{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/46","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"46","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 46. (0-3)\nNa podstawie twierdzenia Pitagorasa można udowodnić bardziej ogólną własność niż ta,\no której mówi samo to twierdzenie.\nRozważmy trójkąt prostokątny 𝐴𝐵𝐶 o kącie prostym przy wierzchołku 𝐴. Niech każdy\nz boków tego trójkąta: 𝐶𝐴, 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 będzie podstawą trójkątów podobnych, odpowiednio:\n𝐶𝐴𝑊1, 𝐴𝐵𝑊2, 𝐵𝐶𝑊3. Trójkąty te mają odpowiadające sobie kąty o równych miarach,\nodpowiednio przy wierzchołkach: 𝑊1, 𝑊2, 𝑊3.\nPola trójkątów: 𝐶𝐴𝑊1, 𝐴𝐵𝑊2, 𝐵𝐶𝑊3 oznaczymy odpowiednio jako 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3.\nUdowodnij, że\n𝑷𝟑= 𝑷𝟏+ 𝑷𝟐\n𝐶\n𝑊3\n𝑊1\n𝐴\n𝐵\n𝑊2\n86\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\nWymagania ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1.\nPrzeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.\n2.\nDostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na\nich podstawie i uzasadnianie ich poprawności.\n4.\nStosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nWymagania szczegółowe\nVIII. Planimetria. Zdający:\n9) wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych;\n11) przeprowadza dowody geometryczne.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawne przeprowadzenie pełnego dowodu równania 𝑃3 = 𝑃1 + 𝑃2.\n2 pkt - zapisanie sumy pól trójkątów 𝐶𝐴𝑊1, 𝐴𝐵𝑊2 wyrażonej poprzez wysokość jednego\nz nich, np.: 𝑃1 + 𝑃2 = 1\n2 ⋅ℎ1 ⋅|𝐶𝐴| + 1\n2 ⋅ℎ1 ⋅\n|𝐴𝐵|2\n|𝐶𝐴| oraz zapisanie twierdzenia\nPitagorasa dla trójkąta 𝐴𝐵𝐶: |𝐶𝐴|2 + |𝐴𝐵|2 = |𝐵𝐶|2\nALBO\n- zapisanie zależności między polami figur płaskich a długościami odcinków trójkąta:\n𝑃2\n𝑃1 = (\n|𝐴𝐵|\n|𝐶𝐴|)\n2\n,\n𝑃3\n𝑃1 = (\n|𝐵𝐶|\n|𝐶𝐴|)\n2\noraz zapisanie sumy pól figur płaskich wyrażonej za\npomocą długości boków trójkąta i jednego z pól, np.: 𝑃1 + 𝑃2 = 𝑃1 +\n|𝐴𝐵|2\n|𝐶𝐴|2 ⋅𝑃1 oraz\nzapisanie twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐴𝐵𝐶: |𝐶𝐴|2 + |𝐴𝐵|2 = |𝐵𝐶|2 ,\nALBO\n- poprawne wyprowadzenie i zapisanie wyrażenia postaci: 𝑃1 + 𝑃2 = 𝑃1 ⋅\n|𝐵𝐶|2\n|𝐶𝐴|2 .\n1 pkt - zapisanie wzorów na pola trójkątów oraz wyrażenie wysokości dwóch trójkątów (na\nmocy ich podobieństwa) poprzez wysokość trzeciego z nich, np.:\n𝑃1 = 1\n2 ⋅ℎ1 ⋅|𝐶𝐴|, 𝑃2 = 1\n2 ⋅ℎ1 ⋅\n|𝐴𝐵|2\n|𝐶𝐴| , 𝑃3 = 1\n2 ⋅ℎ1 ⋅\n|𝐵𝐶|2\n|𝐶𝐴|\nALBO\n- zapisanie zależności między polami figur płaskich a długościami odcinków trójkąta, np.:\n𝑃2\n𝑃1 = (\n|𝐴𝐵|\n|𝐶𝐴|)\n2\n,\n𝑃3\n𝑃1 = (\n|𝐵𝐶|\n|𝐶𝐴|)\n2\n,\nALBO\n- zapisanie sumy pól figur płaskich wyrażonej za pomocą długości boków trójkąta oraz\njednego z pól, np.: 𝑃1 + 𝑃2 = 𝑃1 +\n|𝐴𝐵|2\n|𝐶𝐴|2 ⋅𝑃1 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n87\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\n1. Wysokości trzech trójkątów: 𝐶𝐴𝑊1, 𝐴𝐵𝑊2, 𝐵𝐶𝑊3, opuszczone z wierzchołków 𝑊1,\n𝑊2, 𝑊3 oznaczymy odpowiednio jako: ℎ1, ℎ2, ℎ3.\nZapiszemy wzory na pola powierzchni tych trójkątów:\n𝑃1 = 1\n2 ⋅ℎ1 ⋅|𝐶𝐴| 𝑃2 = 1\n2 ⋅ℎ2 ⋅|𝐴𝐵| 𝑃3 = 1\n2 ⋅ℎ3 ⋅|𝐵𝐶|\n2. Zapiszemy związki wynikające z podobieństwa trójkątów:\nΔ𝐶𝐴𝑊1 ∼Δ𝐴𝐵𝑊2 , zatem ℎ2\nℎ1\n= |𝐴𝐵|\n|𝐶𝐴| , więc ℎ2 = ℎ1 ⋅|𝐴𝐵|\n|𝐶𝐴|\nΔ𝐶𝐴𝑊1 ∼Δ𝐵𝐶𝑊3 , zatem ℎ3\nℎ1\n= |𝐵𝐶|\n|𝐶𝐴| , więc ℎ3 = ℎ1 ⋅|𝐵𝐶|\n|𝐶𝐴|\n3. Ponownie zapiszemy wzory na pola trójkątów, wykorzystując powyższe zależności:\n𝑃1 = 1\n2 ⋅ℎ1 ⋅|𝐶𝐴| 𝑃2 = 1\n2 ⋅ℎ1 ⋅\n|𝐴𝐵|2\n|𝐶𝐴| 𝑃3 = 1\n2 ⋅ℎ1 ⋅\n|𝐵𝐶|2\n|𝐶𝐴|\n4. Obliczymy sumę 𝑃1 + 𝑃2.\n𝑃1 + 𝑃2 = 1\n2 ⋅ℎ1 ⋅|𝐶𝐴| + 1\n2 ⋅ℎ1 ⋅\n|𝐴𝐵|2\n|𝐶𝐴| = 1\n2 ⋅ℎ1 ⋅(|𝐶𝐴| +\n|𝐴𝐵|2\n|𝐶𝐴| )\n𝑃1 + 𝑃2 = 1\n2 ⋅ℎ1 ⋅\n|𝐶𝐴|2 + |𝐴𝐵|2\n|𝐶𝐴|\n5. Wykorzystamy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta 𝐴𝐵𝐶:\nPonieważ\n|𝐶𝐴|2 + |𝐴𝐵|2 = |𝐵𝐶|2\nto\n𝑃1 + 𝑃2 = 1\n2 ⋅ℎ1 ⋅|𝐵𝐶|2\n|𝐶𝐴|\n6. Prawa strona powyższego równania, na mocy pkt 3., jest równa 𝑃3:\n𝑃1 + 𝑃2 = 𝑃3\nTo kończy dowód.\n88\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\nSposób 2.\nObwody trójkątów: 𝐶𝐴𝑊1, 𝐴𝐵𝑊2, 𝐵𝐶𝑊3 oznaczymy odpowiednio jako 𝑂1, 𝑂2, 𝑂3 .\n1. Wykorzystamy zależności między obwodami a polami figur płaskich podobnych:\n𝑃2\n𝑃1\n= (𝑂2\n𝑂1\n)\n2\n𝑃3\n𝑃1\n= (𝑂3\n𝑂1\n)\n2\n2. Wykorzystamy fakt, że stosunki obwodów trójkątów podobnych są równe stosunkom\ndługości podstaw tych trójkątów:\n𝑂2\n𝑂1\n= |𝐴𝐵|\n|𝐶𝐴| 𝑂3\n𝑂1\n= |𝐵𝐶|\n|𝐶𝐴|\n3. Z zależności 1. i 2. wynika:\n𝑃2\n𝑃1\n= (|𝐴𝐵|\n|𝐶𝐴|)\n2\n𝑃3\n𝑃1\n= (|𝐵𝐶|\n|𝐶𝐴|)\n2\n𝑃2 =\n|𝐴𝐵|2\n|𝐶𝐴|2 ⋅𝑃1 𝑃3 =\n|𝐵𝐶|2\n|𝐶𝐴|2 ⋅𝑃1\n4. Obliczymy sumę 𝑃1 + 𝑃2:\n𝑃1 + 𝑃2 = 𝑃1 + |𝐴𝐵|2\n|𝐶𝐴|2 ⋅𝑃1 = 𝑃1 ⋅(1 + |𝐴𝐵|2\n|𝐶𝐴|2)\n𝑃1 + 𝑃2 = 𝑃1 ⋅\n|𝐶𝐴|2 + |𝐴𝐵|2\n|𝐶𝐴|2\n5. Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐴𝐵𝐶:\n|𝐶𝐴|2 + |𝐴𝐵|2 = |𝐵𝐶|2\nZatem równanie w drugim wierszu pkt 4. można zapisać w postaci:\n𝑃1 + 𝑃2 = 𝑃1 ⋅\n|𝐵𝐶|2\n|𝐶𝐴|2\nPrawa strona powyższego równania, na mocy pkt 3., jest równa 𝑃3:\n𝑃1 + 𝑃2 = 𝑃3\nTo kończy dowód.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n89","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Niech h1, h2, h3 będą wysokościami trójkątów CAW1, ABW2, BCW3 opuszczonymi\nodpowiednio z wierzchołków W1, W2, W3. Wówczas:\nP1 = (1/2)·h1·|CA|, P2 = (1/2)·h2·|AB|, P3 = (1/2)·h3·|BC|.\nTrójkąty CAW1, ABW2, BCW3 są podobne (mają równe odpowiadające kąty), więc stosunki\nwysokości są równe stosunkom odpowiadających podstaw:\nh2/h1 = |AB|/|CA|, więc h2 = h1·|AB|/|CA|\nh3/h1 = |BC|/|CA|, więc h3 = h1·|BC|/|CA|\nStąd:\nP2 = (1/2)·h1·|AB|²/|CA|, P3 = (1/2)·h1·|BC|²/|CA|\nP1 + P2 = (1/2)·h1·|CA| + (1/2)·h1·|AB|²/|CA| = (1/2)·h1·(|CA|²+|AB|²)/|CA|\nZ twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ABC (prostokątnego przy A): |CA|²+|AB|² = |BC|².\nZatem:\nP1 + P2 = (1/2)·h1·|BC|²/|CA| = P3\nCo kończy dowód: P3 = P1 + P2.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-46.webp","solution_image":null,"topics":"dowody_geometryczne","page_from":85,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"<p>Zadanie 46. (0-3)<br>Na podstawie twierdzenia Pitagorasa można udowodnić bardziej ogólną własność niż ta,<br>o której mówi samo to twierdzenie.<br>Rozważmy trójkąt prostokątny 𝐴𝐵𝐶 o kącie prostym przy wierzchołku 𝐴. Niech każdy<br>z boków tego trójkąta: 𝐶𝐴, 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 będzie podstawą trójkątów podobnych, odpowiednio:<br>𝐶𝐴𝑊1, 𝐴𝐵𝑊2, 𝐵𝐶𝑊3. Trójkąty te mają odpowiadające sobie kąty o równych miarach,<br>odpowiednio przy wierzchołkach: 𝑊1, 𝑊2, 𝑊3.<br>Pola trójkątów: 𝐶𝐴𝑊1, 𝐴𝐵𝑊2, 𝐵𝐶𝑊3 oznaczymy odpowiednio jako 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3.<br>Udowodnij, że<br>𝑷𝟑= 𝑷𝟏+ 𝑷𝟐<br>𝐶<br>𝑊3<br>𝑊1<br>𝐴<br>𝐵<br>𝑊2<br>86<br>Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025<br>Wymagania ogólne<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.<br>1.<br>Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów<br>uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.<br>2.<br>Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na<br>ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności.<br>4.<br>Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach<br>nietypowych.<br>Wymagania szczegółowe<br>VIII. Planimetria. Zdający:</p>\n<ol><li>wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych;</li><li>przeprowadza dowody geometryczne.</li></ol>\n<p>Zasady oceniania<br>3 pkt - poprawne przeprowadzenie pełnego dowodu równania 𝑃3 = 𝑃1 + 𝑃2.<br>2 pkt - zapisanie sumy pól trójkątów 𝐶𝐴𝑊1, 𝐴𝐵𝑊2 wyrażonej poprzez wysokość jednego<br>z nich, np.: 𝑃1 + 𝑃2 = 1<br>2 ⋅ℎ1 ⋅|𝐶𝐴| + 1<br>2 ⋅ℎ1 ⋅<br>|𝐴𝐵|2<br>|𝐶𝐴| oraz zapisanie twierdzenia<br>Pitagorasa dla trójkąta 𝐴𝐵𝐶: |𝐶𝐴|2 + |𝐴𝐵|2 = |𝐵𝐶|2<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie zależności między polami figur płaskich a długościami odcinków trójkąta:</li></ul>\n<p>𝑃2<br>𝑃1 = (<br>|𝐴𝐵|<br>|𝐶𝐴|)<br>2<br>,<br>𝑃3<br>𝑃1 = (<br>|𝐵𝐶|<br>|𝐶𝐴|)<br>2<br>oraz zapisanie sumy pól figur płaskich wyrażonej za<br>pomocą długości boków trójkąta i jednego z pól, np.: 𝑃1 + 𝑃2 = 𝑃1 +<br>|𝐴𝐵|2<br>|𝐶𝐴|2 ⋅𝑃1 oraz<br>zapisanie twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐴𝐵𝐶: |𝐶𝐴|2 + |𝐴𝐵|2 = |𝐵𝐶|2 ,<br>ALBO</p>\n<ul><li>poprawne wyprowadzenie i zapisanie wyrażenia postaci: 𝑃1 + 𝑃2 = 𝑃1 ⋅</li></ul>\n<p>|𝐵𝐶|2<br>|𝐶𝐴|2 .<br>1 pkt - zapisanie wzorów na pola trójkątów oraz wyrażenie wysokości dwóch trójkątów (na<br>mocy ich podobieństwa) poprzez wysokość trzeciego z nich, np.:<br>𝑃1 = 1<br>2 ⋅ℎ1 ⋅|𝐶𝐴|, 𝑃2 = 1<br>2 ⋅ℎ1 ⋅<br>|𝐴𝐵|2<br>|𝐶𝐴| , 𝑃3 = 1<br>2 ⋅ℎ1 ⋅<br>|𝐵𝐶|2<br>|𝐶𝐴|<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie zależności między polami figur płaskich a długościami odcinków trójkąta, np.:</li></ul>\n<p>𝑃2<br>𝑃1 = (<br>|𝐴𝐵|<br>|𝐶𝐴|)<br>2<br>,<br>𝑃3<br>𝑃1 = (<br>|𝐵𝐶|<br>|𝐶𝐴|)<br>2<br>,<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie sumy pól figur płaskich wyrażonej za pomocą długości boków trójkąta oraz</li></ul>\n<p>jednego z pól, np.: 𝑃1 + 𝑃2 = 𝑃1 +<br>|𝐴𝐵|2<br>|𝐶𝐴|2 ⋅𝑃1 .<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe zadania z rozwiązaniami<br>87<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób 1.</p>\n<ol><li>Wysokości trzech trójkątów: 𝐶𝐴𝑊1, 𝐴𝐵𝑊2, 𝐵𝐶𝑊3, opuszczone z wierzchołków 𝑊1,</li></ol>\n<p>𝑊2, 𝑊3 oznaczymy odpowiednio jako: ℎ1, ℎ2, ℎ3.<br>Zapiszemy wzory na pola powierzchni tych trójkątów:<br>𝑃1 = 1<br>2 ⋅ℎ1 ⋅|𝐶𝐴| 𝑃2 = 1<br>2 ⋅ℎ2 ⋅|𝐴𝐵| 𝑃3 = 1<br>2 ⋅ℎ3 ⋅|𝐵𝐶|</p>\n<ol><li>Zapiszemy związki wynikające z podobieństwa trójkątów:</li></ol>\n<p>Δ𝐶𝐴𝑊1 ∼Δ𝐴𝐵𝑊2 , zatem ℎ2<br>ℎ1<br>= |𝐴𝐵|<br>|𝐶𝐴| , więc ℎ2 = ℎ1 ⋅|𝐴𝐵|<br>|𝐶𝐴|<br>Δ𝐶𝐴𝑊1 ∼Δ𝐵𝐶𝑊3 , zatem ℎ3<br>ℎ1<br>= |𝐵𝐶|<br>|𝐶𝐴| , więc ℎ3 = ℎ1 ⋅|𝐵𝐶|<br>|𝐶𝐴|</p>\n<ol><li>Ponownie zapiszemy wzory na pola trójkątów, wykorzystując powyższe zależności:</li></ol>\n<p>𝑃1 = 1<br>2 ⋅ℎ1 ⋅|𝐶𝐴| 𝑃2 = 1<br>2 ⋅ℎ1 ⋅<br>|𝐴𝐵|2<br>|𝐶𝐴| 𝑃3 = 1<br>2 ⋅ℎ1 ⋅<br>|𝐵𝐶|2<br>|𝐶𝐴|</p>\n<ol><li>Obliczymy sumę 𝑃1 + 𝑃2.</li></ol>\n<p>𝑃1 + 𝑃2 = 1<br>2 ⋅ℎ1 ⋅|𝐶𝐴| + 1<br>2 ⋅ℎ1 ⋅<br>|𝐴𝐵|2<br>|𝐶𝐴| = 1<br>2 ⋅ℎ1 ⋅(|𝐶𝐴| +<br>|𝐴𝐵|2<br>|𝐶𝐴| )<br>𝑃1 + 𝑃2 = 1<br>2 ⋅ℎ1 ⋅<br>|𝐶𝐴|2 + |𝐴𝐵|2<br>|𝐶𝐴|</p>\n<ol><li>Wykorzystamy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta 𝐴𝐵𝐶:</li></ol>\n<p>Ponieważ<br>|𝐶𝐴|2 + |𝐴𝐵|2 = |𝐵𝐶|2<br>to<br>𝑃1 + 𝑃2 = 1<br>2 ⋅ℎ1 ⋅|𝐵𝐶|2<br>|𝐶𝐴|</p>\n<ol><li>Prawa strona powyższego równania, na mocy pkt 3., jest równa 𝑃3:</li></ol>\n<p>𝑃1 + 𝑃2 = 𝑃3<br>To kończy dowód.<br>88<br>Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025<br>Sposób 2.<br>Obwody trójkątów: 𝐶𝐴𝑊1, 𝐴𝐵𝑊2, 𝐵𝐶𝑊3 oznaczymy odpowiednio jako 𝑂1, 𝑂2, 𝑂3 .</p>\n<ol><li>Wykorzystamy zależności między obwodami a polami figur płaskich podobnych:</li></ol>\n<p>𝑃2<br>𝑃1<br>= (𝑂2<br>𝑂1<br>)<br>2<br>𝑃3<br>𝑃1<br>= (𝑂3<br>𝑂1<br>)<br>2</p>\n<ol><li>Wykorzystamy fakt, że stosunki obwodów trójkątów podobnych są równe stosunkom</li></ol>\n<p>długości podstaw tych trójkątów:<br>𝑂2<br>𝑂1<br>= |𝐴𝐵|<br>|𝐶𝐴| 𝑂3<br>𝑂1<br>= |𝐵𝐶|<br>|𝐶𝐴|</p>\n<ol><li>Z zależności 1. i 2. wynika:</li></ol>\n<p>𝑃2<br>𝑃1<br>= (|𝐴𝐵|<br>|𝐶𝐴|)<br>2<br>𝑃3<br>𝑃1<br>= (|𝐵𝐶|<br>|𝐶𝐴|)<br>2<br>𝑃2 =<br>|𝐴𝐵|2<br>|𝐶𝐴|2 ⋅𝑃1 𝑃3 =<br>|𝐵𝐶|2<br>|𝐶𝐴|2 ⋅𝑃1</p>\n<ol><li>Obliczymy sumę 𝑃1 + 𝑃2:</li></ol>\n<p>𝑃1 + 𝑃2 = 𝑃1 + |𝐴𝐵|2<br>|𝐶𝐴|2 ⋅𝑃1 = 𝑃1 ⋅(1 + |𝐴𝐵|2<br>|𝐶𝐴|2)<br>𝑃1 + 𝑃2 = 𝑃1 ⋅<br>|𝐶𝐴|2 + |𝐴𝐵|2<br>|𝐶𝐴|2</p>\n<ol><li>Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐴𝐵𝐶:</li></ol>\n<p>|𝐶𝐴|2 + |𝐴𝐵|2 = |𝐵𝐶|2<br>Zatem równanie w drugim wierszu pkt 4. można zapisać w postaci:<br>𝑃1 + 𝑃2 = 𝑃1 ⋅<br>|𝐵𝐶|2<br>|𝐶𝐴|2<br>Prawa strona powyższego równania, na mocy pkt 3., jest równa 𝑃3:<br>𝑃1 + 𝑃2 = 𝑃3<br>To kończy dowód.<br>Przykładowe zadania z rozwiązaniami<br>89</p>","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"<p>Niech h1, h2, h3 będą wysokościami trójkątów CAW1, ABW2, BCW3 opuszczonymi<br>odpowiednio z wierzchołków W1, W2, W3. Wówczas:<br>P1 = (1/2)·h1·|CA|, P2 = (1/2)·h2·|AB|, P3 = (1/2)·h3·|BC|.<br>Trójkąty CAW1, ABW2, BCW3 są podobne (mają równe odpowiadające kąty), więc stosunki<br>wysokości są równe stosunkom odpowiadających podstaw:<br>h2/h1 = |AB|/|CA|, więc h2 = h1·|AB|/|CA|<br>h3/h1 = |BC|/|CA|, więc h3 = h1·|BC|/|CA|<br>Stąd:<br>P2 = (1/2)·h1·|AB|²/|CA|, P3 = (1/2)·h1·|BC|²/|CA|<br>P1 + P2 = (1/2)·h1·|CA| + (1/2)·h1·|AB|²/|CA| = (1/2)·h1·(|CA|²+|AB|²)/|CA|<br>Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ABC (prostokątnego przy A): |CA|²+|AB|² = |BC|².<br>Zatem:<br>P1 + P2 = (1/2)·h1·|BC|²/|CA| = P3<br>Co kończy dowód: P3 = P1 + P2.</p>"}]}