{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/20","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"20","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 20. (0-3)\nRozważmy takie liczby rzeczywiste a i b, które spełniają warunki:\n𝑎≠0, 𝑏≠0 oraz 𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎+ 𝑏)(𝑎2 + 3𝑎𝑏+ 𝑏2).\nOblicz wartość liczbową wyrażenia 𝒂\n𝒃 dla dowolnych liczb rzeczywistych 𝒂 i 𝒃,\nspełniających powyższe warunki.\nWymaganie ogólne\nI.\nSprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora,\nstosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych\noraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nWymagania szczegółowe\nII. Wyrażenia algebraiczne. Zdający:\n2) dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych;\n3) wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej.\nIII. Równania i nierówności. Zdający:\n1) przekształca równania i nierówności w sposób równoważny, w tym np. przekształca\nrównoważnie równanie\n5\n𝑥 + 1 = 𝑥 + 3\n2𝑥-1\n;\n5) rozwiązuje równania wielomianowe postaci 𝑊(𝑥) = 0 dla wielomianów\ndoprowadzonych do postaci iloczynowej.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia wartości ilorazu 𝑎\n𝑏 oraz podanie poprawnego wyniku\n𝑎\n𝑏= -1.\n2 pkt - przekształcenie równania do postaci 4𝑎𝑏(𝑎+ 𝑏) = 0 oraz wyznaczenie rozwiązań\ntego równania: 𝑎= 0, 𝑏= 0, 𝑎= -𝑏 (bez uwzględnienia warunków zadania).\n1 pkt - przekształcenie równania do postaci 4𝑎𝑏(𝑎+ 𝑏) = 0.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n37\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nRównanie podane w zadaniu przekształcamy w sposób równoważny.\n𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎+ 𝑏)(𝑎2 + 3𝑎𝑏+ 𝑏2)\n𝑎3 + 𝑏3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏+ 𝑎𝑏2 + 𝑎2𝑏+ 3𝑎𝑏2 + 𝑏3\n𝑎3 + 𝑏3 = 𝑎3 + 4𝑎2𝑏+ 4𝑎𝑏2 + 𝑏3\n0 = 4𝑎2𝑏+ 4𝑎𝑏2\n4𝑎𝑏(𝑎+ 𝑏) = 0\nIloczyn po lewej stronie równania jest równy 0, gdy co najmniej jeden z czynników jest\nrówny 0. Zatem:\n4𝑎𝑏= 0 lub 𝑎+ 𝑏= 0\nStąd mamy:\n𝑎= 0 lub 𝑏= 0 lub 𝑎= -𝑏\nGdy uwzględnimy warunki zadania 𝑎≠0 i 𝑏≠0, to pozostaje jedynie możliwość 𝑎= -𝑏.\nStąd otrzymujemy:\n𝑎\n𝑏= -𝑏\n𝑏= -1\n38\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025","answer":null,"answer_text":null,"solution":"a³+b³ = (a+b)(a²+3ab+b²)\na³+b³ = a³+3a²b+ab²+a²b+3ab²+b³ = a³+4a²b+4ab²+b³\n0 = 4a²b+4ab² = 4ab(a+b)\nPonieważ a≠0 i b≠0, musi być a+b=0, czyli a=-b.\nZatem a/b = -b/b = -1.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-20.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":36,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 20. (0-3)
Rozważmy takie liczby rzeczywiste a i b, które spełniają warunki:
𝑎≠0, 𝑏≠0 oraz 𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎+ 𝑏)(𝑎2 + 3𝑎𝑏+ 𝑏2).
Oblicz wartość liczbową wyrażenia 𝒂
𝒃 dla dowolnych liczb rzeczywistych 𝒂 i 𝒃,
spełniających powyższe warunki.
Wymaganie ogólne
I.
Sprawność rachunkowa.
Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora,
stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych
oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach
rzeczywistych i teoretycznych.
Wymagania szczegółowe
II. Wyrażenia algebraiczne. Zdający:

\n
  1. dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych;
  2. wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej.
\n

III. Równania i nierówności. Zdający:

\n
  1. przekształca równania i nierówności w sposób równoważny, w tym np. przekształca
\n

równoważnie równanie
5
𝑥 + 1 = 𝑥 + 3
2𝑥-1
;

\n
  1. rozwiązuje równania wielomianowe postaci 𝑊(𝑥) = 0 dla wielomianów
\n

doprowadzonych do postaci iloczynowej.
Zasady oceniania
3 pkt - poprawna metoda obliczenia wartości ilorazu 𝑎
𝑏 oraz podanie poprawnego wyniku
𝑎
𝑏= -1.
2 pkt - przekształcenie równania do postaci 4𝑎𝑏(𝑎+ 𝑏) = 0 oraz wyznaczenie rozwiązań
tego równania: 𝑎= 0, 𝑏= 0, 𝑎= -𝑏 (bez uwzględnienia warunków zadania).
1 pkt - przekształcenie równania do postaci 4𝑎𝑏(𝑎+ 𝑏) = 0.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
37
Przykładowe pełne rozwiązanie
Równanie podane w zadaniu przekształcamy w sposób równoważny.
𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎+ 𝑏)(𝑎2 + 3𝑎𝑏+ 𝑏2)
𝑎3 + 𝑏3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏+ 𝑎𝑏2 + 𝑎2𝑏+ 3𝑎𝑏2 + 𝑏3
𝑎3 + 𝑏3 = 𝑎3 + 4𝑎2𝑏+ 4𝑎𝑏2 + 𝑏3
0 = 4𝑎2𝑏+ 4𝑎𝑏2
4𝑎𝑏(𝑎+ 𝑏) = 0
Iloczyn po lewej stronie równania jest równy 0, gdy co najmniej jeden z czynników jest
równy 0. Zatem:
4𝑎𝑏= 0 lub 𝑎+ 𝑏= 0
Stąd mamy:
𝑎= 0 lub 𝑏= 0 lub 𝑎= -𝑏
Gdy uwzględnimy warunki zadania 𝑎≠0 i 𝑏≠0, to pozostaje jedynie możliwość 𝑎= -𝑏.
Stąd otrzymujemy:
𝑎
𝑏= -𝑏
𝑏= -1
38
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025

","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

a³+b³ = (a+b)(a²+3ab+b²)
a³+b³ = a³+3a²b+ab²+a²b+3ab²+b³ = a³+4a²b+4ab²+b³
0 = 4a²b+4ab² = 4ab(a+b)
Ponieważ a≠0 i b≠0, musi być a+b=0, czyli a=-b.
Zatem a/b = -b/b = -1.

"}]}