{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad/8","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony","number":"8","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 8. (0-2)\nOblicz granicę 𝐥𝐢𝐦\n𝒏→∞√𝟔𝒏+ 𝟕𝒏\n𝒏\n28\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymaganie szczegółowe\nVI. Ciągi. Zdający:\n1R) oblicza granice ciągów, korzystając z granic ciągów typu\n1\n𝑛, √𝑎\n𝑛\noraz twierdzeń\no granicach sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów zbieżnych, a także twierdzenia\no trzech ciągach.\nZasady oceniania\n2 pkt - prawidłowa metoda obliczenia granicy (zastosowanie twierdzenia o trzech ciągach)\ni prawidłowy wynik.\n1 pkt - zauważenie, że 7𝑛≤6𝑛+ 7𝑛≤2 ⋅7𝑛 i obliczenie granic ciągów 𝑎𝑛= √7𝑛\n𝑛\noraz\n𝑐𝑛= √2 ⋅7𝑛\n𝑛\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nSkorzystamy z twierdzenia o trzech ciągach.\nRozważmy ciągi 𝑎𝑛= √7𝑛\n𝑛\noraz 𝑐𝑛= √2 ⋅7𝑛\n𝑛\nokreślone dla każdego 𝑛∈ℕ.\nZauważmy, że 7𝑛≤6𝑛+ 7𝑛≤2 ⋅7𝑛 dla każdego 𝑛∈ℕ, więc\n√7𝑛\n𝑛\n≤√6𝑛+ 7𝑛\n𝑛\n≤ √2 ⋅7𝑛\n𝑛\nPonadto lim\n𝑛→∞√7𝑛\n𝑛\n= 7 oraz lim\n𝑛→∞√2 ⋅7𝑛\n𝑛\n= lim\n𝑛→∞√2\n𝑛\n⋅lim\n𝑛→∞√7𝑛\n𝑛\n= 1 ⋅7 = 7, więc na podstawie\ntwierdzenia o trzech ciągach lim\n𝑛→∞√6𝑛+ 7𝑛\n𝑛\n= 7.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n29","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":27,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"<p>Zadanie 8. (0-2)<br>Oblicz granicę 𝐥𝐢𝐦<br>𝒏→∞√𝟔𝒏+ 𝟕𝒏<br>𝒏<br>28<br>Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023<br>Wymaganie ogólne<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.<br>1.<br>Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Wymaganie szczegółowe<br>VI. Ciągi. Zdający:<br>1R) oblicza granice ciągów, korzystając z granic ciągów typu<br>1<br>𝑛, √𝑎<br>𝑛<br>oraz twierdzeń<br>o granicach sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów zbieżnych, a także twierdzenia<br>o trzech ciągach.<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - prawidłowa metoda obliczenia granicy (zastosowanie twierdzenia o trzech ciągach)<br>i prawidłowy wynik.<br>1 pkt - zauważenie, że 7𝑛≤6𝑛+ 7𝑛≤2 ⋅7𝑛 i obliczenie granic ciągów 𝑎𝑛= √7𝑛<br>𝑛<br>oraz<br>𝑐𝑛= √2 ⋅7𝑛<br>𝑛<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Skorzystamy z twierdzenia o trzech ciągach.<br>Rozważmy ciągi 𝑎𝑛= √7𝑛<br>𝑛<br>oraz 𝑐𝑛= √2 ⋅7𝑛<br>𝑛<br>określone dla każdego 𝑛∈ℕ.<br>Zauważmy, że 7𝑛≤6𝑛+ 7𝑛≤2 ⋅7𝑛 dla każdego 𝑛∈ℕ, więc<br>√7𝑛<br>𝑛<br>≤√6𝑛+ 7𝑛<br>𝑛<br>≤ √2 ⋅7𝑛<br>𝑛<br>Ponadto lim<br>𝑛→∞√7𝑛<br>𝑛<br>= 7 oraz lim<br>𝑛→∞√2 ⋅7𝑛<br>𝑛<br>= lim<br>𝑛→∞√2<br>𝑛<br>⋅lim<br>𝑛→∞√7𝑛<br>𝑛<br>= 1 ⋅7 = 7, więc na podstawie<br>twierdzenia o trzech ciągach lim<br>𝑛→∞√6𝑛+ 7𝑛<br>𝑛<br>= 7.<br>Przykładowe zadania z rozwiązaniami<br>29</p>","solutions":[]}