{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/34","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"34","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 34. (0-2)\nDany jest ciąg (𝑎𝑛) określony wzorem rekurencyjnym:\n{𝑎1 = -2\n𝑎𝑛+1 = 𝑛⋅𝑎𝑛+ 4 dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1\nOblicz sumę czterech początkowych wyrazów ciągu (𝒂𝒏).\nWymagania ogólne\nI.\nSprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych […] przy rozwiązywaniu problemów\nw kontekstach rzeczywistych i teoretycznych.\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymaganie szczegółowe\nVI. Ciągi. Zdający:\n2) oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawne obliczenie drugiego, trzeciego i czwartego wyrazu ciągu (𝑎𝑛) oraz ich\nsumy: 𝑆4 = 36.\n1 pkt - poprawne obliczenie drugiego, trzeciego i czwartego wyrazu ciągu (𝑎𝑛):\n𝑎2 = 2, 𝑎3 = 8, 𝑎4 = 28.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nObliczymy cztery kolejne wyrazy ciągu, stosując wzór rekurencyjny:\n𝑎1 = -2\n𝑎2 = 1 ⋅𝑎1 + 4 = 1 ⋅(-2) + 4 = 2\n𝑎3 = 2 ⋅𝑎2 + 4 = 2 ⋅2 + 4 = 8\n𝑎4 = 3 ⋅𝑎3 + 4 = 3 ⋅8 + 4 = 28\nObliczymy sumę 𝑆4 czterech kolejnych początkowych wyrazów ciągu (𝑎𝑛):\n𝑆4 = -2 + 2 + 8 + 28 = 36\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n63","answer":null,"answer_text":null,"solution":"a1=-2\na2 = 1·a1+4 = 1·(-2)+4 = 2\na3 = 2·a2+4 = 2·2+4 = 8\na4 = 3·a3+4 = 3·8+4 = 28\nS4 = a1+a2+a3+a4 = -2+2+8+28 = 36.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-34.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":62,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"<p>Zadanie 34. (0-2)<br>Dany jest ciąg (𝑎𝑛) określony wzorem rekurencyjnym:<br>{𝑎1 = -2<br>𝑎𝑛+1 = 𝑛⋅𝑎𝑛+ 4 dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1<br>Oblicz sumę czterech początkowych wyrazów ciągu (𝒂𝒏).<br>Wymagania ogólne<br>I.<br>Sprawność rachunkowa.<br>Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych […] przy rozwiązywaniu problemów<br>w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych.<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.<br>1.<br>Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Wymaganie szczegółowe<br>VI. Ciągi. Zdający:</p>\n<ol><li>oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie.</li></ol>\n<p>Zasady oceniania<br>2 pkt - poprawne obliczenie drugiego, trzeciego i czwartego wyrazu ciągu (𝑎𝑛) oraz ich<br>sumy: 𝑆4 = 36.<br>1 pkt - poprawne obliczenie drugiego, trzeciego i czwartego wyrazu ciągu (𝑎𝑛):<br>𝑎2 = 2, 𝑎3 = 8, 𝑎4 = 28.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Obliczymy cztery kolejne wyrazy ciągu, stosując wzór rekurencyjny:<br>𝑎1 = -2<br>𝑎2 = 1 ⋅𝑎1 + 4 = 1 ⋅(-2) + 4 = 2<br>𝑎3 = 2 ⋅𝑎2 + 4 = 2 ⋅2 + 4 = 8<br>𝑎4 = 3 ⋅𝑎3 + 4 = 3 ⋅8 + 4 = 28<br>Obliczymy sumę 𝑆4 czterech kolejnych początkowych wyrazów ciągu (𝑎𝑛):<br>𝑆4 = -2 + 2 + 8 + 28 = 36<br>Przykładowe zadania z rozwiązaniami<br>63</p>","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"<p>a1=-2<br>a2 = 1·a1+4 = 1·(-2)+4 = 2<br>a3 = 2·a2+4 = 2·2+4 = 8<br>a4 = 3·a3+4 = 3·8+4 = 28<br>S4 = a1+a2+a3+a4 = -2+2+8+28 = 36.</p>"}]}