{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/4","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"4","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 4. (0-3)\nRozważmy dwie kolejne liczby naturalne 𝑎 i 𝑏 takie, że 𝑎< 𝑏 oraz obie są niepodzielne\nprzez 3.\nUdowodnij, że liczba 𝒂𝟐+ 𝟏𝟏𝒂𝒃+ 𝒃𝟐 jest podzielna przez 𝟗.\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1.\nPrzeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.\nWymaganie szczegółowe\nI.\nLiczby rzeczywiste. Zdający:\n2) przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt\nz dzielenia […].\nZasady oceniania\n3 pkt - przeprowadzenie pełnego dowodu: zapisanie 𝑎2 + 11𝑎𝑏+ 𝑏2 jako\n9 ⋅(13𝑘2 + 13𝑘+ 3) oraz zapisanie, że 13𝑘2 + 13𝑘+ 3 jest liczbą całkowitą\nALBO\n- przeprowadzenie pełnego dowodu: zapisanie 𝑎2 + 11𝑎𝑏+ 𝑏2 jako\n117𝑘2 + 117𝑘+ 27 oraz zapisanie, że każdy składnik tej sumy jest podzielny\nprzez 9,\nALBO\n- przeprowadzenie pełnego dowodu: zapisanie 𝑎2 + 11𝑎𝑏+ 𝑏2 w postaci\n9𝑎𝑏+ (𝑎+ 𝑏)2 oraz zapisanie, że liczba 9𝑎𝑏 jest podzielna przez 9 oraz\nzapisanie, że liczba (𝑎+ 𝑏)2 jest podzielna przez 9 jako kwadrat liczby podzielnej\nprzez 3.\n2 pkt - zapisanie 𝑎2 + 11𝑎𝑏+ 𝑏2 jako (3𝑘+ 1)2 + 11(3𝑘+ 1)(3𝑘+ 2) + (3𝑘+ 2)2\noraz przekształcenie tego wyrażenia do postaci 117𝑘2 + 117𝑘+ 27\nALBO\n- zapisanie liczby 𝑎2 + 11𝑎𝑏+ 𝑏2 w postaci 9𝑎𝑏+ (𝑎+ 𝑏)2 oraz zapisanie, że\nliczba 𝑎+ 𝑏 jest podzielna przez 3.\n16\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\n1 pkt - zapisanie liczb 𝑎 i 𝑏 w postaci: 𝑎= 3𝑘+ 1 oraz 𝑏= 3𝑘+ 2, gdzie\n𝑘∈{0, 1, 2, 3, 4, … }\nALBO\n- zapisanie liczby 𝑎2 + 11𝑎𝑏+ 𝑏2 w postaci 9𝑎𝑏+ (𝑎+ 𝑏)2.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nKrok 1. dowodu\nDwie kolejne liczby naturalne a i b, niepodzielne przez 3, można zapisać w postaci:\n𝑎= 3𝑘+ 1 oraz 𝑏= 3𝑘+ 2, gdzie 𝑘∈{0, 1, 2, 3, 4, … }\nKrok 2. dowodu\nZapiszemy liczbę 𝑎2 + 11𝑎𝑏+ 𝑏2 z wykorzystaniem zapisu z krok 1. dowodu:\n𝑎2 + 11𝑎𝑏+ 𝑏2 = (3𝑘+ 1)2 + 11(3𝑘+ 1)(3𝑘+ 2) + (3𝑘+ 2)2 =\n= 9𝑘2 + 6𝑘+ 1 + 11(9𝑘2 + 9𝑘+ 2) + 9𝑘2 + 12𝑘+ 4 =\n= 18𝑘2 + 18𝑘+ 5 + 99𝑘2 + 99𝑘+ 22 =\n= 117𝑘2 + 117𝑘+ 27 =\n= 9 ⋅(13𝑘2 + 13𝑘+ 3)\nKrok 3. dowodu\nLiczbę 𝑎2 + 11𝑎𝑏+ 𝑏2 zapisaliśmy jako iloczyn liczby 9 oraz liczby 13𝑘2 + 13𝑘+ 3.\nDlatego, aby udowodnić podzielność przez 9, wystarczy wykazać, że drugi czynnik\nw rozkładzie jest liczbą całkowitą.\nPonieważ 𝑘∈{0, 1, 2, 3, 4, … }, to 13𝑘2 oraz 13𝑘 są liczbami całkowitymi. Suma liczb\ncałkowitych oraz liczby 3 jest liczbą całkowitą. To kończy dowód.\nSposób 2.\nPrzekształcamy równoważnie wyrażenie 𝑎2 + 11𝑎𝑏+ 𝑏2:\n𝑎2 + 11𝑎𝑏+ 𝑏2 = 9𝑎𝑏+ 𝑎2 + 2𝑎𝑏+ 𝑏2 = 9𝑎𝑏+ (𝑎+ 𝑏)2\nLiczba 9𝑎𝑏 jest podzielna przez 9 dla dowolnych liczb naturalnych 𝑎 i 𝑏.\nLiczba 𝑎 przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1.\nLiczba 𝑏 przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2.\nStąd liczba 𝑎+ 𝑏 jest podzielna przez 3.\nLiczba (𝑎+ 𝑏)2 jest podzielna przez 9 jako kwadrat liczby podzielnej przez 3.\nZatem liczba 𝑎2 + 11𝑎𝑏+ 𝑏2 = 9𝑎𝑏+ (𝑎+ 𝑏)2 jest podzielna przez 9 jako suma dwóch\nliczb podzielnych przez 9. To należało udowodnić.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n17","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Dwie kolejne liczby naturalne a i b niepodzielne przez 3 mają postać:\na = 3k+1, b = 3k+2, gdzie k ∈ {0,1,2,...}.\na² + 11ab + b² = (3k+1)² + 11(3k+1)(3k+2) + (3k+2)² =\n= (9k²+6k+1) + 11(9k²+9k+2) + (9k²+12k+4) =\n= 18k²+18k+5 + 99k²+99k+22 = 117k²+117k+27 = 9·(13k²+13k+3)\nPonieważ k∈{0,1,2,...}, liczba 13k²+13k+3 jest liczbą całkowitą, więc a²+11ab+b²\njest podzielna przez 9, co kończy dowód.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":"liczby_naturalne","page_from":15,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"<p>Zadanie 4. (0-3)<br>Rozważmy dwie kolejne liczby naturalne 𝑎 i 𝑏 takie, że 𝑎&lt; 𝑏 oraz obie są niepodzielne<br>przez 3.<br>Udowodnij, że liczba 𝒂𝟐+ 𝟏𝟏𝒂𝒃+ 𝒃𝟐 jest podzielna przez 𝟗.<br>Wymaganie ogólne<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.<br>1.<br>Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów<br>uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.<br>Wymaganie szczegółowe<br>I.<br>Liczby rzeczywiste. Zdający:</p>\n<ol><li>przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt</li></ol>\n<p>z dzielenia […].<br>Zasady oceniania<br>3 pkt - przeprowadzenie pełnego dowodu: zapisanie 𝑎2 + 11𝑎𝑏+ 𝑏2 jako<br>9 ⋅(13𝑘2 + 13𝑘+ 3) oraz zapisanie, że 13𝑘2 + 13𝑘+ 3 jest liczbą całkowitą<br>ALBO</p>\n<ul><li>przeprowadzenie pełnego dowodu: zapisanie 𝑎2 + 11𝑎𝑏+ 𝑏2 jako</li></ul>\n<p>117𝑘2 + 117𝑘+ 27 oraz zapisanie, że każdy składnik tej sumy jest podzielny<br>przez 9,<br>ALBO</p>\n<ul><li>przeprowadzenie pełnego dowodu: zapisanie 𝑎2 + 11𝑎𝑏+ 𝑏2 w postaci</li></ul>\n<p>9𝑎𝑏+ (𝑎+ 𝑏)2 oraz zapisanie, że liczba 9𝑎𝑏 jest podzielna przez 9 oraz<br>zapisanie, że liczba (𝑎+ 𝑏)2 jest podzielna przez 9 jako kwadrat liczby podzielnej<br>przez 3.<br>2 pkt - zapisanie 𝑎2 + 11𝑎𝑏+ 𝑏2 jako (3𝑘+ 1)2 + 11(3𝑘+ 1)(3𝑘+ 2) + (3𝑘+ 2)2<br>oraz przekształcenie tego wyrażenia do postaci 117𝑘2 + 117𝑘+ 27<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie liczby 𝑎2 + 11𝑎𝑏+ 𝑏2 w postaci 9𝑎𝑏+ (𝑎+ 𝑏)2 oraz zapisanie, że</li></ul>\n<p>liczba 𝑎+ 𝑏 jest podzielna przez 3.<br>16<br>Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025<br>1 pkt - zapisanie liczb 𝑎 i 𝑏 w postaci: 𝑎= 3𝑘+ 1 oraz 𝑏= 3𝑘+ 2, gdzie<br>𝑘∈{0, 1, 2, 3, 4, … }<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie liczby 𝑎2 + 11𝑎𝑏+ 𝑏2 w postaci 9𝑎𝑏+ (𝑎+ 𝑏)2.</li></ul>\n<p>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób 1.<br>Krok 1. dowodu<br>Dwie kolejne liczby naturalne a i b, niepodzielne przez 3, można zapisać w postaci:<br>𝑎= 3𝑘+ 1 oraz 𝑏= 3𝑘+ 2, gdzie 𝑘∈{0, 1, 2, 3, 4, … }<br>Krok 2. dowodu<br>Zapiszemy liczbę 𝑎2 + 11𝑎𝑏+ 𝑏2 z wykorzystaniem zapisu z krok 1. dowodu:<br>𝑎2 + 11𝑎𝑏+ 𝑏2 = (3𝑘+ 1)2 + 11(3𝑘+ 1)(3𝑘+ 2) + (3𝑘+ 2)2 =<br>= 9𝑘2 + 6𝑘+ 1 + 11(9𝑘2 + 9𝑘+ 2) + 9𝑘2 + 12𝑘+ 4 =<br>= 18𝑘2 + 18𝑘+ 5 + 99𝑘2 + 99𝑘+ 22 =<br>= 117𝑘2 + 117𝑘+ 27 =<br>= 9 ⋅(13𝑘2 + 13𝑘+ 3)<br>Krok 3. dowodu<br>Liczbę 𝑎2 + 11𝑎𝑏+ 𝑏2 zapisaliśmy jako iloczyn liczby 9 oraz liczby 13𝑘2 + 13𝑘+ 3.<br>Dlatego, aby udowodnić podzielność przez 9, wystarczy wykazać, że drugi czynnik<br>w rozkładzie jest liczbą całkowitą.<br>Ponieważ 𝑘∈{0, 1, 2, 3, 4, … }, to 13𝑘2 oraz 13𝑘 są liczbami całkowitymi. Suma liczb<br>całkowitych oraz liczby 3 jest liczbą całkowitą. To kończy dowód.<br>Sposób 2.<br>Przekształcamy równoważnie wyrażenie 𝑎2 + 11𝑎𝑏+ 𝑏2:<br>𝑎2 + 11𝑎𝑏+ 𝑏2 = 9𝑎𝑏+ 𝑎2 + 2𝑎𝑏+ 𝑏2 = 9𝑎𝑏+ (𝑎+ 𝑏)2<br>Liczba 9𝑎𝑏 jest podzielna przez 9 dla dowolnych liczb naturalnych 𝑎 i 𝑏.<br>Liczba 𝑎 przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1.<br>Liczba 𝑏 przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2.<br>Stąd liczba 𝑎+ 𝑏 jest podzielna przez 3.<br>Liczba (𝑎+ 𝑏)2 jest podzielna przez 9 jako kwadrat liczby podzielnej przez 3.<br>Zatem liczba 𝑎2 + 11𝑎𝑏+ 𝑏2 = 9𝑎𝑏+ (𝑎+ 𝑏)2 jest podzielna przez 9 jako suma dwóch<br>liczb podzielnych przez 9. To należało udowodnić.<br>Przykładowe zadania z rozwiązaniami<br>17</p>","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"<p>Dwie kolejne liczby naturalne a i b niepodzielne przez 3 mają postać:<br>a = 3k+1, b = 3k+2, gdzie k ∈ {0,1,2,...}.<br>a² + 11ab + b² = (3k+1)² + 11(3k+1)(3k+2) + (3k+2)² =<br>= (9k²+6k+1) + 11(9k²+9k+2) + (9k²+12k+4) =<br>= 18k²+18k+5 + 99k²+99k+22 = 117k²+117k+27 = 9·(13k²+13k+3)<br>Ponieważ k∈{0,1,2,...}, liczba 13k²+13k+3 jest liczbą całkowitą, więc a²+11ab+b²<br>jest podzielna przez 9, co kończy dowód.</p>"}]}