{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/13","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"13","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 13. (0-2)\nDane są dwie liczby 𝑥 i 𝑦, takie że iloraz 𝑥\n𝑦 jest równy 1 + √5\n2\nOblicz wartość wyrażenia 𝒙+𝒚\n𝒙\nWynik podaj w postaci 𝒂+√𝒃\n𝒄\n, gdzie 𝒂, 𝒃, 𝒄 są liczbami całkowitymi dodatnimi.\nWymaganie ogólne\nI.\nSprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora,\nstosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych\noraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nWymagania szczegółowe\nI.\nLiczby rzeczywiste. Zdający:\n1) wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie,\npierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych.\nII. Wyrażenia algebraiczne. Zdający:\n1) stosuje wzory skróconego mnożenia na: (𝑎 + 𝑏)2, (𝑎 -𝑏)2, 𝑎2 - 𝑏2.\nZasady oceniania\n2 pkt - przekształcenie wyrażenia 𝑥+𝑦\n𝑥 do postaci 1+√5\n2\n1 pkt - przekształcenie wyrażenia 𝑥+𝑦\n𝑥 do postaci 1 +\n2\n1+√5 lub 3+√5\n1+√5.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\n26\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\n𝑥+ 𝑦\n𝑥\n= 1 + 𝑦\n𝑥= 1 +\n2\n1 + √5\n= 1 + √5 + 2\n1 + √5\n= 3 + √5\n1 + √5\n= 3 + √5\n1 + √5\n⋅1 -√5\n1 -√5\n= 3 -3√5 + √5 -5\n1 -5\n= -2 -2√5\n-4\n= 1 + √5\n2\nSposób 2.\n𝑥+ 𝑦\n𝑥\n= 1 + 𝑦\n𝑥= 1 +\n2\n1 + √5\n= 1 +\n2\n1 + √5\n⋅1 -√5\n1 -√5\n= 1 + 2 -2√5\n-4\n= 1 + √5 -1\n2\n= 2 + √5 -1\n2\n= 1 + √5\n2\nSposób 3.\n𝑥+ 𝑦\n𝑥\n𝑥+ 𝑦\n𝑦\n𝑥\n𝑦\n𝑥\n𝑦+ 1\n𝑥\n𝑦\n1 + √5\n2\n+ 2\n2\n1 + √5\n2\n3 + √5\n2\n1 + √5\n2\n= 3 + √5\n1 + √5\n= 3 + √5\n1 + √5\n⋅1 -√5\n1 -√5\n= -2 -2√5\n-4\n= 1 + √5\n2\nSposób 4.\nZ równości 𝑥\n𝑦= 1+√5\n2\nwyznaczamy 𝑥:\n𝑥= (1 + √5\n2\n) 𝑦\nWyznaczony 𝑥 podstawimy do wyrażenia 𝑥+𝑦\n𝑥 :\n𝑥+ 𝑦\n𝑥\n(1 + √5\n2\n) ⋅𝑦+ 𝑦\n(1 + √5\n2\n) ⋅𝑦\n𝑦⋅(1 + √5\n2\n+ 1)\n𝑦∙(1 + √5\n2\n)\n1 + √5\n2\n+ 2\n2\n1 + √5\n2\n3 + √5\n2\n1 + √5\n2\n= 3 + √5\n1 + √5\n= 3 + √5\n1 + √5\n⋅1 -√5\n1 -√5\n= -2 -2√5\n-4\n= 1 + √5\n2\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n27","answer":null,"answer_text":null,"solution":"x/y = (1+√5)/2, więc y/x = 2/(1+√5).\n(x+y)/x = 1 + y/x = 1 + 2/(1+√5) = 1 + 2(1-√5)/((1+√5)(1-√5)) = 1 + 2(1-√5)/(1-5) =\n= 1 + 2(1-√5)/(-4) = 1 + (√5-1)/2 = (2+√5-1)/2 = (1+√5)/2.\nWynik: (x+y)/x = (1+√5)/2.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":25,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 13. (0-2)
Dane są dwie liczby 𝑥 i 𝑦, takie że iloraz 𝑥
𝑦 jest równy 1 + √5
2
Oblicz wartość wyrażenia 𝒙+𝒚
𝒙
Wynik podaj w postaci 𝒂+√𝒃
𝒄
, gdzie 𝒂, 𝒃, 𝒄 są liczbami całkowitymi dodatnimi.
Wymaganie ogólne
I.
Sprawność rachunkowa.
Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora,
stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych
oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach
rzeczywistych i teoretycznych.
Wymagania szczegółowe
I.
Liczby rzeczywiste. Zdający:

\n
  1. wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie,
\n

pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych.
II. Wyrażenia algebraiczne. Zdający:

\n
  1. stosuje wzory skróconego mnożenia na: (𝑎 + 𝑏)2, (𝑎 -𝑏)2, 𝑎2 - 𝑏2.
\n

Zasady oceniania
2 pkt - przekształcenie wyrażenia 𝑥+𝑦
𝑥 do postaci 1+√5
2
1 pkt - przekształcenie wyrażenia 𝑥+𝑦
𝑥 do postaci 1 +
2
1+√5 lub 3+√5
1+√5.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
26
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
𝑥+ 𝑦
𝑥
= 1 + 𝑦
𝑥= 1 +
2
1 + √5
= 1 + √5 + 2
1 + √5
= 3 + √5
1 + √5
= 3 + √5
1 + √5
⋅1 -√5
1 -√5
= 3 -3√5 + √5 -5
1 -5
= -2 -2√5
-4
= 1 + √5
2
Sposób 2.
𝑥+ 𝑦
𝑥
= 1 + 𝑦
𝑥= 1 +
2
1 + √5
= 1 +
2
1 + √5
⋅1 -√5
1 -√5
= 1 + 2 -2√5
-4
= 1 + √5 -1
2
= 2 + √5 -1
2
= 1 + √5
2
Sposób 3.
𝑥+ 𝑦
𝑥
𝑥+ 𝑦
𝑦
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦+ 1
𝑥
𝑦
1 + √5
2

\n\n

2
1 + √5
2
3 + √5
2
1 + √5
2
= 3 + √5
1 + √5
= 3 + √5
1 + √5
⋅1 -√5
1 -√5
= -2 -2√5
-4
= 1 + √5
2
Sposób 4.
Z równości 𝑥
𝑦= 1+√5
2
wyznaczamy 𝑥:
𝑥= (1 + √5
2
) 𝑦
Wyznaczony 𝑥 podstawimy do wyrażenia 𝑥+𝑦
𝑥 :
𝑥+ 𝑦
𝑥
(1 + √5
2
) ⋅𝑦+ 𝑦
(1 + √5
2
) ⋅𝑦
𝑦⋅(1 + √5
2

\n\n

𝑦∙(1 + √5
2
)
1 + √5
2

\n\n

2
1 + √5
2
3 + √5
2
1 + √5
2
= 3 + √5
1 + √5
= 3 + √5
1 + √5
⋅1 -√5
1 -√5
= -2 -2√5
-4
= 1 + √5
2
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
27

","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

x/y = (1+√5)/2, więc y/x = 2/(1+√5).
(x+y)/x = 1 + y/x = 1 + 2/(1+√5) = 1 + 2(1-√5)/((1+√5)(1-√5)) = 1 + 2(1-√5)/(1-5) =
= 1 + 2(1-√5)/(-4) = 1 + (√5-1)/2 = (2+√5-1)/2 = (1+√5)/2.
Wynik: (x+y)/x = (1+√5)/2.

"}]}