{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad/7","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony","number":"7","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 7. (0-3)\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) =\n3𝑥\n𝑥+1 dla każdego 𝑥∈(-1; +∞).\nWykaż, że 𝑓 jest funkcją rosnąca.\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1.\nPrzeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.\nWymagania szczegółowe\nV. Funkcje. Zdający:\n3R) dowodzi monotoniczności funkcji zadanej wzorem.\nXIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy. Zdający:\n5R) stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n25\nZasady oceniania\ndla rozwiązań sposobami 1., 2. oraz 3.\n3 pkt - przeprowadzenie pełnego dowodu.\n2 pkt - poprawne określenie znaku\nróżnicy 𝑓(𝑥2) -𝑓(𝑥1) =\n3(𝑥2 -𝑥1)\n(𝑥2 + 1)(𝑥1 + 1) > 0\nLUB\npochodnej 𝑓′(𝑥) =\n3\n(𝑥+ 1)2 > 0\nLUB\nprzekształcenie nierówności 𝑥2 > 𝑥1 do postaci 3 -\n1\n𝑥1+1 < 3 -\n1\n𝑥2+1.\n1 pkt - przyjęcie założeń 𝑥1, 𝑥2 ∈(-1; +∞) i 𝑥2 > 𝑥1 oraz obliczenie różnicy\n𝑓(𝑥2) -𝑓(𝑥1) =\n3(𝑥2 -𝑥1)\n(𝑥2 + 1)(𝑥1 + 1)\nLUB\nprzyjęcie założenia 𝑥∈(-1;+∞) oraz obliczenie pochodnej\n𝑓′(𝑥) =\n3\n(𝑥+ 1)2\nLUB\nprzyjęcie założeń 𝑥1, 𝑥2 ∈(-1; +∞) i 𝑥2 > 𝑥1 oraz przekształcenie nierówności\n𝑥2 > 𝑥1 do postaci\n1\n𝑥2+1 <\n1\n𝑥1+1.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\ndla rozwiązań sposobami 4. oraz 5.\n3 pkt - przeprowadzenie pełnego dowodu.\n2 pkt - zapisanie, że wykres funkcji 𝑓 można otrzymać z przesunięcia wykresu funkcji 𝑔(𝑥) =\n-3\n𝑥 o wektor [-1, 3]\nLUB\nuzasadnienie, że wraz ze wzrostem liczby 𝑥> -1 wartość ułamka\n3\n𝑥+1\nzmniejsza się.\n1 pkt - zapisanie funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 3 -\n3\n𝑥+1 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1. (z wykorzystaniem definicji).\nNiech 𝑥1, 𝑥2 ∈(-1, +∞) oraz 𝑥2 > 𝑥1. Wtedy\n𝑓(𝑥2) -𝑓(𝑥1) =\n3𝑥2\n𝑥2 + 1 -\n3𝑥1\n𝑥1 + 1 = 3𝑥2(𝑥1 + 1) -3𝑥1(𝑥2 + 1)\n(𝑥2 + 1)(𝑥1 + 1)\n3(𝑥2 -𝑥1)\n(𝑥2 + 1)(𝑥1 + 1)\nDla 𝑥2 > 𝑥1 różnica 𝑥2 -𝑥1 jest dodatnia, ponadto dla 𝑥1, 𝑥2 ∈(-1, +∞) każda z sum\n26\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\n(𝑥2 + 1) oraz (𝑥1 + 1) jest dodatnia, więc iloraz\n3(𝑥2 -𝑥1)\n(𝑥2 + 1)(𝑥1 + 1) również jest dodatni.\nOznacza to, że 𝑓(𝑥2) > 𝑓(𝑥1) dla 𝑥1, 𝑥2 ∈(-1, +∞) oraz 𝑥2 > 𝑥1, zatem funkcja 𝑓 jest\nrosnąca w przedziale (-1, +∞).\nTo kończy dowód.\nSposób 2. (z wykorzystaniem rachunku różniczkowego).\nNiech 𝑥∈(-1, +∞). Obliczamy pochodną 𝑓′ funkcji 𝑓:\n𝑓′(𝑥) = (3𝑥)′ ⋅(𝑥+ 1) -(3𝑥) ⋅(𝑥+ 1)′\n(𝑥+ 1)2\n= 3(𝑥+ 1) -3𝑥⋅1\n(𝑥+ 1)2\n3\n(𝑥+ 1)2\ndla każdego 𝑥∈(-1, +∞).\nFunkcja 𝑓 jest różniczkowalna w przedziale (-1, +∞), a jej pochodna jest w każdym punkcie\ntego przedziału dodatnia. Zatem funkcja 𝑓 jest w tym przedziale rosnąca.\nTo kończy dowód.\nSposób 3. (oparty na definicji funkcji rosnącej).\nNiech 𝑥1, 𝑥2 ∈(-1, +∞) będą dwoma dowolnymi argumentami funkcji 𝑓. Załóżmy, że\n𝑥1 < 𝑥2. Wtedy\n0 < 𝑥1 + 1 < 𝑥2 + 1\nDzieląc obie strony tej nierówności przez liczbę dodatnią (𝑥1 + 1)(𝑥2 + 1), otrzymujemy\nnierówność równoważną\n1\n𝑥2 + 1 <\n1\n𝑥1 + 1\ni dalej\n3\n𝑥2 + 1 <\n3\n𝑥1 + 1\n3\n𝑥1 + 1 < -\n3\n𝑥2 + 1\n3 -\n3\n𝑥1 + 1 < 3 -\n3\n𝑥2 + 1\n3𝑥1 + 3\n𝑥1 + 1 -\n3\n𝑥1 + 1 < 3𝑥2 + 3\n𝑥2 + 1 -\n3\n𝑥2 + 1\n3𝑥1\n𝑥1 + 1 <\n3𝑥2\n𝑥2 + 1\n𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2)\nTo oznacza, że funkcja 𝑓 jest rosnąca.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n27\nSposób 4. (z wykorzystaniem własności funkcji postaci 𝑦= 𝑎\n𝑥 ).\nWzór funkcji 𝑓 przedstawiamy w postaci:\n𝑓(𝑥) =\n3𝑥\n𝑥+ 1 = (3𝑥+ 3) -3\n𝑥+ 1\n= 3 -\n3\n𝑥+ 1 .\nWykres funkcji 𝑓 można uzyskać przez przesunięcie wykresu funkcji 𝑔(𝑥) = -3\n𝑥 (określonej\ndla 𝑥> 0) o wektor [-1, 3]. Z wykresu/własności funkcji 𝑔 wynika, że funkcja 𝑔 jest\nrosnąca dla 𝑥> 0, więc funkcja 𝑓 jest rosnąca dla 𝑥> -1.\nTo kończy dowód.\nSposób 5. (oparty na umiejętności porównywania ułamków).\nWzór funkcji 𝑓 przedstawiamy w postaci:\n𝑓(𝑥) =\n3𝑥\n𝑥+ 1 = (3𝑥+ 3) -3\n𝑥+ 1\n= 3 -\n3\n𝑥+ 1 .\nDla każdej liczby rzeczywistej 𝑥> -1 ułamek 3\n𝑥+1 jest dodatni, a ponieważ licznik jest stały\ni dodatni, to ułamek jest tym mniejszy, im jego mianownik jest większy. Zatem ze wzrostem\nliczby 𝑥> -1 liczba 3 -\n3\n𝑥+1 jest coraz większa. Tym samym funkcja 𝑓 jest rosnąca.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 7. (0-3)
Funkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) =
3𝑥
𝑥+1 dla każdego 𝑥∈(-1; +∞).
Wykaż, że 𝑓 jest funkcją rosnąca.
Wymaganie ogólne
IV. Rozumowanie i argumentacja.
1.
Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów
uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.
Wymagania szczegółowe
V. Funkcje. Zdający:
3R) dowodzi monotoniczności funkcji zadanej wzorem.
XIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy. Zdający:
5R) stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
25
Zasady oceniania
dla rozwiązań sposobami 1., 2. oraz 3.
3 pkt - przeprowadzenie pełnego dowodu.
2 pkt - poprawne określenie znaku
różnicy 𝑓(𝑥2) -𝑓(𝑥1) =
3(𝑥2 -𝑥1)
(𝑥2 + 1)(𝑥1 + 1) > 0
LUB
pochodnej 𝑓′(𝑥) =
3
(𝑥+ 1)2 > 0
LUB
przekształcenie nierówności 𝑥2 > 𝑥1 do postaci 3 -
1
𝑥1+1 < 3 -
1
𝑥2+1.
1 pkt - przyjęcie założeń 𝑥1, 𝑥2 ∈(-1; +∞) i 𝑥2 > 𝑥1 oraz obliczenie różnicy
𝑓(𝑥2) -𝑓(𝑥1) =
3(𝑥2 -𝑥1)
(𝑥2 + 1)(𝑥1 + 1)
LUB
przyjęcie założenia 𝑥∈(-1;+∞) oraz obliczenie pochodnej
𝑓′(𝑥) =
3
(𝑥+ 1)2
LUB
przyjęcie założeń 𝑥1, 𝑥2 ∈(-1; +∞) i 𝑥2 > 𝑥1 oraz przekształcenie nierówności
𝑥2 > 𝑥1 do postaci
1
𝑥2+1 <
1
𝑥1+1.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
dla rozwiązań sposobami 4. oraz 5.
3 pkt - przeprowadzenie pełnego dowodu.
2 pkt - zapisanie, że wykres funkcji 𝑓 można otrzymać z przesunięcia wykresu funkcji 𝑔(𝑥) =
-3
𝑥 o wektor [-1, 3]
LUB
uzasadnienie, że wraz ze wzrostem liczby 𝑥> -1 wartość ułamka
3
𝑥+1
zmniejsza się.
1 pkt - zapisanie funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 3 -
3
𝑥+1 .
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1. (z wykorzystaniem definicji).
Niech 𝑥1, 𝑥2 ∈(-1, +∞) oraz 𝑥2 > 𝑥1. Wtedy
𝑓(𝑥2) -𝑓(𝑥1) =
3𝑥2
𝑥2 + 1 -
3𝑥1
𝑥1 + 1 = 3𝑥2(𝑥1 + 1) -3𝑥1(𝑥2 + 1)
(𝑥2 + 1)(𝑥1 + 1)
3(𝑥2 -𝑥1)
(𝑥2 + 1)(𝑥1 + 1)
Dla 𝑥2 > 𝑥1 różnica 𝑥2 -𝑥1 jest dodatnia, ponadto dla 𝑥1, 𝑥2 ∈(-1, +∞) każda z sum
26
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023
(𝑥2 + 1) oraz (𝑥1 + 1) jest dodatnia, więc iloraz
3(𝑥2 -𝑥1)
(𝑥2 + 1)(𝑥1 + 1) również jest dodatni.
Oznacza to, że 𝑓(𝑥2) > 𝑓(𝑥1) dla 𝑥1, 𝑥2 ∈(-1, +∞) oraz 𝑥2 > 𝑥1, zatem funkcja 𝑓 jest
rosnąca w przedziale (-1, +∞).
To kończy dowód.
Sposób 2. (z wykorzystaniem rachunku różniczkowego).
Niech 𝑥∈(-1, +∞). Obliczamy pochodną 𝑓′ funkcji 𝑓:
𝑓′(𝑥) = (3𝑥)′ ⋅(𝑥+ 1) -(3𝑥) ⋅(𝑥+ 1)′
(𝑥+ 1)2
= 3(𝑥+ 1) -3𝑥⋅1
(𝑥+ 1)2
3
(𝑥+ 1)2
dla każdego 𝑥∈(-1, +∞).
Funkcja 𝑓 jest różniczkowalna w przedziale (-1, +∞), a jej pochodna jest w każdym punkcie
tego przedziału dodatnia. Zatem funkcja 𝑓 jest w tym przedziale rosnąca.
To kończy dowód.
Sposób 3. (oparty na definicji funkcji rosnącej).
Niech 𝑥1, 𝑥2 ∈(-1, +∞) będą dwoma dowolnymi argumentami funkcji 𝑓. Załóżmy, że
𝑥1 < 𝑥2. Wtedy
0 < 𝑥1 + 1 < 𝑥2 + 1
Dzieląc obie strony tej nierówności przez liczbę dodatnią (𝑥1 + 1)(𝑥2 + 1), otrzymujemy
nierówność równoważną
1
𝑥2 + 1 <
1
𝑥1 + 1
i dalej
3
𝑥2 + 1 <
3
𝑥1 + 1
3
𝑥1 + 1 < -
3
𝑥2 + 1
3 -
3
𝑥1 + 1 < 3 -
3
𝑥2 + 1
3𝑥1 + 3
𝑥1 + 1 -
3
𝑥1 + 1 < 3𝑥2 + 3
𝑥2 + 1 -
3
𝑥2 + 1
3𝑥1
𝑥1 + 1 <
3𝑥2
𝑥2 + 1
𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2)
To oznacza, że funkcja 𝑓 jest rosnąca.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
27
Sposób 4. (z wykorzystaniem własności funkcji postaci 𝑦= 𝑎
𝑥 ).
Wzór funkcji 𝑓 przedstawiamy w postaci:
𝑓(𝑥) =
3𝑥
𝑥+ 1 = (3𝑥+ 3) -3
𝑥+ 1
= 3 -
3
𝑥+ 1 .
Wykres funkcji 𝑓 można uzyskać przez przesunięcie wykresu funkcji 𝑔(𝑥) = -3
𝑥 (określonej
dla 𝑥> 0) o wektor [-1, 3]. Z wykresu/własności funkcji 𝑔 wynika, że funkcja 𝑔 jest
rosnąca dla 𝑥> 0, więc funkcja 𝑓 jest rosnąca dla 𝑥> -1.
To kończy dowód.
Sposób 5. (oparty na umiejętności porównywania ułamków).
Wzór funkcji 𝑓 przedstawiamy w postaci:
𝑓(𝑥) =
3𝑥
𝑥+ 1 = (3𝑥+ 3) -3
𝑥+ 1
= 3 -
3
𝑥+ 1 .
Dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥> -1 ułamek 3
𝑥+1 jest dodatni, a ponieważ licznik jest stały
i dodatni, to ułamek jest tym mniejszy, im jego mianownik jest większy. Zatem ze wzrostem
liczby 𝑥> -1 liczba 3 -
3
𝑥+1 jest coraz większa. Tym samym funkcja 𝑓 jest rosnąca.

","solutions":[]}