{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/31","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 31. (0-2)\nDo wykresu pewnej funkcji kwadratowej 𝑦= 𝑔(𝑥) należy punkt o współrzędnych (2, -6).\nOsią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta o równaniu 𝑥= 3, a jednym z miejsc zerowych\nfunkcji 𝑔 jest 𝑥1 = 1.\nWyznacz wzór funkcji 𝒈 w postaci iloczynowej.\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymagania szczegółowe\nV. Funkcje. Zdający:\n8) interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci\nogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje);\n9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej\nwykresie.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda wyznaczenia postaci iloczynowej funkcji 𝑔 oraz zapisanie jej\nwzoru: 𝑔(𝑥) = 2(𝑥-1)(𝑥-5).\n1 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑔 w postaci 𝑔(𝑥) = 𝑎(𝑥-1)(𝑥-5).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nZauważmy, że pierwsza współrzędna punktu przecięcia osi symetrii wykresu funkcji\nkwadratowej z osią 𝑂𝑥 jest środkiem odcinka, którego końcami są miejsca zerowe tej\nfunkcji. Zatem:\n3 = 1 + 𝑥2\n2\ni stąd 𝑥2 = 5\nZapiszemy wzór funkcji 𝑔 w postaci iloczynowej dla pewnego rzeczywistego\nwspółczynnika 𝑎:\n52\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\n𝑔(𝑥) = 𝑎(𝑥-1)(𝑥-5)\nObliczymy współczynnik 𝑎. Wykres funkcji przechodzi przez punkt (2, -6), zatem:\n-6 = 𝑎(2 -1)(2 -5), więc -6 = 𝑎⋅(-3) i stąd 𝑎= 2\nWzór funkcji 𝑔 w postaci iloczynowej ma postać:\n𝑔(𝑥) = 2(𝑥-1)(𝑥-5)\nSposób 2.\nNaszkicujemy fragment wykresu funkcji kwadratowej 𝑦= 𝑔(𝑥), który spełnia warunki:\n1) przechodzi przez punkt 𝑃= (2, -6),\n2) posiada oś symetrii 𝑥= 3,\n3) przecina oś 𝑂𝑥 w punkcie (1, 0) (miejsce zerowe funkcji 𝑔 to 𝑥1 = 1).\nDrugie miejsce zerowe funkcji 𝑔 jest położone symetrycznie do 𝑥1 = 1 względem prostej\n𝑥= 3. Zatem drugim miejscem zerowym jest 𝑥2 = 5.\nZapiszemy wzór funkcji 𝑔 w postaci iloczynowej dla pewnego rzeczywistego\nwspółczynnika 𝑎:\n𝑔(𝑥) = 𝑎(𝑥-1)(𝑥-5)\nObliczymy współczynnik 𝑎. Wykres funkcji przechodzi przez punkt (2, -6), zatem:\n-6 = 𝑎(2 -1)(2 -5)\nStąd 𝑎= 2.\nWzór funkcji 𝑔 w postaci iloczynowej ma postać:\n𝑔(𝑥) = 2(𝑥-1)(𝑥-5)\n-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8\n𝑦\n𝑥\n𝑦= 𝑔(𝑥)\n8\n6\n4\n2\n- 2\n- 4\n- 6\n- 8\n𝑥= 3\n𝑃\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n53","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Oś symetrii x=3 jest równoodległa od obu miejsc zerowych, więc drugie miejsce\nzerowe x2 spełnia: 3=(1+x2)/2, stąd x2=5.\nWzór funkcji: g(x)=a(x-1)(x-5).\nPodstawiamy punkt (2,-6): -6=a(2-1)(2-5)=a·1·(-3)=-3a, stąd a=2.\nWzór funkcji g w postaci iloczynowej: g(x) = 2(x-1)(x-5).","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-31.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":51,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 31. (0-2)
Do wykresu pewnej funkcji kwadratowej 𝑦= 𝑔(𝑥) należy punkt o współrzędnych (2, -6).
Osią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta o równaniu 𝑥= 3, a jednym z miejsc zerowych
funkcji 𝑔 jest 𝑥1 = 1.
Wyznacz wzór funkcji 𝒈 w postaci iloczynowej.
Wymaganie ogólne
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
1.
Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Wymagania szczegółowe
V. Funkcje. Zdający:

\n
  1. interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci
\n

ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje);

\n
  1. wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej
\n

wykresie.
Zasady oceniania
2 pkt - poprawna metoda wyznaczenia postaci iloczynowej funkcji 𝑔 oraz zapisanie jej
wzoru: 𝑔(𝑥) = 2(𝑥-1)(𝑥-5).
1 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑔 w postaci 𝑔(𝑥) = 𝑎(𝑥-1)(𝑥-5).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
Zauważmy, że pierwsza współrzędna punktu przecięcia osi symetrii wykresu funkcji
kwadratowej z osią 𝑂𝑥 jest środkiem odcinka, którego końcami są miejsca zerowe tej
funkcji. Zatem:
3 = 1 + 𝑥2
2
i stąd 𝑥2 = 5
Zapiszemy wzór funkcji 𝑔 w postaci iloczynowej dla pewnego rzeczywistego
współczynnika 𝑎:
52
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025
𝑔(𝑥) = 𝑎(𝑥-1)(𝑥-5)
Obliczymy współczynnik 𝑎. Wykres funkcji przechodzi przez punkt (2, -6), zatem:
-6 = 𝑎(2 -1)(2 -5), więc -6 = 𝑎⋅(-3) i stąd 𝑎= 2
Wzór funkcji 𝑔 w postaci iloczynowej ma postać:
𝑔(𝑥) = 2(𝑥-1)(𝑥-5)
Sposób 2.
Naszkicujemy fragment wykresu funkcji kwadratowej 𝑦= 𝑔(𝑥), który spełnia warunki:

\n
  1. przechodzi przez punkt 𝑃= (2, -6),
  2. posiada oś symetrii 𝑥= 3,
  3. przecina oś 𝑂𝑥 w punkcie (1, 0) (miejsce zerowe funkcji 𝑔 to 𝑥1 = 1).
\n

Drugie miejsce zerowe funkcji 𝑔 jest położone symetrycznie do 𝑥1 = 1 względem prostej
𝑥= 3. Zatem drugim miejscem zerowym jest 𝑥2 = 5.
Zapiszemy wzór funkcji 𝑔 w postaci iloczynowej dla pewnego rzeczywistego
współczynnika 𝑎:
𝑔(𝑥) = 𝑎(𝑥-1)(𝑥-5)
Obliczymy współczynnik 𝑎. Wykres funkcji przechodzi przez punkt (2, -6), zatem:
-6 = 𝑎(2 -1)(2 -5)
Stąd 𝑎= 2.
Wzór funkcji 𝑔 w postaci iloczynowej ma postać:
𝑔(𝑥) = 2(𝑥-1)(𝑥-5)
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
𝑦
𝑥
𝑦= 𝑔(𝑥)
8
6
4
2

\n\n

𝑥= 3
𝑃
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
53

","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

Oś symetrii x=3 jest równoodległa od obu miejsc zerowych, więc drugie miejsce
zerowe x2 spełnia: 3=(1+x2)/2, stąd x2=5.
Wzór funkcji: g(x)=a(x-1)(x-5).
Podstawiamy punkt (2,-6): -6=a(2-1)(2-5)=a·1·(-3)=-3a, stąd a=2.
Wzór funkcji g w postaci iloczynowej: g(x) = 2(x-1)(x-5).

"}]}