{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/14","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"14","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 14. (0-2)\nDane są liczby 𝑎= √5 -2 oraz 𝑏= √5 + 2.\nOblicz wartość wyrażenia\n𝒂⋅𝒃\n√𝒂+ √𝒃\n∶√𝒂-√𝒃\n𝒂-𝒃 dla podanych a i b.\nWymaganie ogólne\nI.\nSprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora,\nstosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych\noraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nWymagania szczegółowe\nI.\nLiczby rzeczywiste. Zdający:\n1) wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie,\npierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych.\nII. Wyrażenia algebraiczne. Zdający:\n1) stosuje wzory skróconego mnożenia na: (𝑎 + 𝑏)2, (𝑎 -𝑏)2, 𝑎2 - 𝑏2.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda obliczenia wartości wyrażenia dla podanych 𝑎 i 𝑏 oraz\nzapisanie poprawnego wyniku: 𝑎⋅𝑏\n√𝑎+√𝑏∶√𝑎-√𝑏\n𝑎-𝑏= 1.\n1 pkt - przekształcenie wyrażenia 𝑎⋅𝑏\n√𝑎+√𝑏∶√𝑎-√𝑏\n𝑎-𝑏 do postaci 𝑎⋅𝑏\nALBO\n- wykazanie, że liczby 𝑎 i 𝑏 albo liczby √𝑎+ √𝑏 i √𝑎-√𝑏\n𝑎-𝑏 są wzajemnie odwrotne.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nPrzekształcamy równoważnie wyrażenie do najprostszej postaci:\n𝑎⋅𝑏\n√𝑎+ √𝑏\n∶√𝑎-√𝑏\n𝑎-𝑏\n𝑎⋅𝑏\n√𝑎+ √𝑏\n⋅\n𝑎-𝑏\n√𝑎-√𝑏\n= 𝑎⋅𝑏⋅(𝑎-𝑏)\n(√𝑎)\n2 -(√𝑏)\n2 = 𝑎⋅𝑏⋅(𝑎-𝑏)\n𝑎-𝑏\n= 𝑎⋅𝑏\n28\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\nPodstawiamy wartości 𝑎 i 𝑏 do otrzymanego wyrażenia i obliczamy jego wartość:\n𝑎⋅𝑏= (√5 -2 )(√5 + 2 ) = (√5)\n2 -22 = 5 -4 = 1\nSposób 2.\nZauważmy, że:\n𝑎⋅𝑏= (√5 -2 ) ⋅(√5 + 2 ) = (√5)\n2 -22 = 5 -4 = 1\nzatem liczby 𝑎 i 𝑏 są wzajemnie odwrotne. Zauważamy także, że:\n(√𝑎+ √𝑏) ⋅√𝑎-√𝑏\n𝑎-𝑏\n= 𝑎-𝑏\n𝑎-𝑏= 1\nco oznacza, że liczby √𝑎+ √𝑏 i √𝑎-√𝑏\n𝑎-𝑏 także są wzajemnie odwrotne, tj. √𝑎-√𝑏\n𝑎-𝑏=\n1\n√𝑎+√𝑏\nZ powyższych zależności wynika\n𝑎⋅𝑏\n√𝑎+ √𝑏\n∶√𝑎-√𝑏\n𝑎-𝑏\n= 𝑎𝑏·\n1\n√𝑎+ √𝑏\n∶\n1\n√𝑎+ √𝑏\n= 1 ⋅1 = 1","answer":null,"answer_text":null,"solution":"a=√5-2, b=√5+2. Przekształcamy wyrażenie:\n(a·b)/(√a+√b) : (√a-√b)/(a-b) = (a·b)/(√a+√b) · (a-b)/(√a-√b) =\n= a·b·(a-b)/((√a)²-(√b)²) = a·b·(a-b)/(a-b) = a·b.\na·b = (√5-2)(√5+2) = 5-4 = 1.\nWartość wyrażenia wynosi 1.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":27,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"<p>Zadanie 14. (0-2)<br>Dane są liczby 𝑎= √5 -2 oraz 𝑏= √5 + 2.<br>Oblicz wartość wyrażenia<br>𝒂⋅𝒃<br>√𝒂+ √𝒃<br>∶√𝒂-√𝒃<br>𝒂-𝒃 dla podanych a i b.<br>Wymaganie ogólne<br>I.<br>Sprawność rachunkowa.<br>Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora,<br>stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych<br>oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach<br>rzeczywistych i teoretycznych.<br>Wymagania szczegółowe<br>I.<br>Liczby rzeczywiste. Zdający:</p>\n<ol><li>wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie,</li></ol>\n<p>pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych.<br>II. Wyrażenia algebraiczne. Zdający:</p>\n<ol><li>stosuje wzory skróconego mnożenia na: (𝑎 + 𝑏)2, (𝑎 -𝑏)2, 𝑎2 - 𝑏2.</li></ol>\n<p>Zasady oceniania<br>2 pkt - poprawna metoda obliczenia wartości wyrażenia dla podanych 𝑎 i 𝑏 oraz<br>zapisanie poprawnego wyniku: 𝑎⋅𝑏<br>√𝑎+√𝑏∶√𝑎-√𝑏<br>𝑎-𝑏= 1.<br>1 pkt - przekształcenie wyrażenia 𝑎⋅𝑏<br>√𝑎+√𝑏∶√𝑎-√𝑏<br>𝑎-𝑏 do postaci 𝑎⋅𝑏<br>ALBO</p>\n<ul><li>wykazanie, że liczby 𝑎 i 𝑏 albo liczby √𝑎+ √𝑏 i √𝑎-√𝑏</li></ul>\n<p>𝑎-𝑏 są wzajemnie odwrotne.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób 1.<br>Przekształcamy równoważnie wyrażenie do najprostszej postaci:<br>𝑎⋅𝑏<br>√𝑎+ √𝑏<br>∶√𝑎-√𝑏<br>𝑎-𝑏<br>𝑎⋅𝑏<br>√𝑎+ √𝑏<br>⋅<br>𝑎-𝑏<br>√𝑎-√𝑏<br>= 𝑎⋅𝑏⋅(𝑎-𝑏)<br>(√𝑎)<br>2 -(√𝑏)<br>2 = 𝑎⋅𝑏⋅(𝑎-𝑏)<br>𝑎-𝑏<br>= 𝑎⋅𝑏<br>28<br>Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025<br>Podstawiamy wartości 𝑎 i 𝑏 do otrzymanego wyrażenia i obliczamy jego wartość:<br>𝑎⋅𝑏= (√5 -2 )(√5 + 2 ) = (√5)<br>2 -22 = 5 -4 = 1<br>Sposób 2.<br>Zauważmy, że:<br>𝑎⋅𝑏= (√5 -2 ) ⋅(√5 + 2 ) = (√5)<br>2 -22 = 5 -4 = 1<br>zatem liczby 𝑎 i 𝑏 są wzajemnie odwrotne. Zauważamy także, że:<br>(√𝑎+ √𝑏) ⋅√𝑎-√𝑏<br>𝑎-𝑏<br>= 𝑎-𝑏<br>𝑎-𝑏= 1<br>co oznacza, że liczby √𝑎+ √𝑏 i √𝑎-√𝑏<br>𝑎-𝑏 także są wzajemnie odwrotne, tj. √𝑎-√𝑏<br>𝑎-𝑏=<br>1<br>√𝑎+√𝑏<br>Z powyższych zależności wynika<br>𝑎⋅𝑏<br>√𝑎+ √𝑏<br>∶√𝑎-√𝑏<br>𝑎-𝑏<br>= 𝑎𝑏·<br>1<br>√𝑎+ √𝑏<br>∶<br>1<br>√𝑎+ √𝑏<br>= 1 ⋅1 = 1</p>","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"<p>a=√5-2, b=√5+2. Przekształcamy wyrażenie:<br>(a·b)/(√a+√b) : (√a-√b)/(a-b) = (a·b)/(√a+√b) · (a-b)/(√a-√b) =<br>= a·b·(a-b)/((√a)²-(√b)²) = a·b·(a-b)/(a-b) = a·b.<br>a·b = (√5-2)(√5+2) = 5-4 = 1.<br>Wartość wyrażenia wynosi 1.</p>"}]}