{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/45","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"45","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 45. (0-3)\nDany jest trójkąt 𝐴𝐵𝐶. Na boku 𝐴𝐵 tego trójkąta wybrano punkt 𝐷, taki, że |𝐴𝐷| = 1\n4 |𝐴𝐵|,\na na boku 𝐵𝐶 wybrano taki punkt 𝐸, że |𝐵𝐸| = 1\n5 |𝐵𝐶| (zobacz rysunek poniżej).\nPole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równe 20.\nOblicz pole trójkąta 𝑫𝑩𝑬.\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\n2.\nDobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów\npraktycznych i teoretycznych.\nWymagania szczegółowe\nVII. Trygonometria. Zdający:\n3) stosuje […] wzór na pole trójkąta 𝑃=\n1\n2 ⋅𝑎⋅𝑏⋅sin 𝛾.\nVIII. Planimetria. Zdający:\n8) korzysta z cech podobieństwa trójkątów.\n𝐶\n𝐷\n𝐵\n𝐴\n𝐸\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n81\nZasady oceniania\ndla rozwiązania sposobem 1.\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia pola trójkąta 𝐷𝐵𝐸 oraz podanie wyniku: 𝑃𝐷𝐵𝐸= 3.\n2 pkt - wykazanie oraz zapisanie, że 𝑃𝐷𝐵𝐸\n𝑃𝐴𝐵𝐸= 3\n4 oraz 𝑃𝐴𝐵𝐸\n𝑃𝐴𝐵𝐶= 1\n5\n1 pkt - wykazanie i zapisanie, że stosunek pól trójkątów 𝐷𝐵𝐸 i 𝐴𝐵𝐸 jest równy\nstosunkowi długości ich podstaw 𝐷𝐵 i 𝐴𝐵: 𝑃𝐷𝐵𝐸\n𝑃𝐴𝐵𝐸= 3\n4\nALBO\n- wykazanie i zapisanie, że stosunek pól trójkątów 𝐴𝐵𝐸 i 𝐴𝐵𝐶 jest równy\nstosunkowi długości ich podstaw 𝐵𝐸 i 𝐵𝐶: 𝑃𝐴𝐵𝐸\n𝑃𝐴𝐵𝐶= 1\n5\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania\ndla rozwiązania sposobem 2.\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia pola trójkąta 𝐷𝐵𝐸 oraz podanie wyniku: 𝑃𝐷𝐵𝐸= 3.\n2 pkt - zapisanie zależności 1\n2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐶| ⋅sin 𝛽= 20 oraz wzoru na pole trójkąta 𝐷𝐵𝐸:\n𝑃𝐷𝐵𝐸= 1\n2 ⋅(3\n4 |𝐴𝐵|) ⋅(1\n5 |𝐵𝐶|) ⋅sin 𝛽.\n1 pkt - zapisanie zależności 1\n2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐶| ⋅sin 𝛽= 20\nALBO\n- zastosowanie wzoru na pole trójkąta 𝐷𝐵𝐸 z sinusem kąta 𝐷𝐵𝐸 oraz zapisanie /\nzastosowanie związków |𝐷𝐵| = 3\n4 |𝐴𝐵| oraz |𝐵𝐸| = 1\n5 |𝐵𝐶|.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania\ndla rozwiązania sposobem 3.\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia pola trójkąta 𝐷𝐵𝐸 oraz podanie wyniku: 𝑃𝐷𝐵𝐸= 3.\n2 pkt - zapisanie zależności 1\n2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐶= 20 oraz wzoru na pole trójkąta:\n𝑃𝐷𝐵𝐸= 3\n8 ⋅|𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐸 (lub równoważnego) oraz zapisanie zależności: ℎ𝐸\nℎ𝐶= 1\n5\nwynikającej z podobieństwa trójkątów 𝐶1𝐵𝐶 oraz 𝐸1𝐵𝐸.\n1 pkt - zapisanie zależności 1\n2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐶= 20 oraz wzoru na pole trójkąta:\n𝑃𝐷𝐵𝐸= 3\n8 ⋅|𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐸 (lub równoważnego)\nALBO\n- zapisanie zależności: ℎ𝐸\nℎ𝐶= 1\n5 wynikającej z podobieństwa trójkątów 𝐶1𝐵𝐶 oraz\n𝐸1𝐵𝐸.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\n82\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nSkorzystamy ze związków:\n|𝐷𝐵|\n|𝐴𝐵| = 3\n4\n|𝐵𝐸|\n|𝐵𝐶| = 1\n5\n1. Zauważmy, że trójkąty 𝐴𝐵𝐸 i 𝐷𝐵𝐸 mają wspólny wierzchołek 𝐸, a ich podstawy 𝐷𝐵\ni 𝐴𝐵 leżą na jednej prostej. Zatem oba trójkąty mają tę samą wysokość opuszczoną\nz wierzchołka 𝐸. Stosunek pól tych trójkątów jest więc równy stosunkowi długości ich\npodstaw 𝐷𝐵 i 𝐴𝐵.\n𝑃𝐷𝐵𝐸\n𝑃𝐴𝐵𝐸\n= |𝐷𝐵|\n|𝐴𝐵| = 3\n4\n2. Trójkąty 𝐴𝐵𝐸 i 𝐴𝐵𝐶 mają wspólny wierzchołek 𝐴, a ich podstawy 𝐵𝐸 i 𝐵𝐶 leżą na\njednej prostej. Zatem oba trójkąty mają tę samą wysokość opuszczoną z wierzchołka 𝐴.\nStosunek pól tych trójkątów jest więc równy stosunkowi długości ich podstaw 𝐵𝐸 i 𝐵𝐶.\n𝑃𝐴𝐵𝐸\n𝑃𝐴𝐵𝐶\n|𝐵𝐸|\n|𝐵𝐶| = 1\n5\n3. Z punktów 1. i 2. otrzymujemy:\n𝑃𝐷𝐵𝐸= 3\n4 𝑃𝐴𝐵𝐸= 3\n4 ⋅1\n5 ⋅𝑃𝐴𝐵𝐶= 3\n4 ⋅1\n5 ⋅20 = 3\n𝐶\n𝐷\n𝐵\n𝐸\n𝐴\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n83\nSposób 2.\nOznaczmy |∡𝐷𝐵𝐸| = |∡𝐴𝐵𝐶| = 𝛽.\n1. Zapiszemy wzór na pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 i wykorzystamy dane zadania:\n𝑃𝐴𝐵𝐶= 1\n2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐶| ⋅sin 𝛽\n20 = 1\n2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐶| ⋅sin 𝛽\nstąd\n|𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐶| ⋅sin 𝛽= 40\n2. Zapiszemy wzór na pole trójkąta 𝐷𝐵𝐸 i wykorzystamy warunki zadania:\n𝑃𝐷𝐵𝐸= 1\n2 ⋅|𝐷𝐵| ⋅|𝐵𝐸| ⋅sin 𝛽\n𝑃𝐷𝐵𝐸= 1\n2 ⋅(3\n4 ⋅|𝐴𝐵|) ⋅(1\n5 |𝐵𝐶|) ⋅sin 𝛽\n𝑃𝐷𝐵𝐸= 3\n40 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐶| ⋅𝑠𝑖𝑛𝛽\n3. Do otrzymanego wzoru na pole trójkąta 𝐷𝐵𝐸 podstawimy wynik z punktu 1.:\n𝑃𝐷𝐵𝐸= 3\n40 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐶| ⋅sin 𝛽= 3\n40 ⋅40 = 3\n𝐶\n𝐷\n𝐵\n𝐴\n𝐸\n𝛽\n84\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\nSposób 3.\nWysokości trójkątów 𝐴𝐵𝐶 i 𝐷𝐵𝐸 opuszczone - odpowiednio - z wierzchołków 𝐶 i 𝐸\noznaczymy jako ℎ𝐶, ℎ𝐸.\n1. Zapiszemy wzór na pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 i wykorzystamy dane zadania:\n𝑃𝐴𝐵𝐶= 1\n2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐶\n20 = 1\n2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐶\nstąd\n|𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐶= 40\n2. Zapiszemy wzór na pole trójkąta 𝐷𝐵𝐸 i wykorzystamy warunek zadania:\n𝑃𝐷𝐵𝐸= 1\n2 ⋅|𝐷𝐵| ⋅ℎ𝐸\n𝑃𝐷𝐵𝐸= 1\n2 ⋅(3\n4 ⋅|𝐴𝐵|) ⋅ℎ𝐸\n𝑃𝐷𝐵𝐸= 3\n8 ⋅|𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐸\n3. Trójkąty 𝐶1𝐵𝐶 oraz 𝐸1𝐵𝐸 są podobne (na podstawie cechy: kąt - kąt - kąt), zatem:\n|𝐸𝐸1|\n|𝐶𝐶1| = |𝐵𝐸|\n|𝐵𝐶| stąd ℎ𝐸\nℎ𝐶\n= 1\n5\n4. Do otrzymanego wzoru na pole trójkąta 𝐷𝐵𝐸 (punkt 2.) podstawimy wynik z punktu 3.\ni wynik z punktu 1.:\n𝑃𝐷𝐵𝐸= 3\n8 ⋅|𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐸= 3\n8 ⋅|𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐶\n5 = 3\n40 ⋅|𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐶= 3\n40 ⋅40 = 3\n𝐶\n𝐷\n𝐵\n𝐴\n𝐸\nℎ𝐶\nℎ𝐸\n𝐶1\n𝐸1\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n85","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$P_{DBE} = 3$","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-45.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":80,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 45. (0-3)
Dany jest trójkąt 𝐴𝐵𝐶. Na boku 𝐴𝐵 tego trójkąta wybrano punkt 𝐷, taki, że |𝐴𝐷| = 1
4 |𝐴𝐵|,
a na boku 𝐵𝐶 wybrano taki punkt 𝐸, że |𝐵𝐸| = 1
5 |𝐵𝐶| (zobacz rysunek poniżej).
Pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równe 20.
Oblicz pole trójkąta 𝑫𝑩𝑬.
Wymagania ogólne
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
1.
Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
2.
Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów
praktycznych i teoretycznych.
Wymagania szczegółowe
VII. Trygonometria. Zdający:

\n
  1. stosuje […] wzór na pole trójkąta 𝑃=
\n

1
2 ⋅𝑎⋅𝑏⋅sin 𝛾.
VIII. Planimetria. Zdający:

\n
  1. korzysta z cech podobieństwa trójkątów.
\n

𝐶
𝐷
𝐵
𝐴
𝐸
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
81
Zasady oceniania
dla rozwiązania sposobem 1.
3 pkt - poprawna metoda obliczenia pola trójkąta 𝐷𝐵𝐸 oraz podanie wyniku: 𝑃𝐷𝐵𝐸= 3.
2 pkt - wykazanie oraz zapisanie, że 𝑃𝐷𝐵𝐸
𝑃𝐴𝐵𝐸= 3
4 oraz 𝑃𝐴𝐵𝐸
𝑃𝐴𝐵𝐶= 1
5
1 pkt - wykazanie i zapisanie, że stosunek pól trójkątów 𝐷𝐵𝐸 i 𝐴𝐵𝐸 jest równy
stosunkowi długości ich podstaw 𝐷𝐵 i 𝐴𝐵: 𝑃𝐷𝐵𝐸
𝑃𝐴𝐵𝐸= 3
4
ALBO

\n\n

stosunkowi długości ich podstaw 𝐵𝐸 i 𝐵𝐶: 𝑃𝐴𝐵𝐸
𝑃𝐴𝐵𝐶= 1
5
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zasady oceniania
dla rozwiązania sposobem 2.
3 pkt - poprawna metoda obliczenia pola trójkąta 𝐷𝐵𝐸 oraz podanie wyniku: 𝑃𝐷𝐵𝐸= 3.
2 pkt - zapisanie zależności 1
2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐶| ⋅sin 𝛽= 20 oraz wzoru na pole trójkąta 𝐷𝐵𝐸:
𝑃𝐷𝐵𝐸= 1
2 ⋅(3
4 |𝐴𝐵|) ⋅(1
5 |𝐵𝐶|) ⋅sin 𝛽.
1 pkt - zapisanie zależności 1
2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐶| ⋅sin 𝛽= 20
ALBO

\n\n

zastosowanie związków |𝐷𝐵| = 3
4 |𝐴𝐵| oraz |𝐵𝐸| = 1
5 |𝐵𝐶|.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zasady oceniania
dla rozwiązania sposobem 3.
3 pkt - poprawna metoda obliczenia pola trójkąta 𝐷𝐵𝐸 oraz podanie wyniku: 𝑃𝐷𝐵𝐸= 3.
2 pkt - zapisanie zależności 1
2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐶= 20 oraz wzoru na pole trójkąta:
𝑃𝐷𝐵𝐸= 3
8 ⋅|𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐸 (lub równoważnego) oraz zapisanie zależności: ℎ𝐸
ℎ𝐶= 1
5
wynikającej z podobieństwa trójkątów 𝐶1𝐵𝐶 oraz 𝐸1𝐵𝐸.
1 pkt - zapisanie zależności 1
2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐶= 20 oraz wzoru na pole trójkąta:
𝑃𝐷𝐵𝐸= 3
8 ⋅|𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐸 (lub równoważnego)
ALBO

\n\n

ℎ𝐶= 1
5 wynikającej z podobieństwa trójkątów 𝐶1𝐵𝐶 oraz
𝐸1𝐵𝐸.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
82
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
Skorzystamy ze związków:
|𝐷𝐵|
|𝐴𝐵| = 3
4
|𝐵𝐸|
|𝐵𝐶| = 1
5

\n
  1. Zauważmy, że trójkąty 𝐴𝐵𝐸 i 𝐷𝐵𝐸 mają wspólny wierzchołek 𝐸, a ich podstawy 𝐷𝐵
\n

i 𝐴𝐵 leżą na jednej prostej. Zatem oba trójkąty mają tę samą wysokość opuszczoną
z wierzchołka 𝐸. Stosunek pól tych trójkątów jest więc równy stosunkowi długości ich
podstaw 𝐷𝐵 i 𝐴𝐵.
𝑃𝐷𝐵𝐸
𝑃𝐴𝐵𝐸
= |𝐷𝐵|
|𝐴𝐵| = 3
4

\n
  1. Trójkąty 𝐴𝐵𝐸 i 𝐴𝐵𝐶 mają wspólny wierzchołek 𝐴, a ich podstawy 𝐵𝐸 i 𝐵𝐶 leżą na
\n

jednej prostej. Zatem oba trójkąty mają tę samą wysokość opuszczoną z wierzchołka 𝐴.
Stosunek pól tych trójkątów jest więc równy stosunkowi długości ich podstaw 𝐵𝐸 i 𝐵𝐶.
𝑃𝐴𝐵𝐸
𝑃𝐴𝐵𝐶
|𝐵𝐸|
|𝐵𝐶| = 1
5

\n
  1. Z punktów 1. i 2. otrzymujemy:
\n

𝑃𝐷𝐵𝐸= 3
4 𝑃𝐴𝐵𝐸= 3
4 ⋅1
5 ⋅𝑃𝐴𝐵𝐶= 3
4 ⋅1
5 ⋅20 = 3
𝐶
𝐷
𝐵
𝐸
𝐴
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
83
Sposób 2.
Oznaczmy |∡𝐷𝐵𝐸| = |∡𝐴𝐵𝐶| = 𝛽.

\n
  1. Zapiszemy wzór na pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 i wykorzystamy dane zadania:
\n

𝑃𝐴𝐵𝐶= 1
2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐶| ⋅sin 𝛽
20 = 1
2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐶| ⋅sin 𝛽
stąd
|𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐶| ⋅sin 𝛽= 40

\n
  1. Zapiszemy wzór na pole trójkąta 𝐷𝐵𝐸 i wykorzystamy warunki zadania:
\n

𝑃𝐷𝐵𝐸= 1
2 ⋅|𝐷𝐵| ⋅|𝐵𝐸| ⋅sin 𝛽
𝑃𝐷𝐵𝐸= 1
2 ⋅(3
4 ⋅|𝐴𝐵|) ⋅(1
5 |𝐵𝐶|) ⋅sin 𝛽
𝑃𝐷𝐵𝐸= 3
40 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐶| ⋅𝑠𝑖𝑛𝛽

\n
  1. Do otrzymanego wzoru na pole trójkąta 𝐷𝐵𝐸 podstawimy wynik z punktu 1.:
\n

𝑃𝐷𝐵𝐸= 3
40 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐶| ⋅sin 𝛽= 3
40 ⋅40 = 3
𝐶
𝐷
𝐵
𝐴
𝐸
𝛽
84
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025
Sposób 3.
Wysokości trójkątów 𝐴𝐵𝐶 i 𝐷𝐵𝐸 opuszczone - odpowiednio - z wierzchołków 𝐶 i 𝐸
oznaczymy jako ℎ𝐶, ℎ𝐸.

\n
  1. Zapiszemy wzór na pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 i wykorzystamy dane zadania:
\n

𝑃𝐴𝐵𝐶= 1
2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐶
20 = 1
2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐶
stąd
|𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐶= 40

\n
  1. Zapiszemy wzór na pole trójkąta 𝐷𝐵𝐸 i wykorzystamy warunek zadania:
\n

𝑃𝐷𝐵𝐸= 1
2 ⋅|𝐷𝐵| ⋅ℎ𝐸
𝑃𝐷𝐵𝐸= 1
2 ⋅(3
4 ⋅|𝐴𝐵|) ⋅ℎ𝐸
𝑃𝐷𝐵𝐸= 3
8 ⋅|𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐸

\n
  1. Trójkąty 𝐶1𝐵𝐶 oraz 𝐸1𝐵𝐸 są podobne (na podstawie cechy: kąt - kąt - kąt), zatem:
\n

|𝐸𝐸1|
|𝐶𝐶1| = |𝐵𝐸|
|𝐵𝐶| stąd ℎ𝐸
ℎ𝐶
= 1
5

\n
  1. Do otrzymanego wzoru na pole trójkąta 𝐷𝐵𝐸 (punkt 2.) podstawimy wynik z punktu 3.
\n

i wynik z punktu 1.:
𝑃𝐷𝐵𝐸= 3
8 ⋅|𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐸= 3
8 ⋅|𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐶
5 = 3
40 ⋅|𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐶= 3
40 ⋅40 = 3
𝐶
𝐷
𝐵
𝐴
𝐸
ℎ𝐶
ℎ𝐸
𝐶1
𝐸1
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
85

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$P_{DBE} = 3$

"},{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

|DB| = (3/4)|AB| (bo |AD|=1/4|AB|), |BE| = (1/5)|BC|.
Trójkąty DBE i ABE mają wspólny wierzchołek E i podstawy DB, AB na jednej prostej,
więc P(DBE)/P(ABE) = |DB|/|AB| = 3/4.
Trójkąty ABE i ABC mają wspólny wierzchołek A i podstawy BE, BC na jednej prostej,
więc P(ABE)/P(ABC) = |BE|/|BC| = 1/5.
Zatem P(DBE) = (3/4)·P(ABE) = (3/4)·(1/5)·P(ABC) = (3/20)·20 = 3.
Pole trójkąta DBE jest równe 3.

"}]}