{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/48","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"48","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 48. (0-2)\nTrzy różne punkty 𝐴, 𝐵 i 𝐷 leżą na okręgu o środku w punkcie 𝑆. Odcinek 𝐵𝐷 jest\nśrednicą tego okręgu. Styczne 𝑘 i 𝑙 do tego okręgu, odpowiednio w punktach 𝐴 i 𝐵,\nprzecinają się w punkcie 𝐶 (zobacz rysunek poniżej).\nWykaż, że trójkąty 𝑨𝑪𝑩 i 𝑨𝑺𝑫 są podobne.\nWymagania ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1.\nPrzeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.\n2.\nDostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na\nich podstawie i uzasadnianie ich poprawności.\nWymagania szczegółowe\nVIII. Planimetria. Zdający:\n1) wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków\nstycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa;\n5) stosuje własności kątów wpisanych i środkowych;\n8) korzysta z cech podobieństwa trójkątów;\n11) przeprowadza dowody geometryczne.\n𝐵\n𝑆\n𝑘\n𝐶\n𝐴\n𝑙\n𝐷\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n95\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawne przeprowadzenie pełnego dowodu podobieństwa trójkątów 𝐴𝐶𝐵 i 𝐴𝑆𝐷.\n1 pkt - zapisanie, że trójkąty 𝐴𝐶𝐵 i 𝐴𝑆𝐷 są równoramienne oraz wskazanie / zapisanie\nrówności odpowiednich ramion.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nZauważmy, że:\ntrójkąt 𝐴𝐶𝐵 jest równoramienny, gdzie: |𝐴𝐶| = |𝐶𝐵| (na mocy twierdzenia\no odcinkach stycznych).\ntrójkąt 𝐴𝑆𝐷 jest równoramienny, gdzie: |𝑆𝐷| = |𝑆𝐴| (odcinki 𝑆𝐷 i 𝑆𝐴 są\npromieniami okręgu).\n|∡𝑆𝐴𝐶| = 90° (promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do\nstycznej)\n|∡𝐵𝐴𝐷| = 90° (kąt 𝐵𝐴𝐷 jest kątem wpisanym w okrąg, opartym na średnicy 𝐵𝐷).\nOznaczmy: |∡𝐵𝐴𝐶| = 𝛽.\nWtedy |∡𝑆𝐴𝐵| = |∡𝑆𝐴𝐶| -|∡𝐵𝐴𝐶| = 90° -𝛽.\nStąd |∡𝑆𝐴𝐷| = |∡𝐵𝐴𝐷| -|∡𝑆𝐴𝐵| = 90° -(90° -𝛽) = 𝛽.\nPonieważ trójkąty 𝐴𝐶𝐵 oraz 𝐴𝑆𝐷 są równoramienne, stąd wynika, że:\n|∡𝐶𝐵𝐴| = |∡𝐵𝐴𝐶| = 𝛽 oraz |∡𝐴𝐶𝐵| = 180° -2𝛽\n|∡𝑆𝐷𝐴| = |∡𝐷𝐴𝑆| = 𝛽 oraz |∡𝐴𝑆𝐷| = 180° -2𝛽\nTrójkąty 𝐴𝐶𝐵 i 𝐴𝑆𝐷 są podobne na\npodstawie cechy kąt - kąt - kąt\npodobieństwa trójkątów.\n𝐵\n𝑆\n𝑘\n𝐶\n𝐴\n𝑙\n𝐷\n180° -2𝛽\n𝛽\n𝛽\n𝛽\n𝛽\n180° -2𝛽\n96\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\nSposób 2.\nZauważmy, że:\ntrójkąt 𝐴𝐶𝐵 jest równoramienny, gdzie: |𝐴𝐶| = |𝐶𝐵| (na mocy twierdzenia\no odcinkach stycznych).\ntrójkąt 𝐴𝑆𝐷 jest równoramienny, gdzie: |𝑆𝐷| = |𝑆𝐴| (odcinki 𝑆𝐷 i 𝑆𝐴 są\npromieniami okręgu).\ntrójkąt 𝐴𝑆𝐵 jest równoramienny, gdzie: |𝑆𝐴| = |𝑆𝐵| (odcinki 𝑆𝐴 i 𝑆𝐵 są\npromieniami okręgu).\n|∡𝑆𝐴𝐶| = 90° (promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do\nstycznej)\nOznaczmy: |∡𝐵𝐴𝐶| = 𝛽.\nPonieważ trójkąt 𝐴𝐶𝐵 jest równoramienny, więc\n|∡𝐶𝐵𝐴| = |∡𝐵𝐴𝐶| = 𝛽 oraz |∡𝐴𝐶𝐵| = 180° -2𝛽\nWtedy |∡𝑆𝐴𝐵| = |∡𝑆𝐴𝐶| -|∡𝐵𝐴𝐶| = 90° -𝛽.\nPonieważ trójkąt 𝐴𝑆𝐵 jest równoramienny, więc |∡𝑆𝐵𝐴| = 90° -𝛽.\nKąt 𝐷𝑆𝐴 jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku co kąt wpisany 𝑆𝐵𝐴, zatem:\n|∡𝐷𝑆𝐴| = 2 ⋅|∡𝑆𝐵𝐴| = 2 ⋅(90° -𝛽) = 180° -2𝛽.\nDługości dwóch boków trójkąta 𝐴𝐶𝐵 są proporcjonalne do odpowiednich długości dwóch\nboków trójkąta 𝐴𝑆𝐷 i kąty między tymi parami boków są przystające:\n|𝐴𝐶|\n|𝐴𝑆| = |𝐵𝐶|\n|𝐷𝑆| i |∡𝐴𝐶𝐵| = |∡𝐷𝑆𝐴| = 180° -2𝛽\nTrójkąty 𝐴𝐶𝐵 i 𝐴𝑆𝐷 są podobne na podstawie cechy bok - kąt - bok podobieństwa\ntrójkątów.\n𝐵\n𝑆\n𝑘\n𝐶\n𝐴\n𝑙\n𝐷\n180° -2𝛽\n𝛽\n180° -2𝛽\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n97\nSposób 3.\nZauważmy, że:\ntrójkąt 𝐴𝐶𝐵 jest równoramienny, gdzie: |𝐴𝐶| = |𝐶𝐵| (na mocy twierdzenia\no odcinkach stycznych).\ntrójkąt 𝐴𝑆𝐷 jest równoramienny, gdzie: |𝑆𝐷| = |𝑆𝐴| (odcinki 𝑆𝐷 i 𝑆𝐴 są\npromieniami okręgu).\n|∡𝑆𝐴𝐶| = |∡𝑆𝐵𝐶| = 90° (promień poprowadzony do punktu styczności jest\nprostopadły do stycznej)\nOznaczmy |∡𝐴𝐶𝐵| = 𝛼.\nRozważmy czworokąt 𝐴𝐶𝐵𝑆. Ponieważ suma miar kątów w czworokącie jest równa 360°,\na kąty 𝑆𝐴𝐶 oraz 𝑆𝐵𝐶 są proste, to:\n|∡𝐴𝑆𝐵| = 360° -|∡𝑆𝐴𝐶| -|∡𝑆𝐵𝐶| -|∡𝐴𝐶𝐵|\nZatem:\n|∡𝐴𝑆𝐵| = 360° -90° -90° -𝛼= 180° -𝛼\nKąt 𝐷𝑆𝐴 jest przyległy do kąta 𝐴𝑆𝐵, zatem:\n|∡𝐷𝑆𝐴| = 180° -|∡𝐴𝑆𝐵| = 180° -(180° -𝛼) = 𝛼.\nDługości dwóch boków trójkąta 𝐴𝐶𝐵 są proporcjonalne do odpowiednich długości dwóch\nboków trójkąta 𝐴𝑆𝐷 i kąty między tymi parami boków są przystające:\n|𝐴𝐶|\n|𝐴𝑆| = |𝐵𝐶|\n|𝐷𝑆| i |∡𝐴𝐶𝐵| = |∡𝐷𝑆𝐴| = 𝛼\nTrójkąty 𝐴𝐶𝐵 i 𝐴𝑆𝐷 są podobne na podstawie cechy bok - kąt - bok podobieństwa\ntrójkątów.\n𝛼\n𝐵\n𝑆\n𝑘\n𝐶\n𝐴\n𝑙\n𝐷\n𝛼\n98\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Trójkąt ACB jest równoramienny: |AC|=|CB| (odcinki stycznych z jednego punktu C\nsą równe). Trójkąt ASD jest równoramienny: |SA|=|SD| (promienie okręgu).\nPonadto |∡SAC|=90° (promień do punktu styczności jest prostopadły do stycznej),\na |∡BAD|=90° (kąt wpisany oparty na średnicy BD).\nOznaczmy |∡BAC|=β. Wtedy |∡SAB| = |∡SAC|-|∡BAC| = 90°-β,\noraz |∡SAD| = |∡BAD|-|∡SAB| = 90°-(90°-β) = β.\nZ równoramienności trójkątów: |∡CBA|=|∡BAC|=β, więc |∡ACB|=180°-2β,\noraz |∡SDA|=|∡DAS|=β, więc |∡ASD|=180°-2β.\nZatem trójkąty ACB i ASD mają odpowiednio równe kąty (β, β, 180°-2β), więc są\npodobne na podstawie cechy kąt-kąt-kąt. To kończy dowód.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-48.webp","solution_image":null,"topics":"dowody_geometryczne","page_from":94,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 48. (0-2)
Trzy różne punkty 𝐴, 𝐵 i 𝐷 leżą na okręgu o środku w punkcie 𝑆. Odcinek 𝐵𝐷 jest
średnicą tego okręgu. Styczne 𝑘 i 𝑙 do tego okręgu, odpowiednio w punktach 𝐴 i 𝐵,
przecinają się w punkcie 𝐶 (zobacz rysunek poniżej).
Wykaż, że trójkąty 𝑨𝑪𝑩 i 𝑨𝑺𝑫 są podobne.
Wymagania ogólne
IV. Rozumowanie i argumentacja.
1.
Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów
uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.
2.
Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na
ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności.
Wymagania szczegółowe
VIII. Planimetria. Zdający:

\n
  1. wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków
\n

stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa;

\n
  1. stosuje własności kątów wpisanych i środkowych;
  2. korzysta z cech podobieństwa trójkątów;
  3. przeprowadza dowody geometryczne.
\n

𝐵
𝑆
𝑘
𝐶
𝐴
𝑙
𝐷
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
95
Zasady oceniania
2 pkt - poprawne przeprowadzenie pełnego dowodu podobieństwa trójkątów 𝐴𝐶𝐵 i 𝐴𝑆𝐷.
1 pkt - zapisanie, że trójkąty 𝐴𝐶𝐵 i 𝐴𝑆𝐷 są równoramienne oraz wskazanie / zapisanie
równości odpowiednich ramion.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
Zauważmy, że:
trójkąt 𝐴𝐶𝐵 jest równoramienny, gdzie: |𝐴𝐶| = |𝐶𝐵| (na mocy twierdzenia
o odcinkach stycznych).
trójkąt 𝐴𝑆𝐷 jest równoramienny, gdzie: |𝑆𝐷| = |𝑆𝐴| (odcinki 𝑆𝐷 i 𝑆𝐴 są
promieniami okręgu).
|∡𝑆𝐴𝐶| = 90° (promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do
stycznej)
|∡𝐵𝐴𝐷| = 90° (kąt 𝐵𝐴𝐷 jest kątem wpisanym w okrąg, opartym na średnicy 𝐵𝐷).
Oznaczmy: |∡𝐵𝐴𝐶| = 𝛽.
Wtedy |∡𝑆𝐴𝐵| = |∡𝑆𝐴𝐶| -|∡𝐵𝐴𝐶| = 90° -𝛽.
Stąd |∡𝑆𝐴𝐷| = |∡𝐵𝐴𝐷| -|∡𝑆𝐴𝐵| = 90° -(90° -𝛽) = 𝛽.
Ponieważ trójkąty 𝐴𝐶𝐵 oraz 𝐴𝑆𝐷 są równoramienne, stąd wynika, że:
|∡𝐶𝐵𝐴| = |∡𝐵𝐴𝐶| = 𝛽 oraz |∡𝐴𝐶𝐵| = 180° -2𝛽
|∡𝑆𝐷𝐴| = |∡𝐷𝐴𝑆| = 𝛽 oraz |∡𝐴𝑆𝐷| = 180° -2𝛽
Trójkąty 𝐴𝐶𝐵 i 𝐴𝑆𝐷 są podobne na
podstawie cechy kąt - kąt - kąt
podobieństwa trójkątów.
𝐵
𝑆
𝑘
𝐶
𝐴
𝑙
𝐷
180° -2𝛽
𝛽
𝛽
𝛽
𝛽
180° -2𝛽
96
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025
Sposób 2.
Zauważmy, że:
trójkąt 𝐴𝐶𝐵 jest równoramienny, gdzie: |𝐴𝐶| = |𝐶𝐵| (na mocy twierdzenia
o odcinkach stycznych).
trójkąt 𝐴𝑆𝐷 jest równoramienny, gdzie: |𝑆𝐷| = |𝑆𝐴| (odcinki 𝑆𝐷 i 𝑆𝐴 są
promieniami okręgu).
trójkąt 𝐴𝑆𝐵 jest równoramienny, gdzie: |𝑆𝐴| = |𝑆𝐵| (odcinki 𝑆𝐴 i 𝑆𝐵 są
promieniami okręgu).
|∡𝑆𝐴𝐶| = 90° (promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do
stycznej)
Oznaczmy: |∡𝐵𝐴𝐶| = 𝛽.
Ponieważ trójkąt 𝐴𝐶𝐵 jest równoramienny, więc
|∡𝐶𝐵𝐴| = |∡𝐵𝐴𝐶| = 𝛽 oraz |∡𝐴𝐶𝐵| = 180° -2𝛽
Wtedy |∡𝑆𝐴𝐵| = |∡𝑆𝐴𝐶| -|∡𝐵𝐴𝐶| = 90° -𝛽.
Ponieważ trójkąt 𝐴𝑆𝐵 jest równoramienny, więc |∡𝑆𝐵𝐴| = 90° -𝛽.
Kąt 𝐷𝑆𝐴 jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku co kąt wpisany 𝑆𝐵𝐴, zatem:
|∡𝐷𝑆𝐴| = 2 ⋅|∡𝑆𝐵𝐴| = 2 ⋅(90° -𝛽) = 180° -2𝛽.
Długości dwóch boków trójkąta 𝐴𝐶𝐵 są proporcjonalne do odpowiednich długości dwóch
boków trójkąta 𝐴𝑆𝐷 i kąty między tymi parami boków są przystające:
|𝐴𝐶|
|𝐴𝑆| = |𝐵𝐶|
|𝐷𝑆| i |∡𝐴𝐶𝐵| = |∡𝐷𝑆𝐴| = 180° -2𝛽
Trójkąty 𝐴𝐶𝐵 i 𝐴𝑆𝐷 są podobne na podstawie cechy bok - kąt - bok podobieństwa
trójkątów.
𝐵
𝑆
𝑘
𝐶
𝐴
𝑙
𝐷
180° -2𝛽
𝛽
180° -2𝛽
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
97
Sposób 3.
Zauważmy, że:
trójkąt 𝐴𝐶𝐵 jest równoramienny, gdzie: |𝐴𝐶| = |𝐶𝐵| (na mocy twierdzenia
o odcinkach stycznych).
trójkąt 𝐴𝑆𝐷 jest równoramienny, gdzie: |𝑆𝐷| = |𝑆𝐴| (odcinki 𝑆𝐷 i 𝑆𝐴 są
promieniami okręgu).
|∡𝑆𝐴𝐶| = |∡𝑆𝐵𝐶| = 90° (promień poprowadzony do punktu styczności jest
prostopadły do stycznej)
Oznaczmy |∡𝐴𝐶𝐵| = 𝛼.
Rozważmy czworokąt 𝐴𝐶𝐵𝑆. Ponieważ suma miar kątów w czworokącie jest równa 360°,
a kąty 𝑆𝐴𝐶 oraz 𝑆𝐵𝐶 są proste, to:
|∡𝐴𝑆𝐵| = 360° -|∡𝑆𝐴𝐶| -|∡𝑆𝐵𝐶| -|∡𝐴𝐶𝐵|
Zatem:
|∡𝐴𝑆𝐵| = 360° -90° -90° -𝛼= 180° -𝛼
Kąt 𝐷𝑆𝐴 jest przyległy do kąta 𝐴𝑆𝐵, zatem:
|∡𝐷𝑆𝐴| = 180° -|∡𝐴𝑆𝐵| = 180° -(180° -𝛼) = 𝛼.
Długości dwóch boków trójkąta 𝐴𝐶𝐵 są proporcjonalne do odpowiednich długości dwóch
boków trójkąta 𝐴𝑆𝐷 i kąty między tymi parami boków są przystające:
|𝐴𝐶|
|𝐴𝑆| = |𝐵𝐶|
|𝐷𝑆| i |∡𝐴𝐶𝐵| = |∡𝐷𝑆𝐴| = 𝛼
Trójkąty 𝐴𝐶𝐵 i 𝐴𝑆𝐷 są podobne na podstawie cechy bok - kąt - bok podobieństwa
trójkątów.
𝛼
𝐵
𝑆
𝑘
𝐶
𝐴
𝑙
𝐷
𝛼
98
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025

","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

Trójkąt ACB jest równoramienny: |AC|=|CB| (odcinki stycznych z jednego punktu C
są równe). Trójkąt ASD jest równoramienny: |SA|=|SD| (promienie okręgu).
Ponadto |∡SAC|=90° (promień do punktu styczności jest prostopadły do stycznej),
a |∡BAD|=90° (kąt wpisany oparty na średnicy BD).
Oznaczmy |∡BAC|=β. Wtedy |∡SAB| = |∡SAC|-|∡BAC| = 90°-β,
oraz |∡SAD| = |∡BAD|-|∡SAB| = 90°-(90°-β) = β.
Z równoramienności trójkątów: |∡CBA|=|∡BAC|=β, więc |∡ACB|=180°-2β,
oraz |∡SDA|=|∡DAS|=β, więc |∡ASD|=180°-2β.
Zatem trójkąty ACB i ASD mają odpowiednio równe kąty (β, β, 180°-2β), więc są
podobne na podstawie cechy kąt-kąt-kąt. To kończy dowód.

"}]}