{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/18","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"18","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 18. (0-3)\nDane jest równanie\n2\n2𝑥+ 1 = 𝑥-1\n𝑥+ 2\nWyznacz dziedzinę tego równania. Rozwiąż to równanie.\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymagania szczegółowe\nIII. Równania i nierówności. Zdający:\n1) przekształca równania i nierówności w sposób równoważny, w tym np. przekształca\nrównoważnie równanie\n5\n𝑥 + 1 = 𝑥 + 3\n2𝑥-1\n;\n4) rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe.\nZasady oceniania\nCzęść I (Wyznaczenie dziedziny równania)\n1 pkt - poprawne wyznaczenie dziedziny równania: 𝑥≠-1\n2 i 𝑥≠-2.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nCzęść II (Rozwiązanie równania)\n2 pkt - poprawna metoda rozwiązania równania i obliczenie wszystkich rozwiązań równania:\n(-1), 5\n2.\n1 pkt - poprawne przekształcenie równania\n2\n2𝑥+1 = 𝑥-1\n𝑥+2 do równania kwadratowego, np.\n2(𝑥+ 2) = (2𝑥+ 1)(𝑥-1).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n33\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nRównanie\n2\n2𝑥+1 = 𝑥-1\n𝑥+2 ma sens liczbowy dla 𝑥≠-1\n2 i 𝑥≠-2.\nPrzekształcamy równanie:\n2\n2𝑥+ 1 = 𝑥-1\n𝑥+ 2\n2(𝑥+ 2) = (2𝑥+ 1)(𝑥-1)\n2𝑥+ 4 = 2𝑥2 -2𝑥+ 𝑥-1\n2𝑥2 -3𝑥-5 = 0\nSposób 1. rozwiązania równania 2𝑥2 -3𝑥-5 = 0.\nObliczamy wyróżnik Δ trójmianu kwadratowego 2𝑥2 -3𝑥-5 (zobacz w Wybranych\nwzorach matematycznych):\nΔ = (-3)2 -4 ⋅2 ⋅(-5) = 9 + 40 = 49\nStąd\n𝑥1 = -(-3) -√49\n2 ⋅2\n= -1\n𝑥2 = -(-3) + √49\n2 ⋅2\n= 5\n2\nSposób 2. rozwiązania równania 2𝑥2 -3𝑥-5 = 0.\nRozwiążemy równanie kwadratowe, wykorzystując metodę dopełnienia wyrażenia do\npełnego kwadratu. Przekształcimy równoważnie trójmian kwadratowy 2𝑥2 -3𝑥-5:\n2𝑥2 -3𝑥-5 = 2 (𝑥2 -3\n2 𝑥) -5 = 2 [(𝑥-3\n4)\n2\n-9\n16] -5 = 2 (𝑥-3\n4)\n2\n-9\n8 -5 =\n= 2 (𝑥-3\n4)\n2\n-49\n8\nPrzekształcamy równoważnie równanie 2𝑥2 -3𝑥-5 = 0, otrzymując:\n2 (𝑥-3\n4)\n2\n-49\n8 = 0\n2 (𝑥-3\n4)\n2\n= 49\n8\n(𝑥-3\n4)\n2\n= 49\n16\n|𝑥-3\n4| = 7\n4\n34\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\n𝑥-3\n4 = 7\n4 lub 𝑥-3\n4 = -7\n4\n𝑥= 7\n4 + 3\n4 = 10\n4 = 5\n2 lub 𝑥= -7\n4 + 3\n4 = -4\n4 = -1\nSposób 3. rozwiązania równania 2𝑥2 -3𝑥-5 = 0.\nRozwiążemy równanie kwadratowe, wykorzystując metodę grupowania wyrazów:\n2𝑥2 -5𝑥+ 2𝑥-5 = 0\n2𝑥(𝑥-5\n2) + 2 (𝑥-5\n2) = 0\n(𝑥-5\n2) (2𝑥+ 2) = 0\n𝑥-5\n2 = 0 lub 2𝑥+ 2 = 0\n𝑥= 5\n2 lub 𝑥= -1\nOtrzymane pierwiastki są różne od liczby (-1\n2) oraz od liczby (-2), więc są\nrozwiązaniami danego równania.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Dziedzina: 2x+1≠0 i x+2≠0, czyli x≠-1/2 i x≠-2.\nPrzekształcamy równanie: 2/(2x+1) = (x-1)/(x+2)\n2(x+2) = (2x+1)(x-1)\n2x+4 = 2x²-2x+x-1\n2x+4 = 2x²-x-1\n2x²-3x-5 = 0\nΔ = 9+40 = 49, √Δ=7\nx₁ = (3-7)/4 = -1, x₂ = (3+7)/4 = 5/2\nOba rozwiązania należą do dziedziny.\nOdpowiedź: dziedzina x≠-1/2 i x≠-2; rozwiązania równania: x=-1 oraz x=5/2.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":32,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 18. (0-3)
Dane jest równanie
2
2𝑥+ 1 = 𝑥-1
𝑥+ 2
Wyznacz dziedzinę tego równania. Rozwiąż to równanie.
Wymaganie ogólne
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
1.
Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Wymagania szczegółowe
III. Równania i nierówności. Zdający:

\n
  1. przekształca równania i nierówności w sposób równoważny, w tym np. przekształca
\n

równoważnie równanie
5
𝑥 + 1 = 𝑥 + 3
2𝑥-1
;

\n
  1. rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe.
\n

Zasady oceniania
Część I (Wyznaczenie dziedziny równania)
1 pkt - poprawne wyznaczenie dziedziny równania: 𝑥≠-1
2 i 𝑥≠-2.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Część II (Rozwiązanie równania)
2 pkt - poprawna metoda rozwiązania równania i obliczenie wszystkich rozwiązań równania:
(-1), 5
2.
1 pkt - poprawne przekształcenie równania
2
2𝑥+1 = 𝑥-1
𝑥+2 do równania kwadratowego, np.
2(𝑥+ 2) = (2𝑥+ 1)(𝑥-1).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
33
Przykładowe pełne rozwiązania
Równanie
2
2𝑥+1 = 𝑥-1
𝑥+2 ma sens liczbowy dla 𝑥≠-1
2 i 𝑥≠-2.
Przekształcamy równanie:
2
2𝑥+ 1 = 𝑥-1
𝑥+ 2
2(𝑥+ 2) = (2𝑥+ 1)(𝑥-1)
2𝑥+ 4 = 2𝑥2 -2𝑥+ 𝑥-1
2𝑥2 -3𝑥-5 = 0
Sposób 1. rozwiązania równania 2𝑥2 -3𝑥-5 = 0.
Obliczamy wyróżnik Δ trójmianu kwadratowego 2𝑥2 -3𝑥-5 (zobacz w Wybranych
wzorach matematycznych):
Δ = (-3)2 -4 ⋅2 ⋅(-5) = 9 + 40 = 49
Stąd
𝑥1 = -(-3) -√49
2 ⋅2
= -1
𝑥2 = -(-3) + √49
2 ⋅2
= 5
2
Sposób 2. rozwiązania równania 2𝑥2 -3𝑥-5 = 0.
Rozwiążemy równanie kwadratowe, wykorzystując metodę dopełnienia wyrażenia do
pełnego kwadratu. Przekształcimy równoważnie trójmian kwadratowy 2𝑥2 -3𝑥-5:
2𝑥2 -3𝑥-5 = 2 (𝑥2 -3
2 𝑥) -5 = 2 [(𝑥-3
4)
2
-9
16] -5 = 2 (𝑥-3
4)
2
-9
8 -5 =
= 2 (𝑥-3
4)
2
-49
8
Przekształcamy równoważnie równanie 2𝑥2 -3𝑥-5 = 0, otrzymując:
2 (𝑥-3
4)
2
-49
8 = 0
2 (𝑥-3
4)
2
= 49
8
(𝑥-3
4)
2
= 49
16
|𝑥-3
4| = 7
4
34
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025
𝑥-3
4 = 7
4 lub 𝑥-3
4 = -7
4
𝑥= 7
4 + 3
4 = 10
4 = 5
2 lub 𝑥= -7
4 + 3
4 = -4
4 = -1
Sposób 3. rozwiązania równania 2𝑥2 -3𝑥-5 = 0.
Rozwiążemy równanie kwadratowe, wykorzystując metodę grupowania wyrazów:
2𝑥2 -5𝑥+ 2𝑥-5 = 0
2𝑥(𝑥-5

\n
  1. + 2 (𝑥-5
  2. = 0
\n

(𝑥-5

\n
  1. (2𝑥+ 2) = 0
\n

𝑥-5
2 = 0 lub 2𝑥+ 2 = 0
𝑥= 5
2 lub 𝑥= -1
Otrzymane pierwiastki są różne od liczby (-1

\n
  1. oraz od liczby (-2), więc są
\n

rozwiązaniami danego równania.

","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

Dziedzina: 2x+1≠0 i x+2≠0, czyli x≠-1/2 i x≠-2.
Przekształcamy równanie: 2/(2x+1) = (x-1)/(x+2)
2(x+2) = (2x+1)(x-1)
2x+4 = 2x²-2x+x-1
2x+4 = 2x²-x-1
2x²-3x-5 = 0
Δ = 9+40 = 49, √Δ=7
x₁ = (3-7)/4 = -1, x₂ = (3+7)/4 = 5/2
Oba rozwiązania należą do dziedziny.
Odpowiedź: dziedzina x≠-1/2 i x≠-2; rozwiązania równania: x=-1 oraz x=5/2.

"}]}