{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/35","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"35","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 35. (0-2)\nDany jest ciąg (𝑎𝑛) określony wzorem ogólnym 𝑎𝑛= 4𝑛-9 dla każdej liczby\nnaturalnej 𝑛≥1.\nWykaż, że ciąg (𝒂𝒏) jest arytmetyczny.\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1.\nPrzeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.\nWymagania szczegółowe\nVI. Ciągi. Zdający:\n4) sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny;\n7) wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych […] do rozwiązywania zadań\n[…].\nZasady oceniania\n2 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania uzasadniającego, że ciąg jest arytmetyczny,\nnp. poprawne obliczenie różnicy kolejnych wyrazów oraz wykazanie, że jest stała\ni nie zależy od 𝑛.\n1 pkt - zapisanie różnicy dwóch kolejnych wyrazów:\n𝑎𝑛+1 -𝑎𝑛= 4(𝑛+ 1) -9 -(4𝑛-9)\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nŻeby udowodnić, że ciąg jest arytmetyczny, należy wykazać, że różnica dwóch kolejnych\nwyrazów 𝑎𝑛+1 -𝑎𝑛 jest stała i nie zależy od 𝑛.\nWyznaczymy 𝑎𝑛+1:\n𝑎𝑛+1 = 4(𝑛+ 1) -9 = 4𝑛+ 4 -9 = 4𝑛-5 dla 𝑛≥1\nObliczymy różnicę kolejnych dwóch wyrazów ciągu (𝑎𝑛):\n𝑎𝑛+1 -𝑎𝑛= 4𝑛-5 -(4𝑛-9) = 4𝑛-5 -4𝑛+ 9 = 4 dla każdego 𝑛≥1\nTo oznacza, że ciąg (𝑎𝑛) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy 𝑟= 4.\n64\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Aby wykazać, że ciąg (an), an=4n-9, jest arytmetyczny, obliczamy różnicę\nan+1 - an i pokazujemy, że jest stała.\nan+1 = 4(n+1)-9 = 4n-5\nan+1 - an = (4n-5) - (4n-9) = 4\nRóżnica kolejnych wyrazów jest stała i równa 4 (nie zależy od n), więc ciąg (an) jest\narytmetyczny o różnicy r=4.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-35.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":63,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 35. (0-2)
Dany jest ciąg (𝑎𝑛) określony wzorem ogólnym 𝑎𝑛= 4𝑛-9 dla każdej liczby
naturalnej 𝑛≥1.
Wykaż, że ciąg (𝒂𝒏) jest arytmetyczny.
Wymaganie ogólne
IV. Rozumowanie i argumentacja.
1.
Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów
uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.
Wymagania szczegółowe
VI. Ciągi. Zdający:

\n
  1. sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny;
  2. wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych […] do rozwiązywania zadań
\n

[…].
Zasady oceniania
2 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania uzasadniającego, że ciąg jest arytmetyczny,
np. poprawne obliczenie różnicy kolejnych wyrazów oraz wykazanie, że jest stała
i nie zależy od 𝑛.
1 pkt - zapisanie różnicy dwóch kolejnych wyrazów:
𝑎𝑛+1 -𝑎𝑛= 4(𝑛+ 1) -9 -(4𝑛-9)
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Żeby udowodnić, że ciąg jest arytmetyczny, należy wykazać, że różnica dwóch kolejnych
wyrazów 𝑎𝑛+1 -𝑎𝑛 jest stała i nie zależy od 𝑛.
Wyznaczymy 𝑎𝑛+1:
𝑎𝑛+1 = 4(𝑛+ 1) -9 = 4𝑛+ 4 -9 = 4𝑛-5 dla 𝑛≥1
Obliczymy różnicę kolejnych dwóch wyrazów ciągu (𝑎𝑛):
𝑎𝑛+1 -𝑎𝑛= 4𝑛-5 -(4𝑛-9) = 4𝑛-5 -4𝑛+ 9 = 4 dla każdego 𝑛≥1
To oznacza, że ciąg (𝑎𝑛) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy 𝑟= 4.
64
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025

","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

Aby wykazać, że ciąg (an), an=4n-9, jest arytmetyczny, obliczamy różnicę
an+1 - an i pokazujemy, że jest stała.
an+1 = 4(n+1)-9 = 4n-5
an+1 - an = (4n-5) - (4n-9) = 4
Różnica kolejnych wyrazów jest stała i równa 4 (nie zależy od n), więc ciąg (an) jest
arytmetyczny o różnicy r=4.

"}]}