{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/3","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"3","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 3. (0-2)\nUdowodnij, że dla każdej liczby całkowitej 𝒏 liczba (𝟑𝒏+ 𝟓)𝟐+ 𝟏𝟏𝒏𝟐-𝟏𝟖\nprzy dzieleniu przez 𝟓 daje resztę 𝟐.\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1.\nPrzeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.\nWymaganie szczegółowe\nI.\nLiczby rzeczywiste. Zdający:\n2) przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt\nz dzielenia […].\nZasady oceniania\n2 pkt - przekształcenie wyrażenia (3𝑛+ 5)2 + 11𝑛2 -18 do postaci\n5 ⋅(4𝑛2 + 6𝑛+ 1) + 2 oraz zapisanie, że 4𝑛2 + 6𝑛+ 1 jest liczbą całkowitą.\n1 pkt - przekształcenie wyrażenia (3𝑛+ 5)2 + 11𝑛2 -18 do postaci 20𝑛2 + 30𝑛+ 7.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPowołamy się na definicję reszty z dzielenia dwóch liczb całkowitych. Liczba całkowita 𝑊\nprzy dzieleniu przez liczbę całkowitą 𝑃 daje resztę całkowitą 𝑅 wtedy, gdy istnieje liczba\ncałkowita 𝑄 taka, że 𝑊= 𝑃⋅𝑄+ 𝑅 oraz 0 ≤𝑅< |𝑃|.\n(Np. liczba 22 przy dzieleniu przez 5 daje resztę równą 2, ponieważ 22 = 5 ⋅4 + 2,\ngdzie 4 jest liczbą całkowitą oraz 2 < 5).\nLiczbę określoną w zadaniu przekształcimy do postaci 5 ⋅𝑄+ 2:\n(3𝑛+ 5)2 + 11𝑛2 -18 = 9𝑛2 + 30𝑛+ 25 + 11𝑛2 -18 = 20𝑛2 + 30𝑛+ 7 =\n= 20𝑛2 + 30𝑛+ 5 + 2 = 5 ⋅(4𝑛2 + 6𝑛+ 1) + 2\nPonieważ 𝑛 jest liczbą całkowitą, więc 4𝑛2 oraz 6𝑛 są liczbami całkowitymi.\nSuma tych liczb całkowitych oraz liczby 1 jest liczbą całkowitą.\nZatem liczba (3𝑛+ 5)2 + 11𝑛2 -18 przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n15","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Przekształcamy wyrażenie:\n(3n+5)² + 11n² - 18 = 9n² + 30n + 25 + 11n² - 18 = 20n² + 30n + 7 =\n= 20n² + 30n + 5 + 2 = 5·(4n² + 6n + 1) + 2\nPonieważ n jest liczbą całkowitą, 4n² oraz 6n są liczbami całkowitymi, więc suma\n4n²+6n+1 jest liczbą całkowitą. Zatem liczba (3n+5)²+11n²-18 przy dzieleniu przez 5\ndaje resztę 2, co należało udowodnić.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"liczby_naturalne","page_from":14,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 3. (0-2)
Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej 𝒏 liczba (𝟑𝒏+ 𝟓)𝟐+ 𝟏𝟏𝒏𝟐-𝟏𝟖
przy dzieleniu przez 𝟓 daje resztę 𝟐.
Wymaganie ogólne
IV. Rozumowanie i argumentacja.
1.
Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów
uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.
Wymaganie szczegółowe
I.
Liczby rzeczywiste. Zdający:

\n
  1. przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt
\n

z dzielenia […].
Zasady oceniania
2 pkt - przekształcenie wyrażenia (3𝑛+ 5)2 + 11𝑛2 -18 do postaci
5 ⋅(4𝑛2 + 6𝑛+ 1) + 2 oraz zapisanie, że 4𝑛2 + 6𝑛+ 1 jest liczbą całkowitą.
1 pkt - przekształcenie wyrażenia (3𝑛+ 5)2 + 11𝑛2 -18 do postaci 20𝑛2 + 30𝑛+ 7.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Powołamy się na definicję reszty z dzielenia dwóch liczb całkowitych. Liczba całkowita 𝑊
przy dzieleniu przez liczbę całkowitą 𝑃 daje resztę całkowitą 𝑅 wtedy, gdy istnieje liczba
całkowita 𝑄 taka, że 𝑊= 𝑃⋅𝑄+ 𝑅 oraz 0 ≤𝑅< |𝑃|.
(Np. liczba 22 przy dzieleniu przez 5 daje resztę równą 2, ponieważ 22 = 5 ⋅4 + 2,
gdzie 4 jest liczbą całkowitą oraz 2 < 5).
Liczbę określoną w zadaniu przekształcimy do postaci 5 ⋅𝑄+ 2:
(3𝑛+ 5)2 + 11𝑛2 -18 = 9𝑛2 + 30𝑛+ 25 + 11𝑛2 -18 = 20𝑛2 + 30𝑛+ 7 =
= 20𝑛2 + 30𝑛+ 5 + 2 = 5 ⋅(4𝑛2 + 6𝑛+ 1) + 2
Ponieważ 𝑛 jest liczbą całkowitą, więc 4𝑛2 oraz 6𝑛 są liczbami całkowitymi.
Suma tych liczb całkowitych oraz liczby 1 jest liczbą całkowitą.
Zatem liczba (3𝑛+ 5)2 + 11𝑛2 -18 przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
15

","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

Przekształcamy wyrażenie:
(3n+5)² + 11n² - 18 = 9n² + 30n + 25 + 11n² - 18 = 20n² + 30n + 7 =
= 20n² + 30n + 5 + 2 = 5·(4n² + 6n + 1) + 2
Ponieważ n jest liczbą całkowitą, 4n² oraz 6n są liczbami całkowitymi, więc suma
4n²+6n+1 jest liczbą całkowitą. Zatem liczba (3n+5)²+11n²-18 przy dzieleniu przez 5
daje resztę 2, co należało udowodnić.

"}]}