{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/38","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"38","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 38. (0-4)\nPowierzchnia magazynowa będzie się składała z dwóch identycznych prostokątnych działek\npołączonych wspólnym bokiem. Całość ma być ogrodzona płotem, przy czym obie działki\nbędzie rozdzielał wspólny płot. W ogrodzeniu będą zamontowane dwie bramy wjazdowe,\nkażda o szerokości 10 m (zobacz rysunek poniżej). Łączna długość płotu ogradzającego\noraz rozdzielającego obie działki wyniesie 580 metrów, przy czym szerokości obu bram\nwjazdowych nie wliczają się w długość płotu.\nOblicz wymiary 𝒙 oraz 𝒚 każdej z dwóch prostokątnych działek, tak aby całkowite\npole powierzchni magazynowej było największe.\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n2.\nDobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów\npraktycznych i teoretycznych.\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4.\nStosowanie i tworzenie strategii podczas rozwiązywania zadań, również\nw sytuacjach nietypowych.\n𝑥\n𝑦\n𝑦\n10 m\n10 m\n68\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\nWymaganie szczegółowe\nXIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy.\nZdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją\nkwadratową.\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia obu wymiarów działki oraz podanie poprawnych\nwyników: 𝑥= 100 m oraz 𝑦= 75 m.\n3 pkt - poprawne zapisanie wzoru na pole działki w zależności od jednej zmiennej oraz\npoprawne obliczenie współrzędnej 𝑥 wierzchołka paraboli: 𝑥= 100 m.\n2 pkt - poprawne zapisanie wzoru na pole całkowite powierzchni magazynowej w zależności\nod jednej zmiennej:\n𝑃(𝑥) = 2𝑥(150 -3\n4 𝑥) dla 𝑥∈(0, 560\n3 ).\n1 pkt - zapisanie wzoru na pole całkowite powierzchni magazynowej: 𝑃= 𝑥⋅2𝑦\nALBO\n- zapisanie związku między wymiarami działki: 3𝑥+ 4𝑦-20 = 580.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzyjmiemy oznaczenia jak na rysunku w zadaniu. Całkowitą długość płotu - po\nuwzględnieniu warunków zadania - można zapisać równaniem:\n3𝑥+ 4𝑦-2 ⋅10 = 580\nPowyższe równanie określa związek między wymiarami 𝑥 i 𝑦. Wymiar 𝑦 jednej działki\nmusi być większy od 10 m, ze względu na ustaloną szerokość bramy wjazdowej. W związku\nz tym, w modelu matematycznym uwzględniającym warunki zadania, wymiary 𝑥 i 𝑦\nspełniają:\n𝑥> 0 i 𝑦> 10\nPole 𝑃 całkowitej powierzchni magazynowej jest równe polu prostokąta o bokach długości\n𝑥 oraz 2𝑦. Zatem:\n𝑃= 𝑥⋅2𝑦\nPole powierzchni magazynowej wyrazimy jako funkcję jednej zmiennej 𝑥. W tym celu\nnajpierw wyznaczymy 𝑦:\n3𝑥+ 4𝑦-2 ⋅10 = 580\n4𝑦= 600 -3𝑥\n𝑦= 150 -3\n4 𝑥\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n69\nNastępnie podstawimy wyznaczone 𝑦 do wzoru na pole 𝑃= 𝑥⋅2𝑦:\n𝑃(𝑥) = 2𝑥(150 -3\n4 𝑥)\nWyznaczymy dziedzinę funkcji 𝑃. Wykorzystamy związek między wymiarami 𝑥 i 𝑦 oraz\nwykorzystamy warunki, jakie te wymiary spełniają:\n𝑦= 150 -3\n4 𝑥 oraz 𝑦> 10 oraz 𝑥> 0\nZatem:\n150 -3\n4 𝑥> 10 oraz 𝑥> 0\n𝑥< 560\n3 oraz 𝑥> 0\nZmienna 𝑥 może przyjmować wartości z przedziału (0, 560\n3 )\nWykresem funkcji 𝑃 jest fragment paraboli 𝒫 skierowanej ramionami do dołu. Funkcja 𝑃\nprzyjmuje wartość największą dla argumentu, który jest pierwszą współrzędną wierzchołka\nparaboli 𝒫. Współrzędną 𝑥 wierzchołka paraboli 𝒫 obliczymy z miejsc zerowych funkcji\nkwadratowej, która jest równaniem tej paraboli. Rozwiążemy zatem równanie:\n2𝑥(150 -3\n4 𝑥) = 0\nZ powyższego równania wynika, że:\n2𝑥= 0 lub 150 -3\n4 𝑥= 0\n𝑥1 = 0 lub 𝑥2 = 200\nFunkcja 𝑃 przyjmuje wartość największą dla argumentu, który jest pierwszą współrzędną\nwierzchołka paraboli 𝒫, czyli dla:\n𝑥= 𝑥1 + 𝑥2\n2\n= 100 m\nObliczymy drugi wymiar działki, dla którego pole powierzchni magazynowej jest największe:\n𝑦= 150 m -3\n4 ⋅100 m = 75 m\nCałkowite pole powierzchni magazynowej jest największe dla działki o wymiarach:\n𝑥= 100 m oraz 𝑦= 75 m.\n70\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\nTRYGONOMETRIA, PLANIMETRIA, GEOMETRIA ANALITYCZNA, STEREOMETRIA","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Oznaczenia: x - wspólny bok (szerokość każdej działki), y - długość każdej działki,\ncałość to prostokąt o bokach x i 2y podzielony na dwie działki wspólnym płotem długości x.\nDługość ogrodzenia (płot zewnętrzny + płot wewnętrzny, pomniejszona o szerokości bram):\n3x + 4y - 2·10 = 580, stąd 4y = 600-3x, czyli y = 150 - (3/4)x, dla x>0 oraz y>10.\nPole całkowite: P(x) = x·2y = 2x(150 - (3/4)x) = 300x - (3/2)x², dla x∈(0, 560/3).\nTo parabola skierowana ramionami w dół, z miejscami zerowymi x1=0 i x2=200 (z równania\n2x(150-3x/4)=0). Wierzchołek (maksimum) w x = (x1+x2)/2 = 100.\nWtedy y = 150 - (3/4)·100 = 150-75 = 75.\nPole magazynu jest największe dla wymiarów działki: x = 100 m, y = 75 m.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-38.webp","solution_image":null,"topics":"optymalizacja","page_from":67,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 38. (0-4)
Powierzchnia magazynowa będzie się składała z dwóch identycznych prostokątnych działek
połączonych wspólnym bokiem. Całość ma być ogrodzona płotem, przy czym obie działki
będzie rozdzielał wspólny płot. W ogrodzeniu będą zamontowane dwie bramy wjazdowe,
każda o szerokości 10 m (zobacz rysunek poniżej). Łączna długość płotu ogradzającego
oraz rozdzielającego obie działki wyniesie 580 metrów, przy czym szerokości obu bram
wjazdowych nie wliczają się w długość płotu.
Oblicz wymiary 𝒙 oraz 𝒚 każdej z dwóch prostokątnych działek, tak aby całkowite
pole powierzchni magazynowej było największe.
Wymagania ogólne
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
2.
Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów
praktycznych i teoretycznych.
IV. Rozumowanie i argumentacja.
4.
Stosowanie i tworzenie strategii podczas rozwiązywania zadań, również
w sytuacjach nietypowych.
𝑥
𝑦
𝑦
10 m
10 m
68
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025
Wymaganie szczegółowe
XIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy.
Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją
kwadratową.
Zasady oceniania
4 pkt - poprawna metoda obliczenia obu wymiarów działki oraz podanie poprawnych
wyników: 𝑥= 100 m oraz 𝑦= 75 m.
3 pkt - poprawne zapisanie wzoru na pole działki w zależności od jednej zmiennej oraz
poprawne obliczenie współrzędnej 𝑥 wierzchołka paraboli: 𝑥= 100 m.
2 pkt - poprawne zapisanie wzoru na pole całkowite powierzchni magazynowej w zależności
od jednej zmiennej:
𝑃(𝑥) = 2𝑥(150 -3
4 𝑥) dla 𝑥∈(0, 560
3 ).
1 pkt - zapisanie wzoru na pole całkowite powierzchni magazynowej: 𝑃= 𝑥⋅2𝑦
ALBO

\n\n

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Przyjmiemy oznaczenia jak na rysunku w zadaniu. Całkowitą długość płotu - po
uwzględnieniu warunków zadania - można zapisać równaniem:
3𝑥+ 4𝑦-2 ⋅10 = 580
Powyższe równanie określa związek między wymiarami 𝑥 i 𝑦. Wymiar 𝑦 jednej działki
musi być większy od 10 m, ze względu na ustaloną szerokość bramy wjazdowej. W związku
z tym, w modelu matematycznym uwzględniającym warunki zadania, wymiary 𝑥 i 𝑦
spełniają:
𝑥> 0 i 𝑦> 10
Pole 𝑃 całkowitej powierzchni magazynowej jest równe polu prostokąta o bokach długości
𝑥 oraz 2𝑦. Zatem:
𝑃= 𝑥⋅2𝑦
Pole powierzchni magazynowej wyrazimy jako funkcję jednej zmiennej 𝑥. W tym celu
najpierw wyznaczymy 𝑦:
3𝑥+ 4𝑦-2 ⋅10 = 580
4𝑦= 600 -3𝑥
𝑦= 150 -3
4 𝑥
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
69
Następnie podstawimy wyznaczone 𝑦 do wzoru na pole 𝑃= 𝑥⋅2𝑦:
𝑃(𝑥) = 2𝑥(150 -3
4 𝑥)
Wyznaczymy dziedzinę funkcji 𝑃. Wykorzystamy związek między wymiarami 𝑥 i 𝑦 oraz
wykorzystamy warunki, jakie te wymiary spełniają:
𝑦= 150 -3
4 𝑥 oraz 𝑦> 10 oraz 𝑥> 0
Zatem:
150 -3
4 𝑥> 10 oraz 𝑥> 0
𝑥< 560
3 oraz 𝑥> 0
Zmienna 𝑥 może przyjmować wartości z przedziału (0, 560
3 )
Wykresem funkcji 𝑃 jest fragment paraboli 𝒫 skierowanej ramionami do dołu. Funkcja 𝑃
przyjmuje wartość największą dla argumentu, który jest pierwszą współrzędną wierzchołka
paraboli 𝒫. Współrzędną 𝑥 wierzchołka paraboli 𝒫 obliczymy z miejsc zerowych funkcji
kwadratowej, która jest równaniem tej paraboli. Rozwiążemy zatem równanie:
2𝑥(150 -3
4 𝑥) = 0
Z powyższego równania wynika, że:
2𝑥= 0 lub 150 -3
4 𝑥= 0
𝑥1 = 0 lub 𝑥2 = 200
Funkcja 𝑃 przyjmuje wartość największą dla argumentu, który jest pierwszą współrzędną
wierzchołka paraboli 𝒫, czyli dla:
𝑥= 𝑥1 + 𝑥2
2
= 100 m
Obliczymy drugi wymiar działki, dla którego pole powierzchni magazynowej jest największe:
𝑦= 150 m -3
4 ⋅100 m = 75 m
Całkowite pole powierzchni magazynowej jest największe dla działki o wymiarach:
𝑥= 100 m oraz 𝑦= 75 m.
70
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025
TRYGONOMETRIA, PLANIMETRIA, GEOMETRIA ANALITYCZNA, STEREOMETRIA

","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

Oznaczenia: x - wspólny bok (szerokość każdej działki), y - długość każdej działki,
całość to prostokąt o bokach x i 2y podzielony na dwie działki wspólnym płotem długości x.
Długość ogrodzenia (płot zewnętrzny + płot wewnętrzny, pomniejszona o szerokości bram):
3x + 4y - 2·10 = 580, stąd 4y = 600-3x, czyli y = 150 - (3/4)x, dla x>0 oraz y>10.
Pole całkowite: P(x) = x·2y = 2x(150 - (3/4)x) = 300x - (3/2)x², dla x∈(0, 560/3).
To parabola skierowana ramionami w dół, z miejscami zerowymi x1=0 i x2=200 (z równania
2x(150-3x/4)=0). Wierzchołek (maksimum) w x = (x1+x2)/2 = 100.
Wtedy y = 150 - (3/4)·100 = 150-75 = 75.
Pole magazynu jest największe dla wymiarów działki: x = 100 m, y = 75 m.

"}]}