{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/41","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"41","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 41. (0-4)\nWierzchołki 𝐴 i 𝐶 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 leżą na okręgu o promieniu 𝑟.\nŚrodek 𝑆 tego okręgu leży na boku 𝐴𝐵 tego trójkąta (zobacz rysunek poniżej).\nDługości boków 𝐴𝐵 i 𝐴𝐶 są równe odpowiednio |𝐴𝐵| = 3𝑟 oraz |𝐴𝐶| = √3𝑟.\nOblicz miary wszystkich kątów wewnętrznych trójkąta 𝑨𝑩𝑪.\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\n3.\nTworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu.\nWymagania szczegółowe\nVII. Trygonometria. Zdający:\n4) oblicza kąty trójkąta prostokątnego i długości jego boków przy odpowiednich danych\n(rozwiązuje trójkąty prostokątne, w tym z wykorzystaniem funkcji\ntrygonometrycznych).\nVIII. Planimetria. Zdający:\n1) wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków\nstycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa;\n5) stosuje własności kątów wpisanych i środkowych;\n12) stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach\npłaskich oraz obliczania pól figur.\n𝐶\n𝐴\n𝐵\n𝑆\n74\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawne obliczenie miar kątów trójkąta 𝐴𝐵𝐶:\n|∡𝐶𝐴𝐵| = 30°, |∡𝐴𝐵𝐶| = 30°, |∡𝐵𝐶𝐴| = 120°.\n3 pkt - poprawne obliczenie miar kątów w trójkącie 𝐷𝐵𝐶:\n|∡𝐶𝐷𝐵| = 120°, |∡𝐷𝐵𝐶| = 30°, |∡𝐵𝐶𝐷| = 30°\n2 pkt - poprawne obliczenie miar kątów ostrych trójkąta 𝐴𝐷𝐶:\n|∡𝐶𝐴𝐷| = 30°, |∡𝐴𝐷𝐶| = 60°.\n1 pkt - zapisanie |∡𝐴𝐶𝐷| = 90°.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nPrzeanalizujemy zależności między odcinkami i kątami w przedstawionej sytuacji.\nNa poniższych rysunkach pomocniczych przedstawimy graficzną ilustrację kroków\npostępowania.\n1. Kąt 𝐴𝐶𝐷 jest kątem wpisanym opartym na średnicy, zatem |∡𝐴𝐶𝐷| = 90°, czyli trójkąt\n𝐴𝐷𝐶 jest prostokątny.\n2. Zastosujemy twierdzenie Pitagorasa do obliczenia długości boku |𝐶𝐷|:\n|𝐶𝐷|2 = |𝐴𝐷|2 -|𝐴𝐶|2\n|𝐶𝐷|2 = (2𝑟)2 -(√3𝑟)\n2 = 𝑟2\n|𝐶𝐷| = 𝑟\n𝐶\n𝐴\n𝐵\n𝑆\nξ3𝑟\n𝐷\n𝑟\n𝑟\n𝑟\n𝑟\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n75\n3. Trójkąt 𝐴𝐷𝐶 o bokach 2𝑟, 𝑟, √3𝑟 jest połową trójkąta równobocznego, zatem:\n|∡𝐶𝐴𝐷| = 30° , |∡𝐴𝐷𝐶| = 60°\n4. Zauważmy, że |𝐷𝐵| = |𝐷𝐶| = 𝑟, zatem trójkąt 𝐷𝐵𝐶 jest równoramienny. Z tego\ni poprzedniego faktu wynika, że\n|∡𝐶𝐷𝐵| = 180° -60° = 120°, |∡𝐷𝐵𝐶| = 30°, |∡𝐵𝐶𝐷| = 30°\nZ omówionych kroków 1.-4. wynika, że kąty w trójkącie 𝐴𝐵𝐶 mają miary:\n|∡𝐶𝐴𝐵| = 30°, |∡𝐴𝐵𝐶| = 30°, |∡𝐵𝐶𝐴| = 120°\n𝐶\n𝐴\n𝐵\n𝑆\nξ3𝑟\n30°\n60°\n𝐷\n𝑟\n𝑟\n𝑟\n𝑟\n𝐶\n𝐴\n𝐵\n𝑆\n𝐷\n30°\n30°\n120°\n𝐶\n𝐴\n𝐵\n𝑆\n120°\n30°\n30°\n76\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\nSposób 2.\nPrzeanalizujemy zależności między odcinkami i kątami w przedstawionej sytuacji.\nNa poniższych rysunkach pomocniczych przedstawimy graficzną ilustrację kroków\npostępowania.\n1. Kąt 𝐴𝐶𝐷 jest kątem wpisanym opartym na średnicy, zatem |∡𝐴𝐶𝐷| = 90°.\n2. Zauważmy, że: cos |∡𝐶𝐴𝐷| =\n|𝐴𝐶|\n|𝐴𝐷| =\n√3\n2\nStąd wynika, że |∡𝐶𝐴𝐷| = 30°, zatem |∡𝐴𝐷𝐶| = 60°.\n3. Zauważamy, że |𝑆𝐶| = |𝑆𝐷| = 𝑟, czyli trójkąt 𝑆𝐷𝐶 jest równoramienny, zatem:\n|∡𝐷𝐶𝑆| = |∡𝑆𝐷𝐶| = 60°, stąd wynika, że |∡𝐶𝑆𝐷| = 60°.\nZ powyższego wynika, że trójkąt 𝑆𝐷𝐶 jest równoboczny.\n4. Zauważamy, że |𝐷𝐵| = |𝐷𝐶| = 𝑟, zatem trójkąt 𝐷𝐵𝐶 jest równoramienny. Z tych\ni poprzednich faktów wynika, że\n|∡𝐶𝐷𝐵| = 180° -60° = 120°, |∡𝐷𝐵𝐶| = 30°, |∡𝐵𝐶𝐷| = 30°\n𝐶\n𝐴\n𝐵\n𝑆\nξ3𝑟\n30°\n60°\n𝐷\n𝑟\n𝑟\n𝑟\n𝐶\n𝐴\n𝐵\n𝑆\n𝐷\n𝑟\n𝑟\n60°\n60°\n60°\n𝑟\n𝑟\n𝐶\n𝐴\n𝐵\n𝑆\n𝐷\n30°\n30°\n120°\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n77\nZ omówionych kroków 1.-4. wynika, że kąty w trójkącie 𝐴𝐵𝐶 mają miary:\n|∡𝐶𝐴𝐵| = 30°,\n|∡𝐴𝐵𝐶| = 30°, |∡𝐵𝐶𝐴| = 120°","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$|\\measuredangle CAB| = 30^{\\circ}, |\\measuredangle ABC| = 30^{\\circ}, |\\measuredangle BCA| = 120^{\\circ}$","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-41.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":73,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 41. (0-4)
Wierzchołki 𝐴 i 𝐶 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 leżą na okręgu o promieniu 𝑟.
Środek 𝑆 tego okręgu leży na boku 𝐴𝐵 tego trójkąta (zobacz rysunek poniżej).
Długości boków 𝐴𝐵 i 𝐴𝐶 są równe odpowiednio |𝐴𝐵| = 3𝑟 oraz |𝐴𝐶| = √3𝑟.
Oblicz miary wszystkich kątów wewnętrznych trójkąta 𝑨𝑩𝑪.
Wymagania ogólne
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
1.
Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
3.
Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących,
w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu.
Wymagania szczegółowe
VII. Trygonometria. Zdający:

\n
  1. oblicza kąty trójkąta prostokątnego i długości jego boków przy odpowiednich danych
\n

(rozwiązuje trójkąty prostokątne, w tym z wykorzystaniem funkcji
trygonometrycznych).
VIII. Planimetria. Zdający:

\n
  1. wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków
\n

stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa;

\n
  1. stosuje własności kątów wpisanych i środkowych;
  2. stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach
\n

płaskich oraz obliczania pól figur.
𝐶
𝐴
𝐵
𝑆
74
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025
Zasady oceniania
4 pkt - poprawne obliczenie miar kątów trójkąta 𝐴𝐵𝐶:
|∡𝐶𝐴𝐵| = 30°, |∡𝐴𝐵𝐶| = 30°, |∡𝐵𝐶𝐴| = 120°.
3 pkt - poprawne obliczenie miar kątów w trójkącie 𝐷𝐵𝐶:
|∡𝐶𝐷𝐵| = 120°, |∡𝐷𝐵𝐶| = 30°, |∡𝐵𝐶𝐷| = 30°
2 pkt - poprawne obliczenie miar kątów ostrych trójkąta 𝐴𝐷𝐶:
|∡𝐶𝐴𝐷| = 30°, |∡𝐴𝐷𝐶| = 60°.
1 pkt - zapisanie |∡𝐴𝐶𝐷| = 90°.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
Przeanalizujemy zależności między odcinkami i kątami w przedstawionej sytuacji.
Na poniższych rysunkach pomocniczych przedstawimy graficzną ilustrację kroków
postępowania.

\n
  1. Kąt 𝐴𝐶𝐷 jest kątem wpisanym opartym na średnicy, zatem |∡𝐴𝐶𝐷| = 90°, czyli trójkąt
\n

𝐴𝐷𝐶 jest prostokątny.

\n
  1. Zastosujemy twierdzenie Pitagorasa do obliczenia długości boku |𝐶𝐷|:
\n

|𝐶𝐷|2 = |𝐴𝐷|2 -|𝐴𝐶|2
|𝐶𝐷|2 = (2𝑟)2 -(√3𝑟)
2 = 𝑟2
|𝐶𝐷| = 𝑟
𝐶
𝐴
𝐵
𝑆
ξ3𝑟
𝐷
𝑟
𝑟
𝑟
𝑟
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
75

\n
  1. Trójkąt 𝐴𝐷𝐶 o bokach 2𝑟, 𝑟, √3𝑟 jest połową trójkąta równobocznego, zatem:
\n

|∡𝐶𝐴𝐷| = 30° , |∡𝐴𝐷𝐶| = 60°

\n
  1. Zauważmy, że |𝐷𝐵| = |𝐷𝐶| = 𝑟, zatem trójkąt 𝐷𝐵𝐶 jest równoramienny. Z tego
\n

i poprzedniego faktu wynika, że
|∡𝐶𝐷𝐵| = 180° -60° = 120°, |∡𝐷𝐵𝐶| = 30°, |∡𝐵𝐶𝐷| = 30°
Z omówionych kroków 1.-4. wynika, że kąty w trójkącie 𝐴𝐵𝐶 mają miary:
|∡𝐶𝐴𝐵| = 30°, |∡𝐴𝐵𝐶| = 30°, |∡𝐵𝐶𝐴| = 120°
𝐶
𝐴
𝐵
𝑆
ξ3𝑟
30°
60°
𝐷
𝑟
𝑟
𝑟
𝑟
𝐶
𝐴
𝐵
𝑆
𝐷
30°
30°
120°
𝐶
𝐴
𝐵
𝑆
120°
30°
30°
76
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025
Sposób 2.
Przeanalizujemy zależności między odcinkami i kątami w przedstawionej sytuacji.
Na poniższych rysunkach pomocniczych przedstawimy graficzną ilustrację kroków
postępowania.

\n
  1. Kąt 𝐴𝐶𝐷 jest kątem wpisanym opartym na średnicy, zatem |∡𝐴𝐶𝐷| = 90°.
  2. Zauważmy, że: cos |∡𝐶𝐴𝐷| =
\n

|𝐴𝐶|
|𝐴𝐷| =
√3
2
Stąd wynika, że |∡𝐶𝐴𝐷| = 30°, zatem |∡𝐴𝐷𝐶| = 60°.

\n
  1. Zauważamy, że |𝑆𝐶| = |𝑆𝐷| = 𝑟, czyli trójkąt 𝑆𝐷𝐶 jest równoramienny, zatem:
\n

|∡𝐷𝐶𝑆| = |∡𝑆𝐷𝐶| = 60°, stąd wynika, że |∡𝐶𝑆𝐷| = 60°.
Z powyższego wynika, że trójkąt 𝑆𝐷𝐶 jest równoboczny.

\n
  1. Zauważamy, że |𝐷𝐵| = |𝐷𝐶| = 𝑟, zatem trójkąt 𝐷𝐵𝐶 jest równoramienny. Z tych
\n

i poprzednich faktów wynika, że
|∡𝐶𝐷𝐵| = 180° -60° = 120°, |∡𝐷𝐵𝐶| = 30°, |∡𝐵𝐶𝐷| = 30°
𝐶
𝐴
𝐵
𝑆
ξ3𝑟
30°
60°
𝐷
𝑟
𝑟
𝑟
𝐶
𝐴
𝐵
𝑆
𝐷
𝑟
𝑟
60°
60°
60°
𝑟
𝑟
𝐶
𝐴
𝐵
𝑆
𝐷
30°
30°
120°
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
77
Z omówionych kroków 1.-4. wynika, że kąty w trójkącie 𝐴𝐵𝐶 mają miary:
|∡𝐶𝐴𝐵| = 30°,
|∡𝐴𝐵𝐶| = 30°, |∡𝐵𝐶𝐴| = 120°

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$|\\measuredangle CAB| = 30^{\\circ}, |\\measuredangle ABC| = 30^{\\circ}, |\\measuredangle BCA| = 120^{\\circ}$

"},{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

S jest środkiem okręgu o promieniu r, leży na AB, więc |AB|=3r oznacza, że A i B leżą
w odległości 3r, a promień okręgu przechodzącego przez A i C wynosi r, więc |SA|=r,
stąd |AD|=2r, gdzie D to punkt diametralnie przeciwny do A na okręgu (D leży na AB, bo
S∈AB), czyli AD jest średnicą.

\n
  1. Kąt ACD jest kątem wpisanym opartym na średnicy AD, więc |∡ACD|=90° - trójkąt ACD
\n

jest prostokątny.

\n
  1. Z twierdzenia Pitagorasa: |CD|² = |AD|² - |AC|² = (2r)² - (√3r)² = 4r²-3r² = r²,
\n

więc |CD| = r.

\n
  1. Trójkąt ACD ma boki 2r (przeciwprostokątna), √3r, r - jest to trójkąt o kątach 30°-60°-90°,
\n

zatem |∡CAD| = 30°, |∡ADC| = 60°.

\n
  1. Ponieważ |DB| = |AB|-|AD| = 3r-2r = r, a |DC| = r, trójkąt DBC jest równoramienny.
\n

Kąt CDB jest kątem przyległym do ADC: |∡CDB| = 180°-60° = 120°, więc kąty przy
podstawie trójkąta DBC: |∡DBC| = |∡DCB| = (180°-120°)/2 = 30°.
Kąty trójkąta ABC: |∡CAB| = |∡CAD| = 30°, |∡ABC| = |∡DBC| = 30°,
|∡BCA| = |∡ACD| + |∡DCB| = 90°+30° = 120°.
Odpowiedź: kąty trójkąta ABC mają miary 30°, 30°, 120°.

"}]}