{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad/6","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony","number":"6","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 6. (0-4)\nFunkcja kwadratowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑝𝑥2 + (𝑝-1)𝑥+ 1 -2𝑝 dla\nkażdego 𝑥∈ℝ.\nWyznacz wszystkie wartości parametru 𝒑, dla których funkcja 𝒇 ma dokładnie dwa\nmiejsca zerowe różniące się o 𝟏.\n22\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1.\nPrzeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania […].\nWymagania szczegółowe\nIII. Równania i nierówności. Zdający:\n3R) stosuje wzory Viète’a dla równań kwadratowych;\n5R) […] analizuje równania i nierówności kwadratowe z parametrami, w szczególności\nwyznacza liczbę rozwiązań w zależności od parametrów, podaje warunki, przy\nktórych rozwiązania mają żądaną własność, i wyznacza rozwiązania w zależności\nod parametrów.\nZasady oceniania\n4 pkt - zapisanie zbioru tych wszystkich wartości parametru 𝑝, dla których funkcja ma\ndokładnie dwa miejsca zerowe różniące się o 1 .\n3 pkt - zapisanie nierówności Δ > 0 w zależności od parametru 𝑝 i jej rozwiązanie oraz\nzapisanie warunku |𝑥1 -𝑥2| = 1 w zależności od parametru 𝑝 i jego rozwiązanie.\n2 pkt - zapisanie nierówności Δ > 0 w zależności od parametru 𝑝 i jej rozwiązanie\nLUB\nzapisanie warunku |𝑥1 -𝑥2| = 1 w zależności od parametru 𝑝 i jego rozwiązanie.\n1 pkt - wyznaczenie warunków koniecznych i dostatecznych na to, aby funkcja 𝑓 miała\ndokładnie dwa miejsca zerowe różniące się o 1.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nWyznaczamy warunki konieczne i dostateczne na to, aby funkcja 𝑓 miała dokładnie dwa\nmiejsca zerowe różniące się o jeden:\nW1. 𝑝≠0\n(z treści zadania 𝑓 jest funkcją kwadratową)\nW2. Δ > 0\n(aby funkcja 𝑓 miała dokładnie dwa miejsca zerowe)\nW3. |𝑥1 -𝑥2| = 1 (aby miejsca zerowe funkcji 𝑓 różniły się o 1).\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n23\nRozwiązujemy warunek W2:\nΔ > 0\n(𝑝-1)2 -4𝑝(1 -2𝑝) > 0\n9𝑝2 -6𝑝+ 1 > 0\n(3𝑝-1)2 > 0\n𝑝∈(-∞, 1\n3) ∪(1\n3 , +∞)\nRozwiązujemy warunek W3. Skorzystamy tutaj ze wzorów Viète’a.\n|𝑥1 -𝑥2| = 1\n(𝑥1 -𝑥2)2 = 1\n(𝑥1 + 𝑥2)2 -4𝑥1 ⋅𝑥2 = 1\nGdy 𝑝≠0 mamy\n(-𝑝-1\n𝑝\n)\n2\n-4 ⋅1 -2𝑝\n𝑝\n= 1\n(𝑝-1)2 -4𝑝(1 -2𝑝) = 𝑝2\n8𝑝2 -6𝑝+ 1 = 0\n𝑝= 1\n2 lub 𝑝= 1\n4\nPo uwzględnieniu wszystkich warunków otrzymujemy: 𝑝= 1\n2 lub 𝑝= 1\n4 .\n24\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nFUNKCJE, CIĄGI, TRYGONOMETRIA,\nOPTYMALIZACJA I RACHUNEK RÓŻNICZKOWY","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":21,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 6. (0-4)
Funkcja kwadratowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑝𝑥2 + (𝑝-1)𝑥+ 1 -2𝑝 dla
każdego 𝑥∈ℝ.
Wyznacz wszystkie wartości parametru 𝒑, dla których funkcja 𝒇 ma dokładnie dwa
miejsca zerowe różniące się o 𝟏.
22
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023
Wymaganie ogólne
IV. Rozumowanie i argumentacja.
1.
Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów
uzasadniających poprawność rozumowania […].
Wymagania szczegółowe
III. Równania i nierówności. Zdający:
3R) stosuje wzory Viète’a dla równań kwadratowych;
5R) […] analizuje równania i nierówności kwadratowe z parametrami, w szczególności
wyznacza liczbę rozwiązań w zależności od parametrów, podaje warunki, przy
których rozwiązania mają żądaną własność, i wyznacza rozwiązania w zależności
od parametrów.
Zasady oceniania
4 pkt - zapisanie zbioru tych wszystkich wartości parametru 𝑝, dla których funkcja ma
dokładnie dwa miejsca zerowe różniące się o 1 .
3 pkt - zapisanie nierówności Δ > 0 w zależności od parametru 𝑝 i jej rozwiązanie oraz
zapisanie warunku |𝑥1 -𝑥2| = 1 w zależności od parametru 𝑝 i jego rozwiązanie.
2 pkt - zapisanie nierówności Δ > 0 w zależności od parametru 𝑝 i jej rozwiązanie
LUB
zapisanie warunku |𝑥1 -𝑥2| = 1 w zależności od parametru 𝑝 i jego rozwiązanie.
1 pkt - wyznaczenie warunków koniecznych i dostatecznych na to, aby funkcja 𝑓 miała
dokładnie dwa miejsca zerowe różniące się o 1.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Wyznaczamy warunki konieczne i dostateczne na to, aby funkcja 𝑓 miała dokładnie dwa
miejsca zerowe różniące się o jeden:
W1. 𝑝≠0
(z treści zadania 𝑓 jest funkcją kwadratową)
W2. Δ > 0
(aby funkcja 𝑓 miała dokładnie dwa miejsca zerowe)
W3. |𝑥1 -𝑥2| = 1 (aby miejsca zerowe funkcji 𝑓 różniły się o 1).
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
23
Rozwiązujemy warunek W2:
Δ > 0
(𝑝-1)2 -4𝑝(1 -2𝑝) > 0
9𝑝2 -6𝑝+ 1 > 0
(3𝑝-1)2 > 0
𝑝∈(-∞, 1

\n
  1. ∪(1
\n

3 , +∞)
Rozwiązujemy warunek W3. Skorzystamy tutaj ze wzorów Viète’a.
|𝑥1 -𝑥2| = 1
(𝑥1 -𝑥2)2 = 1
(𝑥1 + 𝑥2)2 -4𝑥1 ⋅𝑥2 = 1
Gdy 𝑝≠0 mamy
(-𝑝-1
𝑝
)
2
-4 ⋅1 -2𝑝
𝑝
= 1
(𝑝-1)2 -4𝑝(1 -2𝑝) = 𝑝2
8𝑝2 -6𝑝+ 1 = 0
𝑝= 1
2 lub 𝑝= 1
4
Po uwzględnieniu wszystkich warunków otrzymujemy: 𝑝= 1
2 lub 𝑝= 1
4 .
24
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023
FUNKCJE, CIĄGI, TRYGONOMETRIA,
OPTYMALIZACJA I RACHUNEK RÓŻNICZKOWY

","solutions":[]}