{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/19","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"19","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 19. (0-2)\nRozwiąż nierówność\n(𝟑𝒙-𝟒)(𝒙-𝟏) < 𝒙\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymaganie szczegółowe\nIII. Równania i nierówności. Zdający:\n4) rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n35\nZasady oceniania\n2 pkt - obliczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego 3𝑥2 -8𝑥+ 4:\n𝑥1 = 2\n3 oraz 𝑥2 = 2\noraz zapisanie zbioru rozwiązań nierówności: 𝑥∈(2\n3 , 2)\nALBO\n- obliczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego 3𝑥2 -8𝑥+ 4:\n𝑥1 = 2\n3 oraz 𝑥2 = 2\noraz przedstawienie zbioru rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie\nzaznaczonymi końcami przedziałów\n1 pkt - obliczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego 3𝑥2 -8𝑥+ 4:\n𝑥1 = 2\n3 oraz 𝑥2 = 2.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzekształcamy nierówność:\n(3𝑥-4)(𝑥-1) < 𝑥\n3𝑥2 -3𝑥-4𝑥+ 4 < 𝑥\n3𝑥2 -8𝑥+ 4 < 0\nObliczamy wyróżnik trójmianu 3𝑥2 -8𝑥+ 4 (zobacz w Wybranych wzorach matematycznych):\nΔ = (-8)2 -4 ⋅3 ⋅4 = 16\ni obliczamy jego pierwiastki:\n𝑥1 = -(-8) -√16\n2 ⋅3\n= 2\n3\n𝑥2 = -(-8) + √16\n2 ⋅3\n= 2\nPodajemy zbiór rozwiązań nierówności: 𝑥∈(2\n3 , 2) lub zaznaczamy zbiór rozwiązań na osi\nliczbowej:\n2\n3\n𝑥\n2\n2\n3\n𝑥\n2\n36\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025","answer":null,"answer_text":null,"solution":"(3x-4)(x-1) < x\n3x²-3x-4x+4 < x\n3x²-8x+4 < 0\nΔ = 64-48 = 16, √Δ=4\nx₁ = (8-4)/6 = 2/3, x₂ = (8+4)/6 = 2\nPonieważ współczynnik przy x² jest dodatni, nierówność jest spełniona między pierwiastkami.\nZbiór rozwiązań: x ∈ (2/3, 2).","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":34,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 19. (0-2)
Rozwiąż nierówność
(𝟑𝒙-𝟒)(𝒙-𝟏) < 𝒙
Wymaganie ogólne
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
1.
Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Wymaganie szczegółowe
III. Równania i nierówności. Zdający:

\n
  1. rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe.
\n

Przykładowe zadania z rozwiązaniami
35
Zasady oceniania
2 pkt - obliczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego 3𝑥2 -8𝑥+ 4:
𝑥1 = 2
3 oraz 𝑥2 = 2
oraz zapisanie zbioru rozwiązań nierówności: 𝑥∈(2
3 , 2)
ALBO

\n\n

𝑥1 = 2
3 oraz 𝑥2 = 2
oraz przedstawienie zbioru rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie
zaznaczonymi końcami przedziałów
1 pkt - obliczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego 3𝑥2 -8𝑥+ 4:
𝑥1 = 2
3 oraz 𝑥2 = 2.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Przekształcamy nierówność:
(3𝑥-4)(𝑥-1) < 𝑥
3𝑥2 -3𝑥-4𝑥+ 4 < 𝑥
3𝑥2 -8𝑥+ 4 < 0
Obliczamy wyróżnik trójmianu 3𝑥2 -8𝑥+ 4 (zobacz w Wybranych wzorach matematycznych):
Δ = (-8)2 -4 ⋅3 ⋅4 = 16
i obliczamy jego pierwiastki:
𝑥1 = -(-8) -√16
2 ⋅3
= 2
3
𝑥2 = -(-8) + √16
2 ⋅3
= 2
Podajemy zbiór rozwiązań nierówności: 𝑥∈(2
3 , 2) lub zaznaczamy zbiór rozwiązań na osi
liczbowej:
2
3
𝑥
2
2
3
𝑥
2
36
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025

","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

(3x-4)(x-1) < x
3x²-3x-4x+4 < x
3x²-8x+4 < 0
Δ = 64-48 = 16, √Δ=4
x₁ = (8-4)/6 = 2/3, x₂ = (8+4)/6 = 2
Ponieważ współczynnik przy x² jest dodatni, nierówność jest spełniona między pierwiastkami.
Zbiór rozwiązań: x ∈ (2/3, 2).

"}]}