{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad/9","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony","number":"9","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 9. (0-4)\nSyzyf codziennie stoi przed zadaniem wtoczenia\nciężkiej kamiennej kuli na szczyt pewnej góry.\nW chwili 𝑡= 0 znajduje się on w punkcie 𝒪\noddalonym od szczytu o 4 km, a położenie 𝑥\nSyzyfa wtaczającego kulę jest opisane równaniem\n𝑥(𝑡) = -𝑡3 + 16,5𝑡2 + 180𝑡 dla 𝑡∈[0, 24]\ngdzie 𝑥 jest wyrażone w metrach, a 𝑡 -\nw godzinach.\nOś 𝒪𝑥 jest skierowana do wierzchołka góry i jest styczna w każdym punkcie do zbocza góry.\nOblicz najmniejszą odległość, na jaką Syzyf zbliży się do wierzchołka góry, oraz\nmaksymalną prędkość, z jaką wtacza kamień pod górę.\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymagania szczegółowe\nXIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy. Zdający:\n3R) […] podaje interpretację geometryczną i fizyczną pochodnej;\n4R) oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym […];\n5R) stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji;\n6R) rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.\n30\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawna metoda wyznaczenia najmniejszej odległości, na jaką Syzyf zbliży się do\nwierzchołka góry, i poprawna metoda wyznaczenia największej wartości prędkości,\nz jaką wtaczany jest kamień, wraz z prawidłowymi wynikami liczbowymi.\n3 pkt - zapisanie, że prędkość jest pochodną funkcji położenia i znalezienie ekstremów\nfunkcji 𝑥′.\n2 pkt - zbadanie monotoniczności funkcji 𝑥 i znalezienie ekstremów funkcji 𝑥.\n1 pkt - obliczenie pochodnej funkcji 𝑥.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nNajpierw wyznaczymy najmniejszą odległość, na jaką Syzyf zbliży się do wierzchołka góry.\nObliczamy pochodną funkcji 𝑥:\n𝑥′(𝑡) = -3𝑡2 + 33𝑡+ 180 dla\n𝑡∈[0, 24]\ni obliczamy jej miejsca zerowe:\n𝑥′(𝑡) = 0\n-3𝑡2 + 33𝑡+ 180 = 0\n𝑡2 -11𝑡-60 = 0\nΔ = 361\n𝑡1 = 15 𝑡2 < 0\nPonieważ:\n𝑥′(𝑡) > 0 dla 𝑡∈[0,15)\n𝑥′(𝑡) < 0 dla 𝑡∈(15, 24]\nwięc\nfunkcja 𝑥 jest rosnąca w przedziale [0, 15]\nfunkcja 𝑥 jest malejąca w przedziale [15, 24]\nZatem 𝑥𝑚𝑎𝑥= 𝑥(15) = 3037,5 i Syzyf zbliży się do wierzchołka góry na odległość 962,5 m.\nObliczamy maksymalną wartość prędkości, z jaką Syzyf wtacza kulę.\nNiech v oznacza prędkość Syzyfa wtaczającego kulę.\nPonieważ v = 𝑥′ , więc\nv(𝑡) = 𝑥′(𝑡) = -3𝑡2 + 33𝑡+ 180 dla\n𝑡∈[0, 24]\nKorzystamy z własności funkcji kwadratowej i obliczamy największą wartość prędkości, z jaką\nSyzyf wtacza kulę:\n𝑝= -𝑏\n2𝑎= -\n33\n2 ⋅(-3) = 11\n2 ∈[0, 24]\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n31\n𝑣(11\n2 ) > 0\nZatem największa wartość prędkości, z jaką Syzyf wtacza kulę pod górę jest równa\nv(5,5) = 270,75 m/h.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":29,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 9. (0-4)
Syzyf codziennie stoi przed zadaniem wtoczenia
ciężkiej kamiennej kuli na szczyt pewnej góry.
W chwili 𝑡= 0 znajduje się on w punkcie 𝒪
oddalonym od szczytu o 4 km, a położenie 𝑥
Syzyfa wtaczającego kulę jest opisane równaniem
𝑥(𝑡) = -𝑡3 + 16,5𝑡2 + 180𝑡 dla 𝑡∈[0, 24]
gdzie 𝑥 jest wyrażone w metrach, a 𝑡 -
w godzinach.
Oś 𝒪𝑥 jest skierowana do wierzchołka góry i jest styczna w każdym punkcie do zbocza góry.
Oblicz najmniejszą odległość, na jaką Syzyf zbliży się do wierzchołka góry, oraz
maksymalną prędkość, z jaką wtacza kamień pod górę.
Wymaganie ogólne
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
1.
Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Wymagania szczegółowe
XIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy. Zdający:
3R) […] podaje interpretację geometryczną i fizyczną pochodnej;
4R) oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym […];
5R) stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji;
6R) rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.
30
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023
Zasady oceniania
4 pkt - poprawna metoda wyznaczenia najmniejszej odległości, na jaką Syzyf zbliży się do
wierzchołka góry, i poprawna metoda wyznaczenia największej wartości prędkości,
z jaką wtaczany jest kamień, wraz z prawidłowymi wynikami liczbowymi.
3 pkt - zapisanie, że prędkość jest pochodną funkcji położenia i znalezienie ekstremów
funkcji 𝑥′.
2 pkt - zbadanie monotoniczności funkcji 𝑥 i znalezienie ekstremów funkcji 𝑥.
1 pkt - obliczenie pochodnej funkcji 𝑥.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Najpierw wyznaczymy najmniejszą odległość, na jaką Syzyf zbliży się do wierzchołka góry.
Obliczamy pochodną funkcji 𝑥:
𝑥′(𝑡) = -3𝑡2 + 33𝑡+ 180 dla
𝑡∈[0, 24]
i obliczamy jej miejsca zerowe:
𝑥′(𝑡) = 0
-3𝑡2 + 33𝑡+ 180 = 0
𝑡2 -11𝑡-60 = 0
Δ = 361
𝑡1 = 15 𝑡2 < 0
Ponieważ:
𝑥′(𝑡) > 0 dla 𝑡∈[0,15)
𝑥′(𝑡) < 0 dla 𝑡∈(15, 24]
więc
funkcja 𝑥 jest rosnąca w przedziale [0, 15]
funkcja 𝑥 jest malejąca w przedziale [15, 24]
Zatem 𝑥𝑚𝑎𝑥= 𝑥(15) = 3037,5 i Syzyf zbliży się do wierzchołka góry na odległość 962,5 m.
Obliczamy maksymalną wartość prędkości, z jaką Syzyf wtacza kulę.
Niech v oznacza prędkość Syzyfa wtaczającego kulę.
Ponieważ v = 𝑥′ , więc
v(𝑡) = 𝑥′(𝑡) = -3𝑡2 + 33𝑡+ 180 dla
𝑡∈[0, 24]
Korzystamy z własności funkcji kwadratowej i obliczamy największą wartość prędkości, z jaką
Syzyf wtacza kulę:
𝑝= -𝑏
2𝑎= -
33
2 ⋅(-3) = 11
2 ∈[0, 24]
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
31
𝑣(11
2 ) > 0
Zatem największa wartość prędkości, z jaką Syzyf wtacza kulę pod górę jest równa
v(5,5) = 270,75 m/h.

","solutions":[]}