{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/33.2","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"33.2","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 33.2. (0-3)\nCzas połowicznego rozpadu węgla\nC\n14 to około\n5 700 lat. Naukowcy oszacowali za pomocą\ndatowania radiowęglowego, że masa izotopu\nwęgla\nC\n14 w pewnym organicznym znalezisku\narcheologicznym stanowi 1\n16 masy tego izotopu,\njaka utrzymywała się podczas życia organizmu.\nOblicz, ile lat ma opisane znalezisko archeologiczne. Wynik podaj z dokładnością do\nstu lat.\n60\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\nWymagania ogólne\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno\nmatematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów […].\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów\npraktycznych i teoretycznych.\nWymagania szczegółowe\nI.\nLiczby rzeczywiste. Zdający:\n1) wykonuje działania ([…] mnożenie, dzielenie, potęgowanie, […]) w zbiorze liczb\nrzeczywistych.\nV. Funkcje. Zdający:\n14) posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu\ni interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.\nZasady oceniania\ndla rozwiązania sposobem 1.\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia 𝑡 oraz podanie poprawnego wyniku: 𝑡≈22 800 lat.\n2 pkt - zapisanie równania: 1\n16 = (1\n2)\n𝑡\n𝑇 oraz wyznaczenie z niego 𝑡\n𝑇= 4.\n1 pkt - poprawne zapisanie równania: 1\n16 ⋅𝑚0 = 𝑚0 ⋅(1\n2)\n𝑡\n𝑇.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania\ndla rozwiązania sposobem 2.\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia, ile lat ma znalezisko archeologiczne oraz podanie\npoprawnego wyniku: 𝑡≈22 800 lat.\n2 pkt - zapisanie związku między masą izotopu węgla\nC\n14 jaka utrzymywała się za życia\norganizmu a masą tego izotopu w znalezisku:\n𝑚4 = 1\n2 ⋅1\n2 ⋅1\n2 ⋅1\n2 ⋅𝑚0 = 1\n16 ⋅𝑚0.\n1 pkt - poprawne zapisanie masy izotopu węgla\nC\n14 po około 5 700 latach (po czasie\npołowicznego rozpadu): 𝑚1 = 1\n2 ⋅𝑚0.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n61\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nPrzyjmijmy, że:\n𝑚0 - masa początkowa izotopu węgla\nC\n14 ,\n𝑚(𝑡) - masa izotopu węgla\nC\n14 po czasie 𝑡, licząc od chwili 𝑡0 = 0.\nWykorzystamy wzór podany we wstępie do zadania, opisujący rozpad promieniotwórczy,\nzastosowany do masy izotopu:\n𝑚(𝑡) = 𝑚0 ⋅(1\n2)\n𝑡\n𝑇\nPodstawimy dane z zadania i przekształcimy równanie:\n1\n16 ⋅𝑚0 = 𝑚0 ⋅(1\n2)\n𝑡\n𝑇\n, czyli 1\n16 = (1\n2)\n𝑡\n𝑇\nPowyższa równość oznacza, że liczba 1\n2 podniesiona do potęgi 𝑡\n𝑇 daje w wyniku 1\n16\nZatem:\n𝑡\n𝑇= 4\nObliczymy, ile lat liczy sobie znalezisko. Z powyższego równania wynika, że:\n𝑡= 4𝑇≈4 ⋅5700 = 22 800 lat\nSposób 2.\nPrzyjmijmy, że:\n𝑚0 - masa początkowa izotopu węgla\nC\n14 ,\n𝑚(𝑡) - masa izotopu węgla\nC\n14 po czasie 𝑡, licząc od chwili 𝑡0 = 0.\nZgodnie z definicją pojęcia czasu połowicznego rozpadu, po każdym upływie czasu równym\nczasowi połowicznego rozpadu, masa izotopu promieniotwórczego w próbce zmniejsza się\no połowę. Zatem po każdym kolejnym upływie 5 700 lat, masa izotopu węgla\nC\n14\nw próbce/znalezisku zmniejszała się o połowę.\nZatem:\n𝑚1 = 1\n2 ⋅𝑚0 - masa izotopu węgla\nC\n14 w próbce po około 5 700 latach.\n𝑚2 = 1\n2 ⋅1\n2 ⋅𝑚0 = 1\n4 ⋅𝑚0 - masa izotopu węgla\nC\n14 w próbce po około 11 400 latach.\n𝑚3 = 1\n2 ⋅1\n2 ⋅1\n2 ⋅𝑚0 = 1\n8 ⋅𝑚0 - masa izotopu węgla\nC\n14 w próbce po około 17 100 latach.\n𝑚4 = 1\n2 ⋅1\n2 ⋅1\n2 ⋅1\n2 ⋅𝑚0 = 1\n16 ⋅𝑚0 - masa izotopu węgla\nC\n14 w próbce po około 22 800 latach.\nZnalezisko archeologiczne ma około 22 800 lat.\n62\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Masa izotopu maleje zgodnie ze wzorem m(t)=m0·(1/2)^(t/T), T≈5700 lat.\nDane: m(t) = (1/16)·m0.\n(1/16) = (1/2)^(t/T)\nPonieważ 1/16 = (1/2)^4, mamy t/T = 4, stąd t = 4T ≈ 4·5700 = 22800 lat.\nZnalezisko archeologiczne ma około 22 800 lat.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-33.2.webp","solution_image":null,"topics":"wykladnicza","page_from":59,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 33.2. (0-3)
Czas połowicznego rozpadu węgla
C
14 to około
5 700 lat. Naukowcy oszacowali za pomocą
datowania radiowęglowego, że masa izotopu
węgla
C
14 w pewnym organicznym znalezisku
archeologicznym stanowi 1
16 masy tego izotopu,
jaka utrzymywała się podczas życia organizmu.
Oblicz, ile lat ma opisane znalezisko archeologiczne. Wynik podaj z dokładnością do
stu lat.
60
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025
Wymagania ogólne
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.

\n
  1. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno
\n

matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów […].
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.

\n
  1. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów
\n

praktycznych i teoretycznych.
Wymagania szczegółowe
I.
Liczby rzeczywiste. Zdający:

\n
  1. wykonuje działania ([…] mnożenie, dzielenie, potęgowanie, […]) w zbiorze liczb
\n

rzeczywistych.
V. Funkcje. Zdający:

\n
  1. posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu
\n

i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.
Zasady oceniania
dla rozwiązania sposobem 1.
3 pkt - poprawna metoda obliczenia 𝑡 oraz podanie poprawnego wyniku: 𝑡≈22 800 lat.
2 pkt - zapisanie równania: 1
16 = (1
2)
𝑡
𝑇 oraz wyznaczenie z niego 𝑡
𝑇= 4.
1 pkt - poprawne zapisanie równania: 1
16 ⋅𝑚0 = 𝑚0 ⋅(1
2)
𝑡
𝑇.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zasady oceniania
dla rozwiązania sposobem 2.
3 pkt - poprawna metoda obliczenia, ile lat ma znalezisko archeologiczne oraz podanie
poprawnego wyniku: 𝑡≈22 800 lat.
2 pkt - zapisanie związku między masą izotopu węgla
C
14 jaka utrzymywała się za życia
organizmu a masą tego izotopu w znalezisku:
𝑚4 = 1
2 ⋅1
2 ⋅1
2 ⋅1
2 ⋅𝑚0 = 1
16 ⋅𝑚0.
1 pkt - poprawne zapisanie masy izotopu węgla
C
14 po około 5 700 latach (po czasie
połowicznego rozpadu): 𝑚1 = 1
2 ⋅𝑚0.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
61
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
Przyjmijmy, że:
𝑚0 - masa początkowa izotopu węgla
C
14 ,
𝑚(𝑡) - masa izotopu węgla
C
14 po czasie 𝑡, licząc od chwili 𝑡0 = 0.
Wykorzystamy wzór podany we wstępie do zadania, opisujący rozpad promieniotwórczy,
zastosowany do masy izotopu:
𝑚(𝑡) = 𝑚0 ⋅(1
2)
𝑡
𝑇
Podstawimy dane z zadania i przekształcimy równanie:
1
16 ⋅𝑚0 = 𝑚0 ⋅(1
2)
𝑡
𝑇
, czyli 1
16 = (1
2)
𝑡
𝑇
Powyższa równość oznacza, że liczba 1
2 podniesiona do potęgi 𝑡
𝑇 daje w wyniku 1
16
Zatem:
𝑡
𝑇= 4
Obliczymy, ile lat liczy sobie znalezisko. Z powyższego równania wynika, że:
𝑡= 4𝑇≈4 ⋅5700 = 22 800 lat
Sposób 2.
Przyjmijmy, że:
𝑚0 - masa początkowa izotopu węgla
C
14 ,
𝑚(𝑡) - masa izotopu węgla
C
14 po czasie 𝑡, licząc od chwili 𝑡0 = 0.
Zgodnie z definicją pojęcia czasu połowicznego rozpadu, po każdym upływie czasu równym
czasowi połowicznego rozpadu, masa izotopu promieniotwórczego w próbce zmniejsza się
o połowę. Zatem po każdym kolejnym upływie 5 700 lat, masa izotopu węgla
C
14
w próbce/znalezisku zmniejszała się o połowę.
Zatem:
𝑚1 = 1
2 ⋅𝑚0 - masa izotopu węgla
C
14 w próbce po około 5 700 latach.
𝑚2 = 1
2 ⋅1
2 ⋅𝑚0 = 1
4 ⋅𝑚0 - masa izotopu węgla
C
14 w próbce po około 11 400 latach.
𝑚3 = 1
2 ⋅1
2 ⋅1
2 ⋅𝑚0 = 1
8 ⋅𝑚0 - masa izotopu węgla
C
14 w próbce po około 17 100 latach.
𝑚4 = 1
2 ⋅1
2 ⋅1
2 ⋅1
2 ⋅𝑚0 = 1
16 ⋅𝑚0 - masa izotopu węgla
C
14 w próbce po około 22 800 latach.
Znalezisko archeologiczne ma około 22 800 lat.
62
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025

","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

Masa izotopu maleje zgodnie ze wzorem m(t)=m0·(1/2)^(t/T), T≈5700 lat.
Dane: m(t) = (1/16)·m0.
(1/16) = (1/2)^(t/T)
Ponieważ 1/16 = (1/2)^4, mamy t/T = 4, stąd t = 4T ≈ 4·5700 = 22800 lat.
Znalezisko archeologiczne ma około 22 800 lat.

"}]}