odległość 𝑑 między zastępami w chwili 𝑡 jest równa
𝑑(𝑡) = √𝑑1
2(𝑡) + 𝑑2
2(𝑡) = √16𝑡2 + (15 -2𝑡)2 dla 𝑡∈[0, 15
2 ].
112
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023
Badamy, dla jakiego argumentu 𝑡∈[0, 15
2 ] funkcja 𝑑 osiąga wartość najmniejszą.
Ponieważ funkcja 𝑔(𝑥) = √𝑥 jest funkcją rosnącą w przedziale [0, +∞), więc funkcja 𝑑
osiąga wartość najmniejszą wtedy, gdy funkcja
𝑓(𝑡) = 16𝑡2 + (15 -2𝑡)2 = 20𝑡2 -60𝑡+ 225 określona dla 𝑡∈[0, 15
2 ]
osiąga wartość najmniejszą.
Funkcja 𝑓(𝑡) = 20𝑡2 -60𝑡+ 225 jest funkcją kwadratową, osiąga więc wartość
najmniejszą dla argumentu 𝑡 równego
𝑡= --60
2⋅20 = 1,5 ∈[0, 15
2 ].
Zatem funkcja 𝑑 osiąga wartość najmniejszą dla argumentu 𝑡= 1,5.
Odległość między zastępami harcerzy będzie najmniejsza po upływie półtorej godziny, czyli
o godzinie 10:30.
Sposób 2.
Niech 𝑑1 będzie odległością (w km) zastępu „Tropiciele” od miejscowości 𝐴.
Wyznaczamy zależność 𝑑1 od czasu 𝑡 (w godzinach), jaki upłynął od chwili wyruszenia
zastępu z miejscowości 𝐴:
𝑑1(𝑡) = 4𝑡
dla 𝑡∈[0, 5], gdzie 4 to prędkość (w km/h) marszu „Tropicieli”.
Niech 𝑑2 będzie odległością (w km) zastępu „Korsarze” od miejscowości 𝐴.
Wyznaczamy zależność 𝑑2 od czasu 𝑡 (w godzinach), jaki upłynął od chwili wyruszenia
zastępu z miejscowości 𝐵:
𝑑2(𝑡) = 15 -2𝑡 dla 𝑡∈[0, 15
2 ], gdzie 2 to prędkość (w km/h) marszu „Korsarzy”.
Odległość 𝑑 między zastępami w chwili 𝑡 wynosi
𝑑(𝑡) = √𝑑1
2(𝑡) + 𝑑2
2(𝑡) = √16𝑡2 + (15 -2𝑡)2 dla 𝑡∈[0, 15
2 ].
Badamy, dla jakiego argumentu 𝑡∈[0, 15
2 ] funkcja 𝑑 osiąga wartość najmniejszą.
Obliczamy pochodną funkcji 𝑑:
𝑑′(𝑡) = (√16𝑡2 + (15 -2𝑡)2)
′
⋅[16𝑡2 + (15 -2𝑡)2]′ =
1
2√16𝑡2 + (15 -2𝑡)2 ⋅[32𝑡+ 2 ⋅(15 -2𝑡) ⋅(-2)] =
20𝑡-30
√16𝑡2 + (15 -2𝑡)2
Informacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących
113
dla 𝑡∈[0, 15
2 ].
Wyznaczamy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑑:
20𝑡-30
√16𝑡2 + (15 -2𝑡)2 = 0
20𝑡-30 = 0
𝑡= 3
2 ∈[0, 15
2 ]
Sprawdzamy, czy w punkcie 𝑡= 3
2 funkcja 𝑑 osiąga ekstremum.
Badamy monotoniczność funkcji 𝑑. Ponieważ
𝑑′(𝑡) > 0 dla 𝑡∈(3
2 , 15
2 ]
𝑑′(𝑡) < 0 dla 𝑡∈[0, 3
2)
więc
funkcja 𝑑 jest rosnąca w przedziale [3
2 , 15
2 ]
funkcja 𝑑 jest malejąca w przedziale [0, 3
2],
co oznacza, że w punkcie 𝑡= 1,5 funkcja 𝑑 osiąga wartość najmniejszą.
Odległość między zastępami harcerzy będzie najmniejsza po upływie półtorej godziny, czyli
o godzinie 10:30.
114
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023
Zadanie 21. (0-5)
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 punkt 𝑂 jest środkiem symetrii podstawy
ostrosłupa. Stosunek obwodu podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷 do sumy długości wszystkich krawędzi
ostrosłupa jest równy 1: 5. Przez przekątną 𝐴𝐶 podstawy i środek 𝑆 krawędzi bocznej 𝐵𝐸
poprowadzono płaszczyznę (patrz rysunek ).
Oblicz stosunek pola otrzymanego przekroju do pola podstawy ostrosłupa oraz miarę
kąta 𝑩𝑺𝑶 (w zaokrągleniu do 𝟏°).
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝐸
𝑆
𝑂
𝛼
Informacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących
115
Zasady oceniania
dla rozwiązań sposobami 1. oraz 2.
5 pkt - wyznaczenie miary kąta 𝐵𝑆𝑂 oraz obliczenie stosunku pola przekroju do pola
podstawy ostrosłupa.
4 pkt - obliczenie wartości cosinusa kąta 𝐵𝑆𝑂 oraz stosunku pola przekroju do pola podstawy
ostrosłupa
LUB
wyznaczenie miary kąta 𝐵𝑆𝑂.
3 pkt - obliczenie stosunku pola przekroju do pola podstawy ostrosłupa
LUB
obliczenie wartości cosinusa kąta 𝐵𝑆𝑂.
2 pkt - wyznaczenie długości odcinka 𝑂𝑆 w zależności od długości krawędzi podstawy.
1 pkt - wyznaczenie długości krawędzi bocznej w zależności od długości krawędzi podstawy.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
dla rozwiązania sposobem 3.
5 pkt - wyznaczenie miary kąta 𝐵𝑆𝑂 oraz obliczenie stosunku pola przekroju do pola
podstawy ostrosłupa.
4 pkt - obliczenie cosinusa kąta 𝑂𝐸𝐵 lub 𝐹𝐵𝑆.
116
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023
3 pkt - obliczenie stosunku pola przekroju do pola podstawy ostrosłupa.
2 pkt - wyznaczenie długości odcinków 𝑆𝐹 i 𝑂𝐹.
1 pkt - wyznaczenie długości krawędzi bocznej w zależności od długości krawędzi podstawy.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku 1.
Wyznaczamy zależność 𝑏 od 𝑎.
Z treści zadania wiemy, że stosunek obwodu podstawy do
sumy długości wszystkich krawędzi ostrosłupa jest równy 1: 5,
więc
4𝑎
4𝑎+4𝑏=
1
5 , co daje 𝑏= 4𝑎.
Wyznaczamy zależność |𝑂𝑆 | od 𝑎.
Trójkąt 𝑂𝐵𝐸 jest
prostokątny,
punkt 𝑆 jest
środkiem
przeciwprostokątnej, więc 𝑆 jest środkiem okręgu opisanego
na trójkącie 𝑂𝐵𝐸 (patrz rysunek 2.).
Zatem |𝑂𝑆| = 2𝑎.
Obliczamy stosunek pola przekroju 𝐴𝐶𝑆 do pola podstawy
ostrosłupa:
𝑃𝐴𝐶𝑆
𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷
1
2 ⋅𝑎√2 ⋅|OS|
𝑎2
1
2 ⋅𝑎√2 ⋅2𝑎
𝑎2
= √2
𝑂
𝐵
𝐸
𝑆
α
2𝑎
2𝑎
Rysunek 2.
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝐸
𝑆
𝑂
𝛼
Rysunek 1.
𝑎
𝑏
Informacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących
117
Do trójkąta 𝐵𝑆𝑂 zastosujemy twierdzenie cosinusów w celu obliczenia cosinusa kąta 𝐵𝑆𝑂:
(𝑎√2
2 )
2
= (2𝑎)2 + (2𝑎)2 -2 ⋅2𝑎⋅2𝑎⋅cos 𝛼
Z ostatniego równania otrzymujemy cos 𝛼= 15
16 , więc 𝛼≈20°.
Sposób 2.
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku 1.
Wyznaczamy zależność 𝑏 od 𝑎.
Z treści zadania wiemy, że stosunek obwodu podstawy do sumy długości wszystkich krawędzi
ostrosłupa jest równy 1: 5, więc
4𝑎
4𝑎+4𝑏= 1
5 , co daje 𝑏= 4𝑎.
Dla trójkąta 𝐵𝐸𝐶 zastosujemy twierdzenie cosinusów w celu obliczenia cosinusa kąta 𝐵𝐸𝐶:
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑏2 -2 ⋅𝑏⋅𝑏⋅cos |∡𝐵𝐸𝐶|
𝑎2 = 16𝑎2 + 16𝑎2 -2 ⋅4𝑎⋅4𝑎⋅cos |∡𝐵𝐸𝐶|
cos |∡𝐵𝐸𝐶| = 31
32
Korzystamy z twierdzenia cosinusów zastosowanego do trójkąta 𝐶𝑆𝐸 i wyznaczamy długość
odcinka SC:
|𝑆𝐶|2 = 𝑏2 + (1
2 𝑏)
2
-2 ⋅1
2 𝑏⋅𝑏⋅cos |∡𝐵𝐸𝐶|
|𝑆𝐶|2 = 16𝑎2 + 4𝑎2 -16𝑎2 ⋅31
32
|𝑆𝐶|2 = 9
2 𝑎2
|𝑆𝐶| = 3𝑎
√2
Stosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝑂𝐶𝑆 w celu wyznaczenia długości odcinka 𝑂𝑆:
|𝑂𝑆|2 = |𝑆𝐶|2 -(√2𝑎
2 )
2
|𝑂𝑆|2 = 9
2 𝑎2 -1
2 𝑎2
|𝑂𝑆| = 2𝑎
118
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023
Obliczamy stosunek pola przekroju 𝐴𝐶𝑆 do pola podstawy ostrosłupa:
𝑃𝐴𝐶𝑆
𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷
1
2 ⋅𝑎√2 ⋅|OS|
𝑎2
1
2 ⋅𝑎√2 ⋅2𝑎
𝑎2
= √2
W celu obliczenia cosinusa kąta 𝐵𝑆𝑂 zastosujemy do trójkąta 𝐵𝑆𝑂 (patrz rysunek 2.)
twierdzenie cosinusów:
(𝑎√2
2 )
2
= (2𝑎)2 + (2𝑎)2 -2 ⋅2𝑎⋅2𝑎⋅cos 𝛼
Z ostatniego równania otrzymujemy cos 𝛼= 15
16 , więc 𝛼≈20°.
Sposób 3.
Wyznaczamy zależność 𝑏 od 𝑎.
Z treści zadania wiemy, że stosunek obwodu podstawy do sumy długości wszystkich krawędzi
ostrosłupa jest równy 1: 5, więc
4𝑎
4𝑎+4𝑏= 1
5 , co daje 𝑏= 4𝑎.
Stosujemy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego 𝐵𝑂𝐸 i obliczamy długość
odcinka 𝑂𝐸:
|𝑂𝐸|2 = |𝐵𝐸|2 -|𝑂𝐵|2
|𝑂𝐸|2 = (4𝑎)² -(𝑎√2
2 )
2
|𝑂𝐸|2 = 62
4 𝑎2
|𝑂𝐸| = √62
2 𝑎
Oznaczmy przez 𝐹 rzut prostokątny punktu 𝑆 na odcinek 𝑂𝐵.
Ponieważ |∡𝑂𝐸𝐵| = |∡𝐹𝑆𝐵|, |∡𝑂𝐵𝐸| = |∡𝐹𝐵𝑆| i trójkąty 𝐵𝑂𝐸 oraz 𝐵𝐹𝑆 są prostokątne,
więc są podobne (na mocy cechy kkk podobieństwa trójkątów). Trójkąty 𝐵𝑂𝐸 i 𝐵𝐹𝑆 są
podobne w skali 𝑘=
|𝐵𝐸|
|𝐵𝑆| = 4𝑎
2𝑎= 2. Zatem 𝐹 jest środkiem odcinka 𝑂𝐵, więc
|𝑂𝐹| = 1
2 |𝑂𝐵| = 𝑎√2
4 oraz |𝑆𝐹| = 1
2 |𝑂𝐸| = √62
4 𝑎
Informacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących
119
Obliczamy długość odcinka 𝑂𝑆:
|𝑂𝑆|2 = |𝑂𝐹|2 + |𝑆𝐹|2
|𝑂𝑆|2 = (𝑎√2
4 )
2
4 𝑎)
2
|𝑂𝑆| = 2𝑎
Obliczamy stosunek pola przekroju 𝐴𝐶𝑆 do pola podstawy ostrosłupa:
𝑃𝐴𝐶𝑆
𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷
1
2 ⋅𝑎√2 ⋅|OS|
𝑎2
1
2 ⋅𝑎√2 ⋅2𝑎
𝑎2
= √2
Ponieważ
cos|∡𝐹𝑆𝐵| = |𝐹𝑆|
|𝐵𝑆| =
√62
4 𝑎
2𝑎
= √62
8
i trójkąt 𝑂𝑆𝐵 jest równoramienny, więc 𝛼= 2 ⋅|∡𝐹𝑆𝐵|. Zatem
cos 𝛼= cos(2 ⋅|∡𝐹𝑆𝐵|) = 2 cos2|∡𝐹𝑆𝐵| -1 = 2 ⋅(√62
8 )
2
-1 = 15
16
skąd 𝛼≈20°.
Zadanie 23. (0-4)
Trapez 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest wpisany w okrąg o równaniu 𝑥2 + 𝑦2 -38𝑥+ 22𝑦-96 = 0.
Odcinek 𝐴𝐵 jest dłuższą podstawą tego trapezu. Jego przekątna 𝐴𝐶 jest zawarta w prostej
o równaniu 𝑦= 𝑥. Wierzchołek 𝐴 trapezu ma obie współrzędne ujemne.
Oblicz sinus kąta 𝑨𝑩𝑪.
120
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023
Zasady oceniania
dla rozwiązania sposobem 1.
4 pkt - zastosowanie twierdzenia sinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 i obliczenie sinusa kąta 𝐴𝐵𝐶.
3 pkt - obliczenie długości promienia okręgu oraz długości odcinka |𝐴𝐶|.
2 pkt - obliczenie długości promienia oraz współrzędnych wierzchołków 𝐴 i 𝐶 trapezu
LUB
obliczenie współrzędnych wierzchołków 𝐴 i 𝐶 trapezu oraz obliczenie długości
odcinka 𝐴𝐶.
1 pkt - obliczenie długości promienia okręgu
LUB
obliczenie współrzędnych wierzchołków 𝐴 i 𝐶 trapezu.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
dla rozwiązania sposobem 2.
4 pkt - zastosowanie twierdzenia sinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 i obliczenie sinusa kąta 𝐴𝐵𝐶.
3 pkt - obliczenie długości odcinka 𝐴𝐶.
2 pkt - obliczenie odległości środka okręgu od prostej zawierającej przekątną 𝐴𝐶 trapezu.
1 pkt - obliczenie długości promienia okręgu.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Informacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących
121
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
Obliczamy długość promienia 𝑅 okręgu z równania ogólnego okręgu.
Gdy 𝑥2 + 𝑦2 -2𝑎𝑥-2𝑏𝑦+ 𝑐= 0, to 𝑅2 = 𝑎2 + 𝑏2 -𝑐.
𝑅2 = (38
2 )
2
2 )
2
-(-96) = 578
𝑅= 17√2
Obliczamy współrzędne wierzchołków 𝐴 i 𝐶 trapezu, czyli punkty przecięcia okręgu i prostej:
{𝑥2 + 𝑦2 -38𝑥+ 22𝑦-96 = 0
𝑦= 𝑥
𝑥2 + 𝑥2 -38𝑥+ 22𝑥-96 = 0
2𝑥2 -16𝑥-96 = 0
Po rozwiązaniu równania otrzymujemy: 𝑥= -4 lub 𝑥= 12.
Gdy 𝑥= -4, to 𝑦= -4. Gdy 𝑥= 12, to 𝑦= 12.
Ponieważ wierzchołek 𝐴 trapezu ma obie współrzędne ujemne, więc otrzymujemy
𝐴= (-4, -4) oraz 𝐶= (12, 12).
Obliczamy długość odcinka 𝐴𝐶:
|𝐴𝐶| = √(12 + 4)2 + (12 + 4)2 = 16√2
Po zastosowaniu twierdzenia sinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 otrzymujemy
|𝐴𝐶|
sin |∡𝐴𝐵𝐶| = 2𝑅
sin |∡𝐴𝐵𝐶| = |𝐴𝐶|
2𝑅= 16√2
34√2
= 8
17
Sposób 2.
Obliczamy współrzędne środka 𝑆 okręgu i długość 𝑅 promienia okręgu:
𝑥2 + 𝑦2 -38𝑥+ 22𝑦-96 = 0
(𝑥-19)2 -361 + (𝑦+ 11)2 -121 -96 = 0
(𝑥-19)2 + (𝑦+ 11)2 = (17√2)
2
Zatem środek 𝑆 okręgu ma współrzędne 𝑆= (19, -11), a promień okręgu ma długość
𝑅= 17√2.
122
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023
Niech 𝐸 będzie środkiem odcinka 𝐴𝐶. Obliczamy |𝑆𝐸| jako odległość punktu 𝑆 od
prostej 𝐴𝐶 o równaniu 𝑥-𝑦= 0:
𝑑(𝑆, 𝐴𝐶) = |𝑆𝐸| =
|19 + 11|
√2
= 15√2
Stosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝐶𝐸𝑆 w celu obliczenia długości odcinka 𝐸𝐶
(połowa długości przekątnej 𝐴𝐶 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷):
|𝐸𝐶|2 = 𝑅2 -|𝑆𝐸|2
|𝐸𝐶|2 = (17√2)
2 -(15√2)
2 = 128
Zatem |𝐴𝐶| = 2 ⋅|𝐸𝐶| = 16√2.
Po zastosowaniu twierdzenia sinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 otrzymujemy
|𝐴𝐶|
sin |∡𝐴𝐵𝐶| = 2𝑅
sin |∡𝐴𝐵𝐶| =
|𝐴𝐶|
2𝑅= 16√2
34√2
= 8
17
Zadanie 27. (0-4)
Celem wyprawy Tomka i Marka jest zdobycie
szczytu 𝑆 pewnej góry. Wyprawę panowie
rozpoczynają w punkcie 𝑃 położonym na
północnym stoku góry, dokładnie na północ od
szczytu, na wysokości 𝐻0 metrów n.p.m. Tomek
i Marek chcą najpierw dojść do bazy 𝐵, znajdującej
się
dokładnie
na
południe
od
szczytu,
na
przeciwległym południowym stoku góry na wysokości
𝐻1 metrów n.p.m. Następnie z bazy chcą wejść na
szczyt leżący na wysokości 𝐻2 metrów n.p.m. (patrz
rysunek 1.).
Oblicz długość najkrótszej drogi, jaką muszą
pokonać, aby dojść do bazy B.
Przyjmij, że góra jest stożkiem o kącie rozwarcia 𝛼.
Wskazówka: Powierzchnia boczna stożka po rozcięciu
wzdłuż tworzącej i rozłożeniu jest wycinkiem koła.
Najkrótsza droga do bazy jest równa najkrótszej drodze
z punktu 𝑃 do 𝐵 na wycinku koła.
𝑆
𝛼
𝐵
𝑃
Rys. 1.
Informacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących
123
Zasady oceniania
4 pkt - prawidłowa metoda obliczenia długości odcinka 𝑃𝐵 na siatce stożka i prawidłowy
wynik.
3 pkt - obliczenie miary łukowej kąta 𝐵𝑆𝑃 na siatce stożka i obliczenie długości odcinków
|𝐵𝑆| oraz |𝑃𝑆|.
2 pkt - obliczenie miary łukowej kąta 𝐵𝑆𝑃 na siatce stożka
LUB
obliczenie długości odcinków |𝐵𝑆| oraz |𝑃𝑆|.
1 pkt - zapisanie, że najkrótsza droga jest równa długości odcinka 𝑃𝐵 na siatce stożka.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Niech 𝑙 będzie długością tworzącej stożka, a 𝑟 - długością promienia podstawy.
Rozwiniemy powierzchnię boczną stożka, na której zaznaczymy punkty 𝑃, 𝐵 i 𝑆,
oznaczające: 𝑃- miejsce rozpoczęcia wyprawy, 𝐵-miejsce położenia bazy i 𝑆-szczyt góry.
Długość odcinka 𝑃𝐵 oznaczymy jako 𝑑. Jest to długość najkrótszej drogi z punktu 𝑃 do
bazy (zobacz rys. 1.).
124
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023
Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu jest wycinkiem koła o promieniu długości 𝑙.
Wyznaczymy miarę 𝛽 kąta środkowego tego wycinka.
Ze wzorów na pole powierzchni bocznej stożka oraz pole wycinka koła otrzymujemy
𝜋⋅𝑟⋅𝑙= 𝛽
2𝜋⋅𝜋⋅𝑙2
𝛽= 2𝜋⋅𝑟
𝑙
Zatem
|∡𝐵𝑆𝑃| = 1
2 𝛽= 𝜋⋅𝑟
𝑙
Kąt rozwarcia stożka jest równy 𝛼, więc 𝑟
𝑙= sin 𝛼
2 (patrz rysunek 2.), co po podstawieniu do
poprzedniego równania daje
|∡𝐵𝑆𝑃| = 𝜋⋅sin 𝛼
2
Wyrazimy długości odcinków 𝐵𝑆 oraz 𝑃𝑆 w zależności od danych podanych w treści
zadania.
Rozważmy przekrój osiowy stożka zawierający
punkty 𝐵, 𝑃 oraz 𝑆 (zobacz rys. 2.). Punkt 𝑆′ na
rysunku 2. jest rzutem prostokątnym punktu 𝑆 na
podstawę stożka, natomiast punkt 𝑄 - punktem
przecięcia tworzącej 𝑆𝐵 z podstawą stożka.
Z trójkątów 𝑆𝑆′𝑄 oraz 𝑆𝑇𝐵 otrzymujemy
|𝐵𝑆| = |𝑆𝑇|
cos 𝛼
2
oraz |𝑆𝑄| = |𝑆𝑆′|
cos 𝛼
2
𝑆
𝐵
𝑃
𝑑
Rysunek 1.
𝛼
2
𝛼
2
𝑆
𝑃
𝐵
𝑄
Rys. 2.
𝑆'
𝑇
𝑟
𝑙
Informacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących
125
Z treści zadania |𝑆𝑇| = 𝐻2 -𝐻1 oraz |𝑆𝑆′| = 𝐻2 -𝐻0, więc
|𝐵𝑆| = 𝐻2 -𝐻1
cos 𝛼
2
oraz |𝑃𝑆| = |𝑆𝑄| = 𝐻2 -𝐻0
cos 𝛼
2
Stosujemy twierdzenie cosinusów do trójkąta 𝐵𝑆𝑃: i obliczamy |𝑃𝐵|:
|𝑃𝐵|2 = |𝑃𝑆|2 + |𝐵𝑆|2 -2 ⋅|𝑃𝑆| ⋅|𝐵𝑆| ⋅cos |∡𝐵𝑆𝑃|
𝑑= √(𝐻2 -𝐻0
cos 𝛼
2
)
2
cos 𝛼
2
)
2
-2(𝐻2 -𝐻0)(𝐻2 -𝐻1)
(cos 𝛼
2)
2
⋅cos (𝜋⋅sin 𝛼
2)
𝑑=
√(𝐻2 -𝐻0)2 + (𝐻2 -𝐻1)2 -2(𝐻2 -𝐻0)(𝐻2 -𝐻1) cos (𝜋⋅sin 𝛼
2)
cos 𝛼
2
Zadanie 29. (0-4)
Pan Nowak często gra z synem w szachy. Syn
częściej wygrywa niż ojciec. Pan Nowak obliczył, że
syn wygrywa 60% rozegranych partii.
Oblicz, ile partii szachów z synem musi rozegrać pan Nowak, aby prawdopodobieństwo
wygrania przez ojca przynajmniej jednej partii w całej rozgrywce było większe od 𝟎, 𝟗𝟓.
126
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023
Zasady oceniania
4 pkt - rozwiązanie nierówności: 1 -(0,6)𝑛> 0,95 i podanie odpowiedzi.
3 pkt - zastosowanie wzoru na prawdopodobieństwo uzyskania 𝑘 sukcesów w 𝑛 próbach
i zapisanie nierówności: 1 -(0,6)𝑛> 0,95.
2 pkt - zapisanie nierówności: 1 -𝑃(𝑆𝑛
1 pkt - obliczenie prawdopodobieństwa sukcesu i porażki.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Próbą Bernoullego jest rozegranie jednej partii szachów ojca z synem. Sukcesem w tej próbie
jest wygrana ojca.
Z treści zadania wynika, że 60% rozegranych partii wygrywa syn, czyli ojciec wygrywa 40%
rozegranych partii. W związku z tym prawdopodobieństwo sukcesu ojca w tej próbie jest
równe 𝑝= 0,4, natomiast prawdopodobieństwo porażki jest równe 𝑞= 0,6.
Niech 𝑛 oznacza szukaną liczbę partii oraz niech
𝑆𝑛
0 - oznacza niewygranie przez ojca żadnej partii szachów,
𝑆𝑛
1 - oznacza wygranie przez ojca jednej partii szachów,
𝑆𝑛
2 - oznacza wygranie przez ojca dwóch partii szachów,
⋮
𝑆𝑛
𝑛 - oznacza wygranie przez ojca 𝑛 partii szachów.
Korzystamy ze schematu Bernoullego. Prawdopodobieństwo wygrania przez pana Nowaka co
najmniej jednej partii szachów jest równe
𝑃(𝑆𝑛
1 ∪𝑆𝑛
2 ∪𝑆𝑛
3 ∪… ∪𝑆𝑛
𝑛) = 1 -𝑃(𝑆𝑛
0)
Zatem
1 -𝑃(𝑆𝑛
1 -(𝑛
\n1 -(0,6)𝑛> 0,95
(0,6)𝑛< 0,05
𝑛≥6
Pan Nowak musi rozegrać z synem co najmniej sześć partii.
Informacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących
127
Zadanie 30. (0-3)
Pewna choroba atakuje 0,2% całej populacji. W początkowym stadium nie daje widocznych
objawów chorobowych. W ramach profilaktyki, aby wcześniej wykryć chorobę, stosuje się
pewien test przesiewowy. Test ten może dać wynik pozytywny, oznaczający podejrzenie
choroby lub negatywny, gdy brak podejrzenia choroby.
Test ten czasami daje fałszywy wynik. Prawdopodobieństwo tego, że test wykonany na osobie
chorej da wynik pozytywny, jest równe 0,99. Prawdopodobieństwo tego, że test wykonany na
osobie zdrowej da wynik negatywny, jest równe 0,98.
Pan X poddał się testowi, który dał wynik pozytywny.
Oblicz prawdopodobieństwo tego, że Pan X jest naprawdę chory.
Zasady oceniania
3 pkt - poprawna metoda obliczenia szukanego prawdopodobieństwa i prawidłowy wynik.
2 pkt - zastosowanie wzoru Bayesa.
1 pkt - obliczenie prawdopodobieństw warunkowych 𝑃(-|𝐶) oraz 𝑃(+|𝑍).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Przyjmijmy następujące oznaczenia:
„+” - zdarzenie polegające na tym, że wylosowana osoba z populacji poddana testowi otrzyma
wynik pozytywny,
„-” - zdarzenie polegające na tym, że wylosowana osoba z populacji poddana testowi otrzyma
wynik negatywny,
𝐶 - zdarzenie polegające na tym, że wylosowana osoba z populacji jest chora.
𝑍 - zdarzenie polegające na tym, że wylosowana osoba z populacji jest zdrowa.
128
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023
Należy obliczyć 𝑃(𝐶|+), czyli prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że pan X
jest chory pod warunkiem otrzymania pozytywnego wyniku testu.
Ponieważ 0,2% populacji choruje na tę chorobę, to 99,8% populacji to ludzie zdrowi, stąd:
𝑃(𝐶) = 0,002
i
𝑃(𝑍) = 0,998.
Prawdopodobieństwo zdarzenia, że chora osoba ma pozytywny wynik testu wynosi 0,99, więc
prawdopodobieństwo, że ta osoba ma wynik negatywny, wynosi 1 -0,99 = 0,01. Stąd
𝑃(+|𝐶) = 0,99
i
𝑃(-|𝐶) = 0,01.
Prawdopodobieństwo zdarzenia, że zdrowa osoba ma negatywny wynik testu wynosi 0,98,
więc prawdopodobieństwo, że ta osoba ma wynik pozytywny, wynosi 1 -0,98 = 0,02. Stąd
𝑃(-|𝑍) = 0,98
i
𝑃(+|𝑍) = 0,02.
Stosujemy twierdzenie Bayesa i obliczamy szukane prawdopodobieństwo:
𝑃(𝐶|+) = 𝑃(+|𝐶) ⋅
𝑃(𝐶)
𝑃(+|𝑍) ⋅𝑃(𝑍) + 𝑃(+|𝐶) ⋅𝑃(𝐶)
𝑃(𝐶|+) = 0,99 ⋅
0,002
0,02 ⋅0,998 + 0,99 ⋅0,002 ≈0,09
Zatem szukane prawdopodobieństwo wynosi około 0,09.
Informacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących
129
Zadanie 31. (0-4)
W pewnym mieście jest prostopadły układ ulic,
to znaczy, że ulice przecinają się pod kątem
prostym.
Ruch
na
każdej
z
nich
jest
dwukierunkowy. W centrum miasta znajduje
się park, w którym obowiązuje całkowity zakaz
ruchu pojazdów. Schemat ulic w tym mieście
wraz z położeniem parku przedstawiono na
rysunku poniżej. Tomek samochodem chce
dojechać najkrótszą drogą z punktu 𝐴 miasta
do punktu 𝐵.
Oblicz, ile jest możliwości wyboru najkrótszej drogi z 𝑨 do 𝑩.
𝐴
𝐵
starówka
130
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023
Zasady oceniania
4 pkt - prawidłowa metoda wyznaczenia wszystkich najkrótszych dróg z 𝐴 do 𝐵 i prawidłowy
wynik.
3 pkt - obliczenie liczby wszystkich najkrótszych dróg z 𝐴 do 𝐾 (gdzie 𝐾∈{𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹, 𝐺}).
2 pkt - zapisanie, że liczba wszystkich najkrótszych dróg z 𝐴 do 𝐵 przechodzących przez
punkt 𝐾 (gdzie 𝐾∈{𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹, 𝐺}) jest iloczynem liczby wszystkich najkrótszych dróg
z 𝐴 do 𝐾 i liczby wszystkich najkrótszych dróg z 𝐾 do 𝐵.
1 pkt - zapisanie, że każda najkrótsza droga z 𝐴 do 𝐵 musi przechodzić przez jeden
z punktów 𝐶- 𝐺.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
W poniższym rozwiązaniu przez 𝑛(𝐾, 𝐿) rozumieć będziemy liczbę wszystkich najkrótszych
dróg z punktu 𝐾 do punktu 𝐿.
Zaznaczmy na schemacie ulic punkty 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹, 𝐺 (patrz rysunek 1.).
Informacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących
131
Zauważmy, że każda najkrótsza droga z 𝐴 do 𝐵 musi przechodzić przez któryś z punktów
𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹 lub 𝐺. Ponadto, liczba wszystkich najkrótszych dróg z 𝐴 do 𝐵 przechodzących
przez 𝐶 jest równa 𝑛(𝐴, 𝐶) ⋅𝑛(𝐶, 𝐵). Analogicznie, liczba wszystkich najkrótszych dróg z 𝐴
do 𝐵 przechodzących przez 𝐷 jest równa 𝑛(𝐴, 𝐷) ⋅𝑛(𝐷, 𝐵) itd.
Obliczymy 𝑛(𝐴, 𝐶), czyli liczbę wszystkich najkrótszych dróg z 𝐴 do 𝐶. Kierunek wyznaczony
na rysunku 1. przez prostą 𝐴𝐺 nazwiemy poziomym, a kierunek prostopadły do poziomego
2 poziomych i 9 pionowych. Wskazanie 2 odcinków (spośród 11), które mają być poziome,
określa nam jednoznacznie najkrótszą drogę z 𝐴 do 𝐶. Stąd najkrótszych dróg z 𝐴 do 𝐶
jest (11
2 ).
Na rysunku 2. przedstawiono najkrótszą drogę z 𝐴 do 𝐶, gdzie odcinki trzeci i ósmy są
poziome, a pozostałe - pionowe.
Na rysunku 3. przedstawiono najkrótszą drogę z 𝐴 do 𝐶, która odpowiada wyborowi odcinków
szóstego i jedenastego jako odcinków poziomych.
Rysunek 1.
𝐹
𝐺
𝐸
𝐶
𝐷
𝐴
𝐵
park
132
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023
Podobnie rozumując, otrzymujemy
𝑛(𝐴, 𝐶) ⋅𝑛(𝐶, 𝐵) = (11
2 ) ⋅(13
0 ) = 55 ⋅1 = 55
𝑛(𝐴, 𝐷) ⋅𝑛(𝐷, 𝐵) = (11
3 ) ⋅(13
1 ) = 165 ⋅13 = 2145
𝑛(𝐴, 𝐸) ⋅𝑛(𝐸, 𝐵) = (11
4 ) ⋅(13
2 ) = 330 ⋅78 = 25740
𝑛(𝐴, 𝐹) ⋅𝑛(𝐹, 𝐵) = (13
1 ) ⋅(11
3 ) = 13 ⋅165 = 2145
𝑛(𝐴, 𝐺) ⋅𝑛(𝐺, 𝐵) = (13
0 ) ⋅(11
2 ) = 1 ⋅55 = 55
więc 𝑛(𝐴, 𝐵) = 55 + 2145 + 25740 + 2145 + 55 = 30140.
Rysunek 2.
𝐶
𝐴
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Rysunek 3.
𝐶
𝐴
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Uchwała RGNiSW oraz KRASP o informatorach maturalnych od 2023 roku
135
Uchwała Rady Głównej Nauki i Szkolnictwa Wyższego
oraz Konferencji Rektorów Akademickich Szkół Polskich
o informatorach maturalnych od 2023 roku
Z opinii Recenzentów:
Zadania przedstawione w Informatorze na poziomie rozszerzonym pogrupowano
według szeroko rozumianych działów […].
Na poziomie rozszerzonym zrezygnowano z zadań zamkniętych […] zabieg ten może
lepiej sprawdzać umiejętności matematyczne ucznia.
Na szczególną uwagę zasługuje np. zadanie 4. Wprowadzone tam zostaje pojęcie
punktu kratowego. Zadanie sprawdza, czy uczeń rozumie pojęcia zbudowane na bazie
znanych sobie pojęć; jest to ważna umiejętność w rozwoju matematycznym […].
Bardzo interesujące i niestandardowe jest zadanie 31 […].
Koncepcja egzaminu maturalnego, która wybija się z Informatora, jest ewolucją
obecnego egzaminu maturalnego w kierunku jeszcze lepszego sprawdzania
umiejętności rozumowania, a nie mechanicznego rozwiązywania zadań […].
dr hab. Maciej Borodzik
Uważam, że bardzo trafną propozycją jest to, że wśród zadań znajdują się zadania
z kontekstem realistycznym/praktycznym. W celu rozwiązania takich zadań należy
stworzyć odpowiedni model matematyczny, a następnie wykonać w jego ramach
odpowiednie obliczenia. Przykładem takich zadań w Informatorze są zadania 10., 20.,
27., 30., 31. […].
Zachęcam nauczycieli i uczniów do szczegółowego zapoznania się z Informatorem,
stanowiącym ważną wskazówkę dydaktyczną w przygotowaniu do egzaminu
maturalnego z matematyki na poziomie rozszerzonym.
Ewa Dolaczyńska
Ogromną zaletą zaproponowanych zadań jest to, że niezależnie od rozbudowania
problemu i liczby punktów do zdobycia, proponowane problemy, sprawdzają
elementarne umiejętności niezbędne do realizacji zagadnienia na poziomie
rozszerzonym. Zarazem jednak zaproponowano także zadania wymagające
nietypowych, twórczych rozwiązań opartych na odpowiednich twierdzeniach
matematycznych. […] Autorzy zaproponowanych zadań w bardzo ciekawy sposób
wplatają treści i problemy umiejscowione w kontekście realistycznym do zadań
maturalnych. Zmuszają w ten sposób zdających do dogłębnej analizy problemu,
odnalezienia właściwego modelu matematycznego, ewentualnie wymyślenia własnej
strategii rozwiązania. […] Zadania te będą stanowić wyzwanie zarówno dla przyszłych
maturzystów, jak i ich nauczycieli, których zadaniem na najbliższe lata będzie
wykształcić w uczniach umiejętność twórczego, a nie odtwórczego podejścia do
problemu.
Agata Górniak
EGZAMIN
MATURALNY
Matematyka
ISBN 978-83-66725-06-5
9 7 8 8 3 6 6 7 2 5 0 6 5